2026-2027学年高一上学期3.2函数的基本性质 讲义

3.2函数的基本性质 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 4、 周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 5、 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 2．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数满足，，且对任意的，，，都有，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】先证明为奇函数且在上为增函数，得到在R上为增函数．再由题得，进而得，即得解. 【详解】令, 因为，所以为奇函数， 所以为奇函数， 又，即 所以在上为增函数， 所以在R上为增函数． 因为所以. 得， 即 所以， ． 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 6．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 8．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】利用两函数的奇偶性推得的周期性，求出在1个周期内的函数值，利用周期性求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则可得①， 因为函数为奇函数，所以 ，即， 已知，则可得， 则，即②， 将①代入，可得，则得， 两式相减得，即 4 为的1个周期， 由可得 4 也是函数的1个周期， 因，由②式，令得，令，得，即 令，得，故，, 又由，可得， ，故有， 又，故. 9．（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 二、多选题 10．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意两个实数a，b，定义,若，，，则 （　　） A．是偶函数 B．方程有三个不同的解 C．在区间上单调递增 D．有4个单调区间 【答案】ABD 【知识点】根据图像判断函数单调性、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的定义与判断 【详解】根据函数与， 画出函数的图象，如图. 对于A，由图象和函数特征可知，函数的图象关于y轴对称，故A正确； 对于B，函数的图象与x轴有三个公共点，所以方程有三个不同的解，故B正确； 对于C，D，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，故C错误，D正确. 13．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 三、填空题 14．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 【答案】0 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数值 【详解】由得：， 又，， ，， . 15．（25-26高二下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 16．（2026高三下·贵州·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 【答案】8 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】根据已知条件求出的解析式，通过换元法，结合二次函数的性质及反比例函数的性质求解． 【详解】因为，恒成立，将换成得 ， 两式比较，得， 又因为在定义域上单调递减，所以 故或， 由在定义域上单调递减，而在区间内单调递增，不符合题意； 在区间内单调递减，故， 的定义域， 令，则，故，解得， ，开口向下，对称轴为， 故的最大值为， 已知，是反比例函数，故取最大值时，取最小值， 故函数的最小值为． 17．（2026年北京大学强基计划数学试题）定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 【答案】 【知识点】函数图象的变换、函数新定义 【分析】先由函数的不动点的定义可知不动点为，分和两种情况讨论，并结合函数的旋转性质可得. 【详解】因为函数的不动点是满足的点，即函数图象与直线的交点称为函数的不动点. 若点在函数的图像上，绕原点逆时针旋转后的点也一定在原图像上，即. ①对原点处的点，逆时针旋转两次后得到点，该点仍在图像上， 由函数定义（一个对应唯一一个）得：，故， 因此一定是函数的不动点（满足）. ②设是函数的非零不动点，即. 将点逆时针旋转得点，故； 再逆时针旋转得点，故. 由函数的定义知，同一个只能对应唯一一个，因此，得，与矛盾， 所以函数不存在非零不动点. 综上所述，函数的不动点只有原点，个数为. 四、解答题 18．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 19．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 20．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且定义域为. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数，理由如下： 的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数 . (2)证明：，且， ， 因为，，，， 所以，即， 所以在上单调递减. (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为为奇函数，且， 所以. 又在上单调递减， 所以， 则，解得，即， 所以不等式的解集为. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将问题转化为，再求出函数的最大值即可求出参数范围. 【详解】因为在单调递增，所以， 当时，可得，要存在，使得， 只需，即的取值范围为. 22．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)若至少存在两个不相等的正实数，，满足. ①求a的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：. 【答案】(1) (2)①时最小值为，时最小值为； ②不妨设，结合①分析： 有、、三种情况， 当时，由于，均有，即，即， 又，故，所以，则； 结合图知，对于、两种情况必有， 当时，，则， 结合图知，对于、两种情况必有， 综上，． 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、复合函数的最值、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）把代入函数解析式得出关于的方程，进而求解即可； （2）写出的解析式，根据已知条件，结合函数单调性分类讨论得出函数相应的范围，进而得出相应范围内的最小值；利用基本不等式和图象法讨论的范围，进而证明结论． 【详解】（1）由，则，所以，所以， 当时，，解得，符合题意； 当时，，此方程无解； 综上所述：． （2）①，且， 已知至少存在两个不相等的正实数，，满足， 故只需讨论的情况， 在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递增，且，即在处连续， 当时，在上，显然其在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递增，在上单调递增，在处连续，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时至少存在两个不相等的正实数，，满足， 所以的取值范围为， 若，则在上单调递减，最小值为； 若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为； 综上，时最小值为，时最小值为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2函数的基本性质 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是 当时，都有，那么就说函数在区间上是 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是 ； 若有或，则在闭区间上是 。 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有 ； 存在，使得 对于任意的，都有 ； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 。 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 。 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 4、 周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为 ，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 5、 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A．B．C．D． 2．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数满足，，且对任意的，，，都有，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 8．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 9．（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 二、多选题 10．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 11．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 12．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意两个实数a，b，定义,若，，，则 （　　） A．是偶函数 B．方程有三个不同的解 C．在区间上单调递增 D．有4个单调区间 13．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A．为奇函数 B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 15．（25-26高二下·江苏常州·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 16．（2026高三下·贵州·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，，恒成立，则函数的最小值是_____________________． 17．（2026年北京大学强基计划数学试题）定义域为的函数的图像绕原点逆时针旋转后与自身重合，则不动点的个数为________． 四、解答题 18．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 19．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 20．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且定义域为. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)求不等式的解集. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且存在，使得，求实数的取值范围. 22．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若，求a的值； (2)若至少存在两个不相等的正实数，，满足. ①求a的取值范围，并求在上的最小值； ②证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $