3.2函数与方程、不等式之间的关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以函数零点为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到参数讨论的递进，适配新授课知识内化与能力初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|零点定义、存在性定理|单选题直接考查零点个数判断，填空题聚焦方程根的基础运算，强化概念理解| |能力提升|零点与逻辑、参数范围|结合函数性质与表格数据判断零点，填空题涉及参数讨论，培养推理能力| |综合应用|函数图像与多知识点综合|解答题整合奇函数图像、方程根与不等式，体现模型意识与创新意识|

3.2函数与方程、不等式之间的关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与_________有交点⇔函数有_________． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 【答案】 （1） （2）轴 零点 （3） 2．对于一般的函数，，若函数的图象是一条________的曲线，________，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 【答案】 连续 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·阶段测试）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分解因式求解方程的根即可. 【详解】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数的零点个数是. 故选：D 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可． 【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）下面四个条件中，“函数存在零点”的必要但不充分的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数存在零点，得到有解，从而得到，解出的范围，再按照选项一一分析得解. 【详解】函数存在零点，有解，，， 对于选项A：是的充分但不必要条件； 对于选项B：是的必要但不充分条件； 对于选项C：是的充要条件； 对于选项D：是的既不充分也不必要条件. 故选：B. 4．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 5．（2025高一·北京·单元测试）如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，转化为方程x2-（k+1）x+k+4=0有2个不同的根，由求解. 【详解】因为二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点， 所以方程x2-（k+1）x+k+4=0有2个不同的根， 所以， 解得或. 故选：A 二、填空题 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）关于x的方程至少有一个负实根，则a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负实根，则，解得， 若有两个负实根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是； 故答案为：． 7．（2025-2026高一·北京·阶段测试）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得. 【详解】∵方程的一个根小于1，另一个根大于1， 令，则， 解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 9．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，当时，则______；若函数有三个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析两段函数性质，结合端点值和函数图象可得结果 【详解】当时，， 所以，. 有三个零点，即方程有三个不同的解， 因为， 当时，检验知，不符合题意； 所以在上有一个解，在上有两个不同的解， 即且，，所以，解得：. 故答案为：；. 10．（25-26高一上·北京顺义·期中）如图，函数的图象为折线，函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：    ①； ②函数在内有且仅有3个零点； ③； ④不等式的解集. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【分析】根据奇函数的性质可判断①，根据题意推出函数为周期函数，根据周期结合在上的图象可得函数的零点判断②，根据周期及奇函数的性质结合在上的图象判断③，利用数形结合求出不等式的解集判断④. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以，故，即，故①正确； 又，所以，所以， 由图象可知，令，所以，令则，令则，故函数在内有共5个零点，故②错误； 因为，，， 由图象可知，，即，又， 所以，故③不正确； 由图象，利用待定系数法可知， 在同一坐标系下，作出，的图象如下，    由图易知，， 所以结合图象知不等式的解集，故④正确. 故答案为：①④ 11．（25-26高一上·北京·期中）已知，若且，都有，则实数的一个取值为________；的最大值为________. 【答案】 1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数，反比例函数及分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】易知在上单调递减，且， 要符合题意结合一次函数与分段函数的性质，需，即， 所以实数的一个取值可以为1，最大值为. 故答案为：1；. 12．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，则方程的解集是________； 若，则的零点个数为________． 【答案】 3 【分析】根据分段函数令解方程得解集即可；确定分段函数的解析式，结合函数单调性与零点存在定理判断函数在，，时的零点个数即可得结论. 【详解】①当时，令，解得， 当时，令，解得， 综上，方程的解集是 ； ②当时，， 当时，， 当时，， 综上得：， 所以， 由于当时，为增函数，且， 故存在唯一的使得； 当时，为减函数，且， 故存在唯一的使得； 又， 综上，的零点个数为3. 故答案为：. 13．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，是关于x的方程的实数根，则的最大值为______，若两个实数根都在内，则实数a的取值范围是______． 【答案】 1 【分析】对①，由方程根的情况求范围，由韦达定理化简求最值；对②由函数图象特征列式求解. 【详解】因为是关于的方程的实数根， 所以，解得，且， 所以， 即的最大值为； 若两个实数根都在内，因为函数的对称轴为， 所以函数与轴在有两个交点，且， 由，解得， 所以实数的取值范围是. 故①：；②. 14．（基础点7函数与方程）已知函数，其中表示不超过的最大整数，则方程的所有实数根之和为______. 【答案】 【分析】根据题意将函数零点求出即可. 【详解】令，即， 因为， 所以，解得， 当时，满足题意， 当时，即，解得或（舍）， 当时，，解得， 故方程实数根之和为， 故答案为：. 15．（24-25高一上·北京·期中）已知，函数． （1）当时，不等式的解集是______ （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 三、解答题 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且当时， (1)根据条件，画出函数图像，并写出解析式和单调区间； (2)若关于的方程有三个不等实根，请直接写出实数范围； (3)写出不等式的解集. 【答案】(1)，，单调递增区间为，单调递减区间为和； (2)； (3). 【分析】（1）作出时的图像，然后结合奇函数的性质即可画出函数的图像，再根据图像求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图像有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，的图像开口向上，对称轴为，顶点为， 又因为是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称，所以图像如图，    结合图像可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 因为当时，， 所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以当 时，， 又，故的解析式为. （2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图像有个交点， 结合（1）中的图像可知，当时，与的图像有个交点， 所以. （3）解：当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，不等式的解集为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $3.2函数与方程、不等式之间的关系同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=fx,我们把使 的实数x叫做函数y=fx的零点 (2)几个等价关系 方程fx=0有实数根台函数y=fx的图象与 有交点曰函数y=f引x有 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数y=fx在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 那么，函数y=fx在 开区间 内至少有一个零点，即在区间a,b内相应的方程fx=0至少有一个解。 2.对于一般的函数y=fx,x∈a,b,若函数y=fx的图象是一条 的曲线， ,则每 次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为 二分法。 同步练（最新北京同步考题) 一、单选题 1.(25-26高一上·北京·阶段测试)函数y=x-9x的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高一上·北京·期中)已知函数y=x的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 y 2025 11 -5 -10 则不一定包含fx零点的区间是() A.1,2 B.2,3 c.3,4 D.4,5 3.(25-26高一上：北京阶段检测)下面四个条件中，“函数fX=X2+2X+m存在零点”的必要但不充 分的条件是() A.m≤-1 B.m≤2 C.m≤1 D.m>1 4. （25-26高三上·北京·开学考试)已知函数yx)的图象是连续不间断的，有如下对应表： 3456 试卷第1页（共3页） 122.5 21.4-7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数fx)在区间[1,6]上的零点个数是() A.只有2个 B.至多3个 C.只有3个 D.至少3个 5.（2025高一·北京·单元测试)如果二次函数yx2.（+1)x+k+4有两个不同的零点，则实数k的取值范 围是() A.-0,-3U5,+∞l B.-o,-5U3,+∞ c.-3,5 D.-5,3 二、填空题 6.(25-26高一上·北京·阶段检测)关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根，则a的取值范围是 7.(2025-2026高一·北京·阶段测试)若方程x2-3ax+2a=0的一个根小于1，另一个根大于1，则实 数a的取值范围是 8.(25-26高三下·北京阶段检测)已知函数fx= x2+6x+5,x≤0 米*7，>0 则函数y=fx的零点为 若函数y=ffx-a有3个零点，则实数。的取值范国为 9.(25-26高一上北京阶段检测)己知函数f引x=乙，当a=1时，则f[f(-1)]=一：若函数 g(x)=fx)-1有三个零点，则实数a的取值范围是 10.(25-26高一上·北京顺义·期中)如图，函数fx的图象为折线ACB,函数gx是定义域为R的奇函 数，满足g4-x-gx=0,且当x∈0,2时，gx=fx,给出下列四个结论： A -10 ①g0=0: ②函数gx在-4,8内有且仅有3个零点： 试卷第2页（共3页） ®g 7 2>910>g13 ①不等式fx≤log,x+1的解铁-1，引u1,2 其中正确结论的序号是 ax-2,X≤a 11.(25-26高一上北京期中)已知fx=1 x-a ,x>a 若Vx1,x2∈R且x1≠x2,都有fX1≠fx2, 则实数a的一个取值为 ；Q的最大值为 12.(25-26高一上北京期中)已知函数fx= x3-1,x>0, 则方程fx=1的解集是 -X,x≤0 若gx=fx+f-x,则gx的零点个数为 13.(25-26高一上·北京阶段检测)设X1,x2是关于x的方程x2-4x-a=0的实数根，则 1-x,1-x,的最大值为一，若两个实数根都在0,3内，则实数a的取值范围是 14.(基础点7函数与方程)已知函数fx=x+X其中x表示不超过x的最大整数，则方程fx=X 的所有实数根之和为 15.(24-25高一上：北京期中)已知a∈R函数f(x)= x-4,xza x2-4x+3,x<a (1)当a=3时，不等式fx<0的解集是 (2)若函数fx恰有2个零点，则a的取值范围是 三、解答题 16.(25-26高一上北京阶段检测)已知fx是定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx=X2+2x 试卷第3页（共3页） 4 3 -5-4-3-2-012345x -1 2 (1)根据条件，画出函数fx图像，并写出fx解析式和单调区间； (2)若关于x的方程fx=m有三个不等实根，请直接写出实数m范围： (3)写出不等式f引x≥0的解集 试卷第4页（共3页）