第13讲 功、能、动能定理（复习讲义）（黑吉辽蒙专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理复习讲义聚焦功、能、动能定理核心考点，按概念（功、功率、势能）到规律应用（动能定理在直线、曲线、往复运动等）的逻辑架构知识，通过考情分析、框架搭建、考点拆解、真题训练四环节，帮助学生系统构建能量观念与解题范式。 讲义以真实情境（新能源汽车、山地自行车）和典型模型（传送带、弹簧）为载体，设计分层考向突破（如动能定理5类应用），通过F-x图像分析等活动培养科学思维，设置基础到综合练习，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第13讲 功、能、动能定理（复习讲义） 考点精讲·靶向突破 知识点1 功 考向1 功的定义、简单计算 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 考向2 功的正负及判断 1．【答案】BD 2．【答案】AD 3．【答案】D 4．【答案】ACD 5．【答案】ACD 知识点2 变力做功 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】732J 知识点3 功率 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】AC 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 知识点4 重力势能 1．【答案】BC 2．【答案】AD 3．【答案】C 4．（非质点类物体的重力势能）【答案】B 5．【变式训练】【答案】A 6．【答案】A 知识点5 弹性势能 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 知识点6 动能定理 考向1 对动能、动能定理的理解 1．【答案】BC 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 考向2 动能定理在直线运动中的应用 1．【答案】CD 2．【答案】D　 3．【答案】C　 4．【答案】D 考向3 动能定理在汽车启动模型中的应用 1．【答案】C 2．【答案】AC 3.【答案】C 4．【答案】C 考向4 动能定理在曲线运动中的应用 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】(1)0.8 m (2)4 N 考向5 动能定理在往复运动中的应用 1．【答案】(1) 3mg　(2)或 2．【答案】(1)8 m　(2)102 N　70 N 真题溯源·考向感知 1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）【答案】C 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）【答案】(1)5m/s；(2)8m/s，60° 3．（2023·辽宁·高考真题）【答案】B 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 功、能、动能定理（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 功 考向1 功的定义、简单计算 考向2 功的正负及判断 知识点二 变力做功 知识点三 功率 知识点四 重力势能 知识点五 弹性势能 知识点六 动能定理 考向1 对动能、动能定理的理解 考向2 动能定理在直线运动中的应用 考向3 动能定理在汽车启动模型中的应用 考向4 动能定理在曲线运动中的应用 考向5 动能定理在往复运动中的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 动能定理的应用 单选（压轴）第7题 解答 第13题 2023年 单选第3题 考情分析 题型与考向：高考物理“功和能”，贯穿力学、电磁学、热学多个大模块。在高考中稳定考查1–2题，分值约6–15分。题型覆盖选择题、实验题与计算题，选择题一般考查对基本概念和规律的理解，计算题侧重综合应用能力的考查。 整体命题趋势：高考中，功、功率、动能定理的应用情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 情境与立意： 1. 真实生活情境深度渗透，不再使用纯理论裸模型出题，而是以生活化、科技化场景为载体， 交通工具：新能源汽车续航、国产大飞机起降、列车、汽车等 体育运动：山地自行车越野、雪块滑行、过山车等 生产生活：机器狗负重测试、石磨转动、投壶游戏等 科技前沿：外骨骼机器人、光伏电池、风光互补路灯等 2. 典型物理模型，试题中也常出现弹簧、各类轨道、传送带等装置，常见模型包括：传送带模型、板块模型、弹簧模型；竖直面圆周运动、斜面运动、绳、杆连接体系统 3. 跨学科与科技元素融合，功、功率、动能定理的应用情境融合跨学科与科技元素。 如以舰载机电磁弹射与制动为真实情境，从动力学、能量、动量多视角剖析。命题还会越来越多地联系现代科技，如天体运动中的能量转化等。 复习目标 1. 深入理解基础概念、牢记公式； 恒力功与变力功的分析计算能力：能选用合适的方法计算变力做的功。 功率的分析计算能力：灵活区分平均功率与瞬时功率，解决机车启动等实际问题。 动能定理的应用能力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件，选择合适的过程。 多过程综合分析能力：学会将复杂问题分解为多个简单的子过程，分别运用相应物理规律求解。 图像信息分析能力：能读懂P-t、v-t、F-x、Ek-x等图像，提取关键信息。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 功 知●识●解●构 1．功的定义 我们把恒力作用下，物体所受的力F和它在力的方向上的位移l的乘积，叫做这个力对物体做的功。用W表示功，若F和l的夹角是α，则上述定义可表示为： 2．功的说明 (1)做功的两个必要因素：一是力，二是在这个力方向上的位移。 (2)式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式。若是变力，则无法直接使用此式，需要借助微积分或者图像计算。 (3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功。 (4)功是过程量，反映力对位移的累积效果。 (5)功是标量，有正负之分，无方向。 3．正功和负功 继续对公式讨论有： (1)当0≤α<时，，，表示力对物体做正功，力是动力 (2)当时，，，表示力对物体不做功；力不是动力也不是阻力 (3)当<α≤π时，，，表示力对物体做负功，力是阻力 可见，一个力作用于物体，可以对物体做正功，做负功，也可能不做功。 某个力做功-1J，也可表示为：克服该力做功1J。 比较两个力做功多少时取绝对值，负功表示做功的力是阻力。阻力不一定是摩擦力。 4．总功的计算 当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功通常可以用下述两种方法求解： (1)根据公式，先分别求出各个力F1、F2 、… 对物体所做的功W1、W2、…，再求各力所做的功的代数和，即=W1+W2+…(注意代入时应注意功正负问题，即带入W时的正负号)。 (2)由力的矢量合成方法先求出这几个力的合力，再根据功的公式，其中α是合力方向与位移方向之间的夹角。 5．几种力做功特点 根据功的定义可知，重力做功与运动路径无关，只和初末两点高度差有关。 摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。一对静摩擦力做功代数和总等于0，一对滑动摩擦力做功代数和总小于0（动能转化为热能，后续学习），其绝对值等于摩擦力与相对路程的乘积。 一对平衡力合力等于0，所以它们做功代数和等于0。 一对作用力和反作用力，作用在两个物体上，做功代数和没必然联系。 考向1 功的定义、简单计算 1．关于功的概念，以下说法正确的是(　 ) A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量 B．功有正、负之分，所以功可能有方向性 C．功是标量 D．-10J的功小于+5J的功 【答案】C 【解析】A．功是物体之间能量转化的量度，它是标量，所以A错误； B．功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体的做功效果的，所以B错误； C．功虽然有正负之分，但功是标量，所以C正确。 D．功是标量，但在比较大小时比较绝对值的大小，负功表示阻力做功。所以D选项错。 故选C。 2．如图所示，质量为m的小车在与竖直 方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离L，车与地面之间的动摩擦因数为μ。下列说法正确的是（　　） A．拉力对小车做功FL B．拉力对小车做功为FLsinα C．摩擦力对小车做功为-μmgL D．重力对小车做功为mgL 【答案】B 【详解】AB．拉力对小车做功为 A错误，B正确； C．摩擦力对小车做功为；C错误； D．在重力方向小车没有位移，则重力对小车做功为零，D错误。 故选B。 3．如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别和，则（　） A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定 【答案】B 【详解】设斜面的倾角为θ，滑动摩擦力大小为f＝μmgcosθ，则物体克服摩擦力所做的功为w＝μmgl•cosθ．而l•cosθ相同，都等于水平距离CD长度，所以克服摩擦力做功相等。 故选B。 考向2 功的正负及判断 1．（多选）一同学穿着旱冰鞋处于静止状态,推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中,下列说法正确的是(　　) A.墙壁对该同学做正功 B.墙壁对该同学没有做功 C.该同学对墙壁做正功 D.该同学对墙壁没有做功 【答案】BD 【解析】先分析墙壁的受力及做功情况:墙壁受推力，但没有位移，所以该同学对墙壁不做功：C错误。D正确。 再分析人的受力及做功情况:墙壁对人的作用力是作用在手上的，人的手在力的作用下没有位移，所以壁对人不做功：A错误、B正确。 故选BD。 2．(多选)把一个物体竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为f，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中( ) A．重力所做的功为零 B．重力所做的功为2mgh C．空气阻力做的功为零 D．空气阻力做的功为﹣2fh 【答案】AD 【解析】A、物体被抛出到落回抛出点的全过程中，初末位置相同，高度差为零，所以重力做功为零．故A正确，B错误。 C、在上升的过程中，空气阻力做功为﹣fh，在下降的过程中，空气阻力做功为﹣fh，则整个过程中空气阻力做功为﹣2fh．故C错误，D正确。 故选AD。 3．下列说法正确的是（　　） A．静摩擦力一定不做功 B．滑动摩擦力一定对物体做负功 C．一对作用力和反作用力，若作用力做正功，则反作用力一定做负功 D．一对平衡力对物体做功的代数和一定为零 【答案】D 【详解】A．物体随着倾斜的传送带一起向上匀速运动，静摩擦力对物体做正功，A错误； B．将物体轻轻的放在水平匀速运动的传送带上，滑动摩擦力对物体做正功，B错误； C．平静的湖面上有两个小船处于静止状态，船上各站着一个人，两个人通过绳子拉对方的时候，在两船靠近的过程中，甲拉乙船的力和乙拉甲船的力是一对作用力和反作用力，这两个力都做正功，C错误； D．一对平衡力对物体做功的代数和等于合力的功，合力等于零，所以合力的功一定为零，D正确。 故选D。 4．（多选）质量为m的物体,受水平力F的作用,在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是( ) A.如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B.如果物体做减速直线运动，F一定做负功 C.如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D.如果物体做匀速直线运动，F一定做正功 【答案】ACD 【详解】物体在粗糙水平面上做加速直线运动时，力F的方向必与物体运动方向相同，所以力F对物体做正功，A正确； 当物体做减速直线运动时，力F的方向可能与运动方向相同,也可能与运动方向相反，可见，物体做减速直线运动时，力F可能对物体做正功,也可能对物体做负功，B错误，C正确； 当物体做匀速直线运动时，根据平衡条件知,力F的方向必与滑动摩擦力的方向相反,即与物体的位移方向相同,所以力F做正功，D正确 故选ACD。 5．（多选）如图所示,质量为m的滑块放在光滑斜面上，斜面与水平面间的摩擦力不计，当滑块从斜面顶端滑到斜面底端的过程中( ) A.重力对滑块做功 B.滑块受到斜面的支持力与斜面垂直,所以支持力对滑块不做功 C.斜面对滑块的支持力对滑块做负功 D.滑块对斜面的压力对斜面做正功 【答案】ACD 【详解】当滑块从斜面顶端滑至底端时，由于接触面光滑,斜面将向右移动一段距离，如图所示。 滑块下滑过程中，重力对滑块做正功。斜面对滑块的支持力垂直于斜面，但滑块的位移方向与斜面不平行,即支持力N与位移的夹角大于90°，所以斜面对滑块的支持力对滑块做负功，滑块对斜面的压力对斜面做正功。 故选ACD。 知识点2 变力做功 知●识●解●构 求变力做功的常用方法 方法 以例说法 微元法 　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1+Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换法 　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功 W＝F·(－) 图像法 　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功， 平均 值法 　当力与位移为线性关系，力可用平均值表示，代入功的公式得 1．石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 【答案】D 【详解】与摩擦力一直是平衡力，克服摩擦力做功，因大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功为；则转动一周的过程中克服摩擦力所做的功为 故选D。 2．一小物块在水平拉力的作用下向右运动，拉力随小物块的位置坐标变化的图像如图所示，则在内，拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在图像中，图像与轴围成的面积表示拉力做的功。设拉力做功，此段图像为梯形，根据梯形面积公式；这里，，；可得 设拉力做功，此段图像为三角形，根据三角形面积公式 这里， 可得；那么内拉力做的功 故选A。 3．图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 【答案】C 【详解】B．由功的公式可知，图像与坐标轴所围的面积表示力F做的功，则力F做的功为；故B错误； C．由题可知，桥梁在受架桥机水平力F作用过程中，阻力恒定，桥梁在阻力方向上的位移为，则阻力做功为；故C正确； AD．对桥梁沿水平方向进行受力分析，由牛顿第二定律得；桥梁向前运动时，F越来越小，则桥梁加速度越来越小，当桥梁时，桥梁的加速度等于0，速度达到最大值，故AD错误。 故选C。 4．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，阻力与深度d成正比，f-d图像如图所示 F-d图像与坐标轴所形成图形的面积等于阻力所做的功，每次钉钉子时做功相同，因为力与深度成正比，即 ；两次做功相同；解得；第二次钉子进入木板的深度 故选B。 5．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为；解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为；解得 故选C。 6．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 【答案】732J 【详解】人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 又 所以人对绳的拉力做的功 知识点3 功率 知●识●解●构 定义：功跟完成这些功所用时间的比值。定义式： 功率的说明 物理意义：描述做功快慢的物理量。 单位：瓦特，简称瓦，用W表示。1 W=1 J/s。 功率是标量。 额定功率指机器长时间正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值；实际功率指机器工作时实际输出的功率。 功率的两种表达式 功率①，将带入之后，可得到功率的另一种表达式： ② 公式①、②分别为平均功率和瞬时功率的计算式。 (1)平均功率描述力在一段时间内做功的快慢。 是平均功率的定义式，反映时间t内做功的快慢；我们也可以用来计算平均功率，此时，v表示的是平均速度。 (2)瞬时功率是表示某个时刻做功快慢的物理量。 是瞬时功率的表达式，其中v为所求时刻的瞬时速度。同样，在时，也可以表示瞬时功率。 计算功率时应注意的问题 （1）角是F、v两个矢量正方向间的夹角，式中的作用是将F、v统一到一条直线上。 （2）明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。 （3）求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率;求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。 （4）应该明确是哪一个力对物体做功的功率。 1．如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛，忽略空气阻力影响，下列说法正确的有（　　） A．三个小球同时落地 B．运动过程中的重力平均功率相等 C．重力对三个球做的功相等 D．它们落地时重力的瞬时功率相等 【答案】C 【详解】A．小球a受到支持力作用，在竖直方向的加速度小于重力加速度，小球b、c在竖直方向的加速度等于g，所以小球a后落地，A错误； B．运动过程中重力做的功相等，运动时间不相等，所以的重力平均功率不相等，B错误； C．重力做功与路径无关，重力对三个球做的功相等，C正确； D．它们落地时速度的竖直分量不相等，重力的瞬时功率不相等，D错误。 故选C。 2．如图所示的拖把由拖杆和拖把头构成。小虹同学在水平地面打扫卫生时，保持拖杆与竖直方向的夹角，并用沿拖杆方向大小为25N的恒力推动拖把头向前移动了1m，用时1s。已知拖把头的质量为1.8kg，与地面间的动摩擦因数为0.3。已知，，若不计拖杆质量，则此过程中（　　） A．小虹对拖把做功15J B．拖把头克服摩擦力做功5.4J C．拖把所受重力的功率为18W D．小虹对拖把做功的功率为25W 【答案】A 【详解】A．小虹对拖把做功，故A正确； B．拖把头克服摩擦力做功 代入数据可得，故B错误； C．拖把所受重力与拖把的运动方向垂直，拖把所受重力的功率为0，故C错误； D．小虹对拖把做功的功率，故D错误。 故选A。 3．（多选）身高1.70m，体重60kg的李明同学在1min内连续做了30个完整的引体向上，且“上引”过程与“下放”过程的时间相同。引体向上的“上引”过程重心上升的高度约为0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．该同学在1min内重力做的总功为0J B．该同学在1min内重力做的总功约为18000J C．该同学在某次“上引”过程克服重力做功的平均功率约为300W D．该同学在某次“下放”过程克服重力的瞬时功率一直增加 【答案】AC 【详解】AB．在一次“上引”和“下放”过程中，重心上升或下降的高度相同，而在“上引”过程中人克服重力做功，“下放”过程中重力做正功，两者之和为零，故一次引体向上过程中重力对人做功为零，故1min时间内，重力做的总功为零，故A正确，B错误； C．该同学在某次“上引”过程中，克服重力做功 一次“上引”过程中经历的时间 所以在一次“上引”过程中，克服重力做功的平均功率为；故C正确； D．下降过程初末速度均为零，速度先增加后减小，根据公式 ；可知重力的功率先增加再减小，故D错误。 故选AC。 4．如图所示为一种潮汐发电示意图，左方为陆地和海湾，右侧为大海，中间为水坝，其下有通道，水流经通道即可带动发电机工作。涨潮时开闸蓄水，落潮时开闸放水，均在内外水面高度相同时关闭闸门。设海湾的平均面积为S，每次涨落潮海湾内外水位落差为h，一天涨潮、落潮各一次。水的密度为ρ，重力加速度为g，设一天的时间为t。则（　　） A．一次落潮时流出海湾的海水质量为 B．一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为 C．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为 D．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为 【答案】C 【详解】A．一次落潮时流出海湾的海水质量为ρSh，故A错误； B．一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为；故B错误； CD．一天内海水流经通道两次，海水流经通道对发电机做的总功为ρSgh2，对应海水流经通道对发电机做功的功率为，故C正确，D错误。 故选C。 5．一小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，经过了A、B、C三个位置，它们的位置关系如图所示（忽略空气阻力）。小球在AB段与BC段重力的平均功率分别为P1、P2；小球在B点与C点重力的瞬时功率分别为P3、P4。则下列关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由图可知AB段与BC段小球在竖直方向上位移相等，但AB段水平位移大于BC段水平位移，根据可知，小球经过AB段作用时间大于BC段所用时间，即；所以， 故选D。 6．消防车用水泵将水加压后匀速通过水管经高压水枪喷出，喷水口流量约为1L/s，水压可达，据此估计水泵的功率至少需要（　　） A．100W B．500W C．1000W D． 【答案】C 【详解】水泵的功率至少等于其输出的液压功率，计算公式为 其中为压差，为体积流量。根据题意已知， 则代入数据可得 因此，水泵的功率至少需要1000W。 故选C。 知识点4 重力势能 知●识●解●构 重力做功特点：根据功的定义，物体所受的力F和它在力的方向上的位移的乘积。重力是恒力，方向竖直向下，因此计算重力做功，只需找到运动物体在竖直方向上的位移，也就是初末两点间的高度差。 表达式：，为初末两点间高度差。 结论：重力对物体做的功只跟它的初、末位置有关,和物体的运动路径无关。 重力势能：根据重力做功的表达式：，我们可以推出以下两点： （1）物体向高处运动，重力做负功（或表述为克服重力做功）；物体向低处运动，重力做正功；物体在同一水平面上运动，重力不做功； （2）和，有些特殊，一方面它们和重力做功密切相关；另一方面，它们随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加。 我们将叫重力势能，表达式：，式中表示物体重心到参考平面（零势能面）的高度。 参考平面可以任意选取，实际问题中以解决问题方便为原则选取，通常选取地面为参考平面。物体重心在参考平面上方，重力势能为正值,物体重心在参考平面下方，重力势能为负值。 重力势能是标量。 单位：焦耳，符号J。1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m 重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量（等于重力势能变化量的相反数）。 （其中表示物体在初位置的重力势能，表示末位置的重力势能）。 重力做正功，重力势能减小；重力做负功（克服重力做功），重力势能增加。 重力势能的变化仅与重力做功有关，与物体是否还受其他力作用，以及物体做何种运动无关。 重力势能的系统性 重力是地球与物体相互吸引产生的，如果没有地球,也就没有重力，所以重力势能是地球与物体所组成的“系统”共有的,不是地球上的物体单独具有的,平时所说的物体的重力势能只是一种简化说法。 1．（多选）下列关于重力势能的说法正确的是（　　） A．相对于某一参考平面，两个物体重力势能，，则与方向相反 B．两个物体相对于某一参考平面的重力势能，，则 C．如果一个物体在运动过程中重力做负功，则其重力势能一定增加 D．重力势能是标量，负值没有意义 【答案】BC 【详解】AB．重力势能是标量，正负表示大小，不表示方向，两个物体相对于同一参考平面的重力势能，，则有，故A错误，B正确。 C．根据功能关系，重力做负功，重力势能增加，故C正确。 D．重力势能是标量，负值表示物体处于参考平面以下，有意义，故D错误。 故BC正确。 2．（多选）如图所示，质量为0.5kg的小球，从A点下落到地面上的B点，h1为1.2m，桌面高h2为0.8m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．以桌面为零势能参考平面，小球在B点的重力势能为 B．以地面为零势能参考平面，小球在A点的重力势能为 C．以桌面为零势能参考平面，小球下落过程中，重为势能先减小后增大 D．小球从A点下落到地面上的B点，重力做正功，重力势能减少了10J 【答案】AD 【详解】A．以桌面为零势能参考平面，小球B点的重力势能，故A正确； B．以地面为零势能参考平面，小球A点的重力势能，故B错误； C．物体小球向下运动，重力做正功，重力势能一直减小，故C错误； D．小球从A点下落到地面上的B点，重力势能减少，故D正确； 故选AD。 3．如图所示，质量为的跳高运动员先后用背越式和跨越式两种跳高方式跳过某一高度，该高度比他起跳时的重心高出，则他从起跳后至越过横杆的过程中克服重力所做的功（　　） A．都必须大于 B．都不一定大于 C．用背越式不一定大于，用跨越式必须大于 D．用背越式必须大于，用跨越式不一定大于 【答案】C 【详解】从图中可看出，用背越式越过横杆时运动员的重心可能在腰部下方，即重心可能在横杆的下方，运动员克服重力所做的功不一定大于mgh。而跨越式跨过横杆时，运动员的重心一定在横杆之上，运动员克服重力所做的功必须大于mgh，故C正确，ABD错误。 故选C。 4．（非质点类物体的重力势能）如图所示，在水平地面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，其重力势能增加量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对n块砖整体研究，从它们平铺在地面上到一块一块叠放起来砖所增加的重力势能 故选B。 5．【变式训练】如图，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度为g。此过程中外力做的功为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据功能关系，拉力做的功等于MQ段系统重力势能的增加量，由题知PM段绳的机械能不变，MQ段绳的重心升高了； 则重力势能的增加量为 所以此过程中外力做的功为， 故选A。 6．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h。打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平。在这一过程中，液体的重力加速度为g，液体的重力势能（　　） A．减少 B．增加了 C．减少了 D．增加了 【答案】A 【详解】打开阀门K，最终两液面相平，相当于右管内的液体流到了左管中，它的重心下降了，这部分液体的质量 由于液体重心下降，重力势能减少，重力势能的减少量；减少的重力势能转化为内能。 故选A。 知识点5 弹性势能 知●识●解●构 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。如卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓等都具有弹性势能。 在弹性限度内，弹簧的弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关: (1)在弹簧的形变量相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大； (2)在弹簧的劲度系数相同时，弹簧的形变量越大，弹簧的弹性势能越大。 对同一弹簧，形变量相同时，弹力大小相等，弹性势能也相等。 弹性势能与弹力做功的关系。如图所示，0为弹簧的原长位置， (1)弹力做负功时:比如物体由O向A运动(压缩)或者由O向运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功时:比如物体由A向O运动，或者由向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为。 弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少；克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少。 弹性势能表达式。弹簧弹力随形变量x的变化图像（F-x）中，图像与x轴所围的面积表示弹力做功，如图所示， 当弹簧的形变量为x时， 弹力做功； 弹性势能（了解即可） 1．如图所示，先后把同一小球放置于一轻弹簧的上端和悬挂于该弹簧的下端，小球静止时弹性势能分别为和，则（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【详解】先后把同一小球放置于一轻弹簧的上端和悬挂于该弹簧的下端，小球静止时放置于一轻弹簧的上端时，根据受力平衡可得 悬挂于该弹簧的下端时，根据受力平衡可得 可知两种情景下弹簧的压缩量等于伸长量，则有 故选B。 2．关于弹性势能，下列说法正确的是（　　） A．只要发生形变，物体就具有弹性势能 B．某一弹簧的长度越长，其弹性势能就越大 C．弹簧的弹力做正功，其弹性势能增加 D．在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小与弹簧形变量有关 【答案】D 【详解】A．发生弹性形变的物体才具有弹性势能，A错误； B．某一弹簧的形变量越大，其弹性势能就越大，某弹簧从压缩状态变为原长，弹簧长度增加，弹性势能减小，故B错误； C．弹簧的弹力做正功，其弹性势能减少，C错误； D．在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小与弹簧形变量有关，D正确。 故选D。 3．如图甲所示，一滑块沿水平面向左运动，与水平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，由图可知，弹簧的压缩量由变为的过程中，弹簧弹力对滑块所做的功以及弹性势能的变化量分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据W=Fx可知，弹簧弹力做功等于F-x图像的面积，则 根据 故选C。 4．如图所示，上端固定的轻弹簧下端连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，在时刻释放小球，小球向下运动第一次到最低点的时刻为，关于弹簧的弹性势能变化说法正确的是（　 ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小再增大 D．先增大再减小 【答案】C 【详解】由题意可知，释放小球时，弹簧处于压缩状态，小球运动到最低点时，弹簧处于伸长状态，所以弹簧先从压缩状态到原长，再变为伸长状态，弹簧的弹性势能先减小再增大。 故选C。 5．如图所示，一轻弹簧一端固定于О点，另一端系一重物，将重物从与悬点О在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　） A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变 B．重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加 C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功 D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功 【答案】C 【详解】AB．重物由A点摆向最低点B的运动中，重力做正功，弹簧伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，AB错误； C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，由于细绳不可伸长，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正确； D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，由于细绳不可伸长，重物下落的高度变小，重力做功变小，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，D错误。 故选C。 知识点6 动能定理 知●识●解●构 设在光滑水平面上的某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下,将做匀变（加）速直线运动，设该运动位移为，速度由增加到,如图 根据匀变速直线运动速度与位移关系，有：； 各项，有 结合牛顿第二定律，以及做功公式 有：。 表达式中的“”是一个与运动速度有关的状态量，表示物体的能量值，我们把这个能量定义为“动能”，用表示。 同时表示物体末状态动能，表示物体初状态动能。 单位：焦耳，。 （1）动能是标量，只有大小，没有方向，且只有正值，没有负值。 （2）动能是状态量,与时刻对应，中的速度一定是瞬时值。 （3）选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。 （4）对于同一物体，速度发生变化时，动能不一定变化，因为速度是矢量，如果仅是速度方向变化，则物体的动能不变。 动能发生变化时，物体的速度大小一定发生了变化。 动能定理：合外力对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫作动能定理，表达式为:。 （1）动能定理中的“力”是物体所受的合力，可以是恒力也可以是变力，不同的力可以不同时作用； （2）动能定理反映了功和能之间的关系，即做功过程是能量转化的过程，“功”是“能”转化的量度。 （3）合力做正功，，则，即末动能大于初动能，动能减小； 同理，合力做负功，动能增加。 合力做功等于动能变化量。 注：变化量、增加量，都是“末-初”，减少量是“初-末” 考向1 对动能、动能定理的理解 1．（多选）关于物体的动能，以下说法中正确的是（  ） A．物体的速度变化，其动能一定变化 B．物体的动能变化，其速度一定变化 C．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的 D．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化 【答案】BC 【详解】A．如果物体的速度有变化，可能只是速度方向变化，则动能不一定变，故A错误； B．如果物体的动能变化，则说明其速度大小一定变化，说明速度一定发生了变化，故B正确； C．物体的速度与参考系的选取有关，故C正确； D．如果合外力不为零，但合外力不一定做功，如匀速圆周运动，其动能不一定变化，故D错误。 故选BC。 2．把一个物体从粗糙斜面的底端匀加速拉到斜面顶端的过程中，下列说法不正确的是 A. 拉力与摩擦力做功的代数和等于物体动能的增量 B. 拉力、摩擦力和重力做功的代数和等于物体动能的增量 C. 拉力、摩擦力、重力和支持力的合力做的功等于物体动能的增量 D. 物体所受外力的合力做的功等于物体动能的增量 【答案】A 【详解】物体从粗糙斜面的底端匀加速拉到斜面顶端的过程中，受重力、摩擦力、支持力、拉力四个力作用，根据做功的条件知支持力做功为0； 由动能定理可知：物体所受外力的合力做的功即拉力、摩擦力、重力和支持力的合力做的功等于物体动能的增量，故A不正确，BCD正确。 本题选说法不正确的， 故选A。 3．关于动能定理，下列说法中正确的是（　　） A．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和 B．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变 C．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用 D．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程 【答案】B 【详解】A．某过程中外力的总功等于各力做功的代数之和，故A错误； B．只要合外力对物体做了功，由动能定理知，物体的动能就一定改变。故B正确； C．动能不变，只能说明合外力的总功W＝0，动能定理仍适用，故C错误； D．动能定理既适用于恒力做功，也可适用于变力做功，故D错误。 故选B。 4．如图所示，甲是竖直固定的光滑圆弧轨道，轨道半径为，圆弧底端切线水平，乙是高为的光滑斜面。某一小物块分别从圆弧顶端和斜面顶端由静止下滑，下列判断正确的是（　　） A．物块到达底端时速度相同 B．物块运动到底端的过程中重力做功不相同 C．物块到达底端时动能相同 D．物块到达底端时，重力的瞬时功率相等 【答案】C 【详解】A．根据动能定理得；知两物块达到底端的动能相等，速度大小相等，但速度的方向不相同，故A错误； B．两物块运动到底端的过程中，下落的高度相同，由于质量相等，则重力做功一定相同，故B错误； C．两物块到达底端的速度大小相等，质量相等，可知两物块到达底端的动能一定相同，故C正确； D．两物块到达底端的速度大小相等，甲重力与速度方向垂直，瞬时功率为零，则乙重力做功的瞬时功率大于甲重力做功的瞬时功率，故D错误。 故选C。 考向2 动能定理在直线运动中的应用 1．（多选）质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．克服摩擦力做的功为 C．物体再前进便停止 D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为 【答案】CD 【详解】根据动能定理，即克服摩擦力做功为，根据，解得，AB错误； 根据动能定理，解得，C正确； 根据动能定理，解得，D正确。 故选CD。 2．一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动，当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为2v时，上升的最大高度记为h.重力加速度大小为g.物块与斜坡间的动摩擦因数μ和h分别为(　 ) A．tanθ和2H B．tanθ和4H C．和2H D．和4H 【答案】D　 【解析】第一上滑，由动能定理得； 第二上滑，由动能定理得； 联立解得，，h=4H； 故选D。 3．如图所示，小物体从A处由静止开始沿光滑斜面AO下滑，又在粗糙水平面上滑动，最终停在B处，已知A距水平面OB的高度为h，物体的质量为m, 现用力将物体从B点静止沿原路拉回至距水平面高为h的C点处，已知重力加速度为g，需外力做的功至少应为(　　) A．mgh B．mgh C．mgh D．2mgh 【答案】C　 【解析】物体从A到B全程应用动能定理可得mgh－Wf＝0，由B返回C处过程，由动能定理得WF－Wf－mgh＝0，联立可得WF＝mgh， 故选C。 4．如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知斜面倾角为，小木块质量为m，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，A、O两点的距离为x。在小木块从斜面顶端滑到A点的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 如果h和一定，越大，x越大 B. 如果h和一定，越大，x越小 C. 摩擦力对木块做功为 D. 重力对木块做功为 【答案】D 【解析】对小木块运动的整个过程，根据动能定理有，解得，所以x与θ无关，故AB错误； 根据前面分析可知重力对木块做功为，摩擦力对木块做功为，故C错误，D正确。 故选D。 考向3 动能定理在汽车启动模型中的应用 车辆从静止开始启动，若运动过程中所受阻力不变，车辆发动机输出功率为P，则牵引力； 根据牛顿第二定律有。 车辆的两种启动方式： 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 过程分析 （OA段） 达到时无法继续增加，有 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝　 过程分析 （AB段） 随，当 即恒定功率 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 以vm做匀速直线运动 P­t图 v­t图 和F­t图 恒定加速度启动时，时刻达到额定功率，匀加速运动结束，时刻的速度； 时刻之后做加速度减小的变加速运动，当加速度为0时达到最大速度； 恒定功率启动阶段，牵引力逐渐减小，牵引力做功用W=Pt计算，恒定加速度启动阶段，P增加，牵引力做功用计算。 动能定理在汽车启动模型中的应用，求解车辆从恒定功率启动到最大速度这段时间的位移：。 或继续求解这段时间内的平均速度。 1．质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，v-t图像如图所示，图线在0~t1的时间内为倾斜直线，t1∼t2的时间内为曲线。t1时刻，汽车达到额定功率P0，之后保持不变，t2时刻达到最大速度。汽车行驶过程中所受阻力恒定，下列判断正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．汽车的牵引力最大值为 C．当汽车的速度为v2时，加速度大小为 D．0~t2的时间内，汽车的位移为 【答案】C 【详解】A．汽车所受的恒定阻力大小为，故A错误； B．根据牛顿第二定律 其中；解得，故B错误； C．当汽车的速度为v2时，汽车的牵引力为；根据牛顿第二定律 解得，故C正确； D．0~t1的时间内，汽车的位移为 t1~t2的时间内，根据动能定理 解得 所以，0~t2的时间内，汽车的位移为，故D错误。 故选C。 2．（多选）如图甲为某型号电动平衡车，其体积小，操控新颖方便，深受年轻人的喜爱。当人站在平衡车上沿水平直轨道由静止开始运动时，其图像如图乙所示（除时间段图线为曲线外，其余时间段图线均为直线）。已知人与平衡车质量之和为，后功率恒为，且整个骑行过程中所受到的阻力不变，结合图像的信息可知（　　） A．时间内，牵引力做功 B．时间内，平衡车的平均速度大小是 C．时间内，平衡车克服摩擦力做功 D．平衡车在第末与第末的功率之比为 1∶2 【答案】AC 【详解】电动平衡车最终匀速运动时，牵引力与阻力大小相等，有；代入数据，可得； 在时间内，平衡车做匀加速运动，根据图像可知根据牛顿第二定律；可得 在时间内的位移；； 因此时间内，牵引力做功；故A正确 在时间内，平衡车做加速度逐渐减小的加速运动，因此，故B错误； 在时间内，根据动能定理有；结合图像得；；故C正确； D．平衡车在第末的功率；因此；故D错误。 故选AC。 3.一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．该汽车的质量为 B． C．在前内，汽车克服阻力做功为 D．在内，汽车的位移大小为 【答案】C 【详解】第5 s末，汽车的功率达到15 kW，此时速度为5 m/s，所以此时的牵引力为； 而在，汽车在做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2。则；解得m=1000 kg，A错误； 汽车所受的阻力大小为；故匀速时的速度B错误； 令前5 s的位移为x1，则，则阻力做的功为在前5s内，汽车克服阻力做功为，C正确； 在5~15 s内，列动能定理其中，解得，D错误。 故选C。 4．某质量m=1500kg汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t的变化规律图线如图所示，所受阻力恒为1250N。已知汽车在t0时刻速度达到54km/h时切换动力引擎以恒定功率行驶至第11s末。则下列说法正确的是（　） A．t0=7s B．在前11s内，电动机输出的最大功率为60kW C．在前11s内，汽车以恒定功率行驶期间牵引力做的功为4.5×105J D．在前11s内汽车发生的位移为160m 【答案】C 【详解】开始阶段加速度为：，v1=54km/h=15m/s；解得：故A错误； t0时刻，电动机输出的功率最大为：Pm=F1v1=5000×15W=75kW；故B错误； 以恒定功率行驶期间，功率为：P=F2v1=90kW；解得11s时刻汽车的速度为：； 后5s内汽油机工作时牵引力的功为：W=Pt=4.5×105J；故C正确；汽车前6s内的位移为：；后5s内根据动能定理得：；解得：x2=120m；前11s时间内汽车的位移165m，故D错误。 故选C。 考向4 动能定理在曲线运动中的应用 1．如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为(　　) A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg 【答案】C 【解析】小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据动能定理，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C正确。 故选C。 2．如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则 (　　) A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 【答案】C 【解析】小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力。如果小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝m，可得v＝， 其由管顶部运动到管底部的过程中由动能定理有2mgR＋mv2-mv，可得v1＝， 小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN1－mg＝m，解得FN1＝7mg， 由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg。如果小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中动能定理有2mgR=mv，解得v2＝2，小球在管底部时，由牛顿第二定律有FN2－mg＝m，解得FN2＝5mg， 由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg，故选C。 3．如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求： （1）A、B两点的高度差； （2）小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？ 【答案】(1)0.8 m (2)4 N 【解析】(1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有vA＝＝5 m/s， 根据动能定理，有mgh＝mvA2－mv02 解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。 (2)假设小球能到达C点，由动能定理得 -mgR(1＋cosθ)＝mvC2-mvA2 代入数据解得vC＝3 m/s， 小球通过C点的最小速度为v，则mg＝m，v＝＝m/s， 因为vC>v，所以小球能到达最高点C，在C点，由牛顿第二定律得mg＋F＝m代入数据解得F＝4 N，由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。 考向5 动能定理在往复运动中的应用 1．如图所示，MPQ为竖直面内一固定轨道，MP是半径为R的光滑圆弧轨道，它与水平轨道PQ相切于P，Q端固定一竖直挡板，PQ长为s。质量为m的物块在M端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次碰撞后停在距Q点为L的地方，与挡板碰撞过程中无机械能损失，重力加速度为g。求： (1)物块滑至圆弧轨道P点时对轨道压力的大小； (2)物块与PQ段动摩擦因数μ的可能值。 【答案】(1) 3mg　(2)或 【解析】(1)设物块滑至P点时的速度为v，根据动能定理有mgR＝mv2，所以v＝ ， 设物块到达P点时，轨道对它的支持力大小为N，根据牛顿运动定律有N－mg＝m， 所以N＝3mg， 根据牛顿第三定律，物块对轨道压力的大小N′＝N＝3mg (2)第一种情况：物块与Q处的竖直挡板相撞后，向左运动一段距离，停在距Q为L的地方。设该点为O1，物块从M运动到O1的过程，根据动能定理有mgR－μmg(s＋l)＝0－0，所以μ＝， 第二种情况：物块与Q处的竖直挡板相撞后，向左运动冲上圆弧轨道后，返回水平轨道，停在距Q为L的地方。设该点为O2，物块从M运动到O2的过程，根据动能定理有mgR－μmg(2s＋s－l)＝0－0，所以μ＝ 2．如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圆心O与A、D点在同一高度，θ＝37°，圆弧面的半径R＝3.6 m，一滑块质量m＝5 kg，与AB斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块从A点由静止释放(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)．求在此后的运动过程中： （1）滑块在AB段上运动的总路程； （2）在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值和最小值。 【答案】(1)8 m　(2)102 N　70 N 【解析】(1)由题意可知斜面AB与水平面的夹角为θ＝37°，知mgsin θ>μmgcos θ， 故滑块最终不会停留在斜面上， 由于滑块在AB段受摩擦力作用，则滑块做往复运动的高度将越来越低，最终以B点为最高点在光滑的圆弧面上往复运动。 设滑块在AB段上运动的总路程为s，滑块在AB段上所受摩擦力大小Ff＝μFN＝μmgcos θ，从A点出发到最终以B点为最高点做往复运动，由动能定理得mgRcos θ－Ffs＝0， 解得s＝＝8 m. (2)滑块第一次过C点时，速度最大，设为v1，分析受力知此时滑块所受轨道支持力最大，设为Fmax，从A到C的过程，由动能定理得mgR－FflAB＝mv12－0， 斜面AB的长度lAB＝， 由牛顿第二定律得Fmax－mg＝，解得Fmax＝102 N。 块以B为最高点做往复运动的过程中过C点时，速度最小，设为v2，此时滑块所受轨道支持力最小，设为Fmin，从B到C，由动能定理得mgR(1－cos θ)＝mv22－0， 由牛顿第二定律得Fmin－mg＝，解得Fmin＝70 N， 根据牛顿第三定律可知C点受到的压力最大值为102 N，最小值为70 N。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为的物块在拉力作用下，以初速度由原点出发，沿轴依次经过、、三点。已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为，，随位置的变化如图（b）所示。设物块经过、两点时的瞬时功率分别为、，经过、、段的平均功率分别为、、，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据题意，从到过程中，由动能定理有 解得 从到过程中，由动能定理有 解得 则有， 则有 设经过段的时间分别为、、，物块在阶段，拉力小于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度减小的减速运动，速度由减速到，物块在阶段，拉力大于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度增大的加速运动，物体在点的加速度大小为 点的加速度大小为 则有 由对称性可得 物体在阶段做加速度减小的加速运动，则在段的平均速度大于段的平均速度，则有 根据图像面积表做功，由图可知，经过、、段做功分别为， 又有、、 可得 故选C。 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 【答案】(1)5m/s；(2)8m/s，60° 【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理 代入数据解得雪块到A点速度大小为 （2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理 代入数据解得雪块到地面速度大小 速度与水平方向夹角，满足 解得 3．（2023·辽宁·高考真题）如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（　　）    A．甲沿I下滑且同一时刻甲的动能比乙的大 B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小 C．乙沿I下滑且乙的重力功率一直不变 D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大 【答案】B 【详解】AB．由图乙可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，乙做加速度逐渐减小的加速运动，乙沿I下滑，任意时刻甲的速度都小于乙的速度，可知同一时刻甲的动能比乙的小，A错误，B正确； CD．乙沿I下滑，开始时乙速度为0，到点时乙竖直方向速度为零，根据瞬时功率公式可知重力瞬时功率先增大后减小，CD错误。 故选B。 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 功、能、动能定理（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 功 考向1 功的定义、简单计算 考向2 功的正负及判断 知识点二 变力做功 知识点三 功率 知识点四 重力势能 知识点五 弹性势能 知识点六 动能定理 考向1 对动能、动能定理的理解 考向2 动能定理在直线运动中的应用 考向3 动能定理在汽车启动模型中的应用 考向4 动能定理在曲线运动中的应用 考向5 动能定理在往复运动中的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 动能定理的应用 单选（压轴）第7题 解答 第13题 2023年 单选第3题 考情分析 题型与考向：高考物理“功和能”，贯穿力学、电磁学、热学多个大模块。在高考中稳定考查1–2题，分值约6–15分。题型覆盖选择题、实验题与计算题，选择题一般考查对基本概念和规律的理解，计算题侧重综合应用能力的考查。 整体命题趋势：高考中，功、功率、动能定理的应用情境更复杂真实，融合跨学科与科技元素，强化创新迁移、图像信息分析考查。 情境与立意： 1. 真实生活情境深度渗透，不再使用纯理论裸模型出题，而是以生活化、科技化场景为载体， 交通工具：新能源汽车续航、国产大飞机起降、列车、汽车等 体育运动：山地自行车越野、雪块滑行、过山车等 生产生活：机器狗负重测试、石磨转动、投壶游戏等 科技前沿：外骨骼机器人、光伏电池、风光互补路灯等 2. 典型物理模型，试题中也常出现弹簧、各类轨道、传送带等装置，常见模型包括：传送带模型、板块模型、弹簧模型；竖直面圆周运动、斜面运动、绳、杆连接体系统 3. 跨学科与科技元素融合，功、功率、动能定理的应用情境融合跨学科与科技元素。 如以舰载机电磁弹射与制动为真实情境，从动力学、能量、动量多视角剖析。命题还会越来越多地联系现代科技，如天体运动中的能量转化等。 复习目标 1. 深入理解基础概念、牢记公式； 恒力功与变力功的分析计算能力：能选用合适的方法计算变力做的功。 功率的分析计算能力：灵活区分平均功率与瞬时功率，解决机车启动等实际问题。 动能定理的应用能力：敏锐捕捉物理过程临界点，精准分析极值条件，选择合适的过程。 多过程综合分析能力：学会将复杂问题分解为多个简单的子过程，分别运用相应物理规律求解。 图像信息分析能力：能读懂P-t、v-t、F-x、Ek-x等图像，提取关键信息。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 功 知●识●解●构 1．功的定义 我们把恒力作用下，物体所受的力F和它在力的方向上的位移l的乘积，叫做这个力对物体做的功。用W表示功，若F和l的夹角是α，则上述定义可表示为： 2．功的说明 (1)做功的两个必要因素：一是力，二是在这个力方向上的位移。 (2)式中的F一定是恒力(大小、方向都不变)，即此式是求恒力做功的公式。若是变力，则无法直接使用此式，需要借助微积分或者图像计算。 (3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功。 (4)功是过程量，反映力对位移的累积效果。 (5)功是标量，有正负之分，无方向。 3．正功和负功 继续对公式讨论有： (1)当0≤α<时，，，表示力对物体做正功，力是动力 (2)当时，，，表示力对物体不做功；力不是动力也不是阻力 (3)当<α≤π时，，，表示力对物体做负功，力是阻力 可见，一个力作用于物体，可以对物体做正功，做负功，也可能不做功。 某个力做功-1J，也可表示为：克服该力做功1J。 比较两个力做功多少时取绝对值，负功表示做功的力是阻力。阻力不一定是摩擦力。 4．总功的计算 当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功通常可以用下述两种方法求解： (1)根据公式，先分别求出各个力F1、F2 、… 对物体所做的功W1、W2、…，再求各力所做的功的代数和，即=W1+W2+…(注意代入时应注意功正负问题，即带入W时的正负号)。 (2)由力的矢量合成方法先求出这几个力的合力，再根据功的公式，其中α是合力方向与位移方向之间的夹角。 5．几种力做功特点 根据功的定义可知，重力做功与运动路径无关，只和初末两点高度差有关。 摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。一对静摩擦力做功代数和总等于0，一对滑动摩擦力做功代数和总小于0（动能转化为热能，后续学习），其绝对值等于摩擦力与相对路程的乘积。 一对平衡力合力等于0，所以它们做功代数和等于0。 一对作用力和反作用力，作用在两个物体上，做功代数和没必然联系。 考向1 功的定义、简单计算 1．关于功的概念，以下说法正确的是(　 ) A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量 B．功有正、负之分，所以功可能有方向性 C．功是标量 D．-10J的功小于+5J的功 2．如图所示，质量为m的小车在与竖直 方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离L，车与地面之间的动摩擦因数为μ。下列说法正确的是（　　） A．拉力对小车做功FL B．拉力对小车做功为FLsinα C．摩擦力对小车做功为-μmgL D．重力对小车做功为mgL 3．如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别和，则（　） A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定 考向2 功的正负及判断 1．（多选）一同学穿着旱冰鞋处于静止状态,推一下竖直墙壁后有了向后的速度。关于该同学推墙的过程中,下列说法正确的是(　　) A.墙壁对该同学做正功 B.墙壁对该同学没有做功 C.该同学对墙壁做正功 D.该同学对墙壁没有做功 2．(多选)把一个物体竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为f，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中( ) A．重力所做的功为零 B．重力所做的功为2mgh C．空气阻力做的功为零 D．空气阻力做的功为﹣2fh 3．下列说法正确的是（　　） A．静摩擦力一定不做功 B．滑动摩擦力一定对物体做负功 C．一对作用力和反作用力，若作用力做正功，则反作用力一定做负功 D．一对平衡力对物体做功的代数和一定为零 4．（多选）质量为m的物体,受水平力F的作用,在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是( ) A.如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B.如果物体做减速直线运动，F一定做负功 C.如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D.如果物体做匀速直线运动，F一定做正功 5．（多选）如图所示,质量为m的滑块放在光滑斜面上，斜面与水平面间的摩擦力不计，当滑块从斜面顶端滑到斜面底端的过程中( ) A.重力对滑块做功 B.滑块受到斜面的支持力与斜面垂直,所以支持力对滑块不做功 C.斜面对滑块的支持力对滑块做负功 D.滑块对斜面的压力对斜面做正功 知识点2 变力做功 知●识●解●构 求变力做功的常用方法 方法 以例说法 微元法 　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1+Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换法 　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功 W＝F·(－) 图像法 　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功， 平均 值法 　当力与位移为线性关系，力可用平均值表示，代入功的公式得 1．石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为20N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中克服摩擦力所做的功约为（　　） A．0 B．6J C．19J D．38J 2．一小物块在水平拉力的作用下向右运动，拉力随小物块的位置坐标变化的图像如图所示，则在内，拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 3．图甲为建造桥梁时使用的穿巷式架桥机，支腿架在桥墩上架桥施工，在走行系统的水平方向作用力下，将桥梁水平推进到预设位置后放下与主体相接。已知桥梁的质量为m，在桥梁水平移动过程中，架桥机对桥梁的水平力F与桥梁的位移x之间的关系如图乙所示，桥梁所受阻力方向与运动方向相反，大小恒为f，重力加速度为g。则桥梁受架桥机水平力F作用过程中，下列说法正确的是（　　） A．桥梁向右做匀加速直线运动 B．力F做的功为 C．阻力做的功为 D．桥梁在处速度最大 4．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(　　) A． B． C． D． 5．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 6．人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量的物体，如图所示，开始时绳与水平方向成角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动而到达B点时，绳与水平方向成角，求人对绳的拉力做了多少功？（不计摩擦，g取） 知识点3 功率 知●识●解●构 定义：功跟完成这些功所用时间的比值。定义式： 功率的说明 物理意义：描述做功快慢的物理量。 单位：瓦特，简称瓦，用W表示。1 W=1 J/s。 功率是标量。 额定功率指机器长时间正常工作时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值；实际功率指机器工作时实际输出的功率。 功率的两种表达式 功率①，将带入之后，可得到功率的另一种表达式： ② 公式①、②分别为平均功率和瞬时功率的计算式。 (1)平均功率描述力在一段时间内做功的快慢。 是平均功率的定义式，反映时间t内做功的快慢；我们也可以用来计算平均功率，此时，v表示的是平均速度。 (2)瞬时功率是表示某个时刻做功快慢的物理量。 是瞬时功率的表达式，其中v为所求时刻的瞬时速度。同样，在时，也可以表示瞬时功率。 计算功率时应注意的问题 （1）角是F、v两个矢量正方向间的夹角，式中的作用是将F、v统一到一条直线上。 （2）明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。 （3）求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率;求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。 （4）应该明确是哪一个力对物体做功的功率。 1．如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛，忽略空气阻力影响，下列说法正确的有（　　） A．三个小球同时落地 B．运动过程中的重力平均功率相等 C．重力对三个球做的功相等 D．它们落地时重力的瞬时功率相等 2．如图所示的拖把由拖杆和拖把头构成。小虹同学在水平地面打扫卫生时，保持拖杆与竖直方向的夹角，并用沿拖杆方向大小为25N的恒力推动拖把头向前移动了1m，用时1s。已知拖把头的质量为1.8kg，与地面间的动摩擦因数为0.3。已知，，若不计拖杆质量，则此过程中（　　） A．小虹对拖把做功15J B．拖把头克服摩擦力做功5.4J C．拖把所受重力的功率为18W D．小虹对拖把做功的功率为25W 3．（多选）身高1.70m，体重60kg的李明同学在1min内连续做了30个完整的引体向上，且“上引”过程与“下放”过程的时间相同。引体向上的“上引”过程重心上升的高度约为0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．该同学在1min内重力做的总功为0J B．该同学在1min内重力做的总功约为18000J C．该同学在某次“上引”过程克服重力做功的平均功率约为300W D．该同学在某次“下放”过程克服重力的瞬时功率一直增加 4．如图所示为一种潮汐发电示意图，左方为陆地和海湾，右侧为大海，中间为水坝，其下有通道，水流经通道即可带动发电机工作。涨潮时开闸蓄水，落潮时开闸放水，均在内外水面高度相同时关闭闸门。设海湾的平均面积为S，每次涨落潮海湾内外水位落差为h，一天涨潮、落潮各一次。水的密度为ρ，重力加速度为g，设一天的时间为t。则（　　） A．一次落潮时流出海湾的海水质量为 B．一次落潮时海水流经通道对发电机做的功为 C．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为 D．一天内海水流经通道对发电机做功的功率为 5．一小球以一定速度从水平台面上滚落地面的过程中，经过了A、B、C三个位置，它们的位置关系如图所示（忽略空气阻力）。小球在AB段与BC段重力的平均功率分别为P1、P2；小球在B点与C点重力的瞬时功率分别为P3、P4。则下列关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．消防车用水泵将水加压后匀速通过水管经高压水枪喷出，喷水口流量约为1L/s，水压可达，据此估计水泵的功率至少需要（　　） A．100W B．500W C．1000W D． 知识点4 重力势能 知●识●解●构 重力做功特点：根据功的定义，物体所受的力F和它在力的方向上的位移的乘积。重力是恒力，方向竖直向下，因此计算重力做功，只需找到运动物体在竖直方向上的位移，也就是初末两点间的高度差。 表达式：，为初末两点间高度差。 结论：重力对物体做的功只跟它的初、末位置有关,和物体的运动路径无关。 重力势能：根据重力做功的表达式：，我们可以推出以下两点： （1）物体向高处运动，重力做负功（或表述为克服重力做功）；物体向低处运动，重力做正功；物体在同一水平面上运动，重力不做功； （2）和，有些特殊，一方面它们和重力做功密切相关；另一方面，它们随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加。 我们将叫重力势能，表达式：，式中表示物体重心到参考平面（零势能面）的高度。 参考平面可以任意选取，实际问题中以解决问题方便为原则选取，通常选取地面为参考平面。物体重心在参考平面上方，重力势能为正值,物体重心在参考平面下方，重力势能为负值。 重力势能是标量。 单位：焦耳，符号J。1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m 重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量（等于重力势能变化量的相反数）。 （其中表示物体在初位置的重力势能，表示末位置的重力势能）。 重力做正功，重力势能减小；重力做负功（克服重力做功），重力势能增加。 重力势能的变化仅与重力做功有关，与物体是否还受其他力作用，以及物体做何种运动无关。 重力势能的系统性 重力是地球与物体相互吸引产生的，如果没有地球,也就没有重力，所以重力势能是地球与物体所组成的“系统”共有的,不是地球上的物体单独具有的,平时所说的物体的重力势能只是一种简化说法。 1．（多选）下列关于重力势能的说法正确的是（　　） A．相对于某一参考平面，两个物体重力势能，，则与方向相反 B．两个物体相对于某一参考平面的重力势能，，则 C．如果一个物体在运动过程中重力做负功，则其重力势能一定增加 D．重力势能是标量，负值没有意义 2．（多选）如图所示，质量为0.5kg的小球，从A点下落到地面上的B点，h1为1.2m，桌面高h2为0.8m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．以桌面为零势能参考平面，小球在B点的重力势能为 B．以地面为零势能参考平面，小球在A点的重力势能为 C．以桌面为零势能参考平面，小球下落过程中，重为势能先减小后增大 D．小球从A点下落到地面上的B点，重力做正功，重力势能减少了10J 3．如图所示，质量为的跳高运动员先后用背越式和跨越式两种跳高方式跳过某一高度，该高度比他起跳时的重心高出，则他从起跳后至越过横杆的过程中克服重力所做的功（　　） A．都必须大于 B．都不一定大于 C．用背越式不一定大于，用跨越式必须大于 D．用背越式必须大于，用跨越式不一定大于 4．（非质点类物体的重力势能）如图所示，在水平地面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，其重力势能增加量为（  ） A． B． C． D． 5．【变式训练】如图，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距。重力加速度为g。此过程中外力做的功为（  ） A． B． C． D． 6．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h。打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平。在这一过程中，液体的重力加速度为g，液体的重力势能（　　） A．减少 B．增加了 C．减少了 D．增加了 知识点5 弹性势能 知●识●解●构 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。如卷紧的发条、拉长或压缩的弹簧、拉开的弓等都具有弹性势能。 在弹性限度内，弹簧的弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关: (1)在弹簧的形变量相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能越大； (2)在弹簧的劲度系数相同时，弹簧的形变量越大，弹簧的弹性势能越大。 对同一弹簧，形变量相同时，弹力大小相等，弹性势能也相等。 弹性势能与弹力做功的关系。如图所示，0为弹簧的原长位置， (1)弹力做负功时:比如物体由O向A运动(压缩)或者由O向运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功时:比如物体由A向O运动，或者由向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为。 弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少；克服弹力做了多少功，弹性势能就增加多少。 弹性势能表达式。弹簧弹力随形变量x的变化图像（F-x）中，图像与x轴所围的面积表示弹力做功，如图所示， 当弹簧的形变量为x时， 弹力做功； 弹性势能（了解即可） 1．如图所示，先后把同一小球放置于一轻弹簧的上端和悬挂于该弹簧的下端，小球静止时弹性势能分别为和，则（　　） A． B． C． D．无法判断 2．关于弹性势能，下列说法正确的是（　　） A．只要发生形变，物体就具有弹性势能 B．某一弹簧的长度越长，其弹性势能就越大 C．弹簧的弹力做正功，其弹性势能增加 D．在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小与弹簧形变量有关 3．如图甲所示，一滑块沿水平面向左运动，与水平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，由图可知，弹簧的压缩量由变为的过程中，弹簧弹力对滑块所做的功以及弹性势能的变化量分别为（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，上端固定的轻弹簧下端连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，在时刻释放小球，小球向下运动第一次到最低点的时刻为，关于弹簧的弹性势能变化说法正确的是（　 ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小再增大 D．先增大再减小 5．如图所示，一轻弹簧一端固定于О点，另一端系一重物，将重物从与悬点О在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　） A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变 B．重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加 C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功 D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功 知识点6 动能定理 知●识●解●构 设在光滑水平面上的某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下,将做匀变（加）速直线运动，设该运动位移为，速度由增加到,如图 根据匀变速直线运动速度与位移关系，有：； 各项，有 结合牛顿第二定律，以及做功公式 有：。 表达式中的“”是一个与运动速度有关的状态量，表示物体的能量值，我们把这个能量定义为“动能”，用表示。 同时表示物体末状态动能，表示物体初状态动能。 单位：焦耳，。 （1）动能是标量，只有大小，没有方向，且只有正值，没有负值。 （2）动能是状态量,与时刻对应，中的速度一定是瞬时值。 （3）选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。 （4）对于同一物体，速度发生变化时，动能不一定变化，因为速度是矢量，如果仅是速度方向变化，则物体的动能不变。 动能发生变化时，物体的速度大小一定发生了变化。 动能定理：合外力对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫作动能定理，表达式为:。 （1）动能定理中的“力”是物体所受的合力，可以是恒力也可以是变力，不同的力可以不同时作用； （2）动能定理反映了功和能之间的关系，即做功过程是能量转化的过程，“功”是“能”转化的量度。 （3）合力做正功，，则，即末动能大于初动能，动能减小； 同理，合力做负功，动能增加。 合力做功等于动能变化量。 注：变化量、增加量，都是“末-初”，减少量是“初-末” 考向1 对动能、动能定理的理解 1．（多选）关于物体的动能，以下说法中正确的是（  ） A．物体的速度变化，其动能一定变化 B．物体的动能变化，其速度一定变化 C．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的 D．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化 2．把一个物体从粗糙斜面的底端匀加速拉到斜面顶端的过程中，下列说法不正确的是 A. 拉力与摩擦力做功的代数和等于物体动能的增量 B. 拉力、摩擦力和重力做功的代数和等于物体动能的增量 C. 拉力、摩擦力、重力和支持力的合力做的功等于物体动能的增量 D. 物体所受外力的合力做的功等于物体动能的增量 3．关于动能定理，下列说法中正确的是（　　） A．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和 B．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变 C．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用 D．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程 4．如图所示，甲是竖直固定的光滑圆弧轨道，轨道半径为，圆弧底端切线水平，乙是高为的光滑斜面。某一小物块分别从圆弧顶端和斜面顶端由静止下滑，下列判断正确的是（　　） A．物块到达底端时速度相同 B．物块运动到底端的过程中重力做功不相同 C．物块到达底端时动能相同 D．物块到达底端时，重力的瞬时功率相等 考向2 动能定理在直线运动中的应用 1．（多选）质量为m的物体，在水平面上以初速度v0开始滑动，经距离d时，速度减为。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．克服摩擦力做的功为 C．物体再前进便停止 D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为 2．一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动，当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为2v时，上升的最大高度记为h.重力加速度大小为g.物块与斜坡间的动摩擦因数μ和h分别为(　 ) A．tanθ和2H B．tanθ和4H C．和2H D．和4H 3．如图所示，小物体从A处由静止开始沿光滑斜面AO下滑，又在粗糙水平面上滑动，最终停在B处，已知A距水平面OB的高度为h，物体的质量为m, 现用力将物体从B点静止沿原路拉回至距水平面高为h的C点处，已知重力加速度为g，需外力做的功至少应为(　　) A．mgh B．mgh C．mgh D．2mgh 4．如图所示，某一斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的A点停止。已知斜面倾角为，小木块质量为m，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，A、O两点的距离为x。在小木块从斜面顶端滑到A点的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 如果h和一定，越大，x越大 B. 如果h和一定，越大，x越小 C. 摩擦力对木块做功为 D. 重力对木块做功为 考向3 动能定理在汽车启动模型中的应用 车辆从静止开始启动，若运动过程中所受阻力不变，车辆发动机输出功率为P，则牵引力； 根据牛顿第二定律有。 车辆的两种启动方式： 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 过程分析 （OA段） 达到时无法继续增加，有 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝　 过程分析 （AB段） 随，当 即恒定功率 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 以vm做匀速直线运动 P­t图 v­t图 和F­t图 恒定加速度启动时，时刻达到额定功率，匀加速运动结束，时刻的速度； 时刻之后做加速度减小的变加速运动，当加速度为0时达到最大速度； 恒定功率启动阶段，牵引力逐渐减小，牵引力做功用W=Pt计算，恒定加速度启动阶段，P增加，牵引力做功用计算。 动能定理在汽车启动模型中的应用，求解车辆从恒定功率启动到最大速度这段时间的位移：。 或继续求解这段时间内的平均速度。 1．质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，v-t图像如图所示，图线在0~t1的时间内为倾斜直线，t1∼t2的时间内为曲线。t1时刻，汽车达到额定功率P0，之后保持不变，t2时刻达到最大速度。汽车行驶过程中所受阻力恒定，下列判断正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为 B．汽车的牵引力最大值为 C．当汽车的速度为v2时，加速度大小为 D．0~t2的时间内，汽车的位移为 2．（多选）如图甲为某型号电动平衡车，其体积小，操控新颖方便，深受年轻人的喜爱。当人站在平衡车上沿水平直轨道由静止开始运动时，其图像如图乙所示（除时间段图线为曲线外，其余时间段图线均为直线）。已知人与平衡车质量之和为，后功率恒为，且整个骑行过程中所受到的阻力不变，结合图像的信息可知（　　） A．时间内，牵引力做功 B．时间内，平衡车的平均速度大小是 C．时间内，平衡车克服摩擦力做功 D．平衡车在第末与第末的功率之比为1∶2 3.一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．该汽车的质量为 B． C．在前内，汽车克服阻力做功为 D．在内，汽车的位移大小为 4．某质量m=1500kg汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t的变化规律图线如图所示，所受阻力恒为1250N。已知汽车在t0时刻速度达到54km/h时切换动力引擎以恒定功率行驶至第11s末。则下列说法正确的是（　） A．t0=7s B．在前11s内，电动机输出的最大功率为60kW C．在前11s内，汽车以恒定功率行驶期间牵引力做的功为4.5×105J D．在前11s内汽车发生的位移为160m 考向4 动能定理在曲线运动中的应用 1．如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为(　　) A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg 2．如图所示，半径为R的细圆管(管径可忽略)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则 (　　) A．小球在管顶部时速度大小一定为 B．小球运动到管底部时速度大小可能为 C．小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mg D．小球运动到管底部时对管壁的压力一定为7mg 3．如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求： （1）A、B两点的高度差； （2）小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？ 考向5 动能定理在往复运动中的应用 1．如图所示，MPQ为竖直面内一固定轨道，MP是半径为R的光滑圆弧轨道，它与水平轨道PQ相切于P，Q端固定一竖直挡板，PQ长为s。质量为m的物块在M端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次碰撞后停在距Q点为L的地方，与挡板碰撞过程中无机械能损失，重力加速度为g。求： (1)物块滑至圆弧轨道P点时对轨道压力的大小； (2)物块与PQ段动摩擦因数μ的可能值。 2．如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB，BCD部分是一个光滑的圆弧面，C为圆弧的最低点，AB正好是圆弧在B点的切线，圆心O与A、D点在同一高度，θ＝37°，圆弧面的半径R＝3.6 m，一滑块质量m＝5 kg，与AB斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块从A点由静止释放(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)．求在此后的运动过程中： （1）滑块在AB段上运动的总路程； （2）在滑块运动过程中，C点受到的压力的最大值和最小值。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），水平面上一质量为的物块在拉力作用下，以初速度由原点出发，沿轴依次经过、、三点。已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为，，随位置的变化如图（b）所示。设物块经过、两点时的瞬时功率分别为、，经过、、段的平均功率分别为、、，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 3．（2023·辽宁·高考真题）如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（　　）    A．甲沿I下滑且同一时刻甲的动能比乙的大 B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小 C．乙沿I下滑且乙的重力功率一直不变 D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $