专题02 画轴对称的图形10大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“作图-应用-综合”为主线，系统覆盖轴对称作图、镜面对称、坐标系对称及线段/面积/角度综合问题，强化几何直观与空间观念，培养推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础作图|1题型（3变式）|关键点定位法，网格对称用格子数|从图形作图到性质应用| |镜面对称|3题型（各3变式）|翻转还原法，时间/数字对称规律|实际情境中对称性质迁移| |坐标系对称|2题型（各3变式）|坐标变换规律，对称点坐标公式|代数表达与几何图形结合| |综合应用|4题型（各3变式）|线段转移（将军饮马）、面积割补、角度转化|从单一性质到多知识综合应用|

专题02 画轴对称的图形 （题型突破·举一反三） 题型01 画轴对称图形 题型02 车牌号码的镜面对称 题型03 钟表的镜面对称 题型04 电子钟示数的镜面对称 题型05 坐标系中的对称 题型06 坐标与图形变化——轴对称 题型07 轴对称中的线段问题 题型08 轴对称中的面积问题 题型09 轴对称中的角度问题 题型10 轴对称中的其他问题 ▌题型01 画轴对称图形 画轴对称图形，先确定关键点，作出各关键点关于对称轴的对称点。对称点连线被对称轴垂直平分，依次连接对称点，得到轴对称图形。作图要找准对应点，注意虚实线区分，网格题可借助格子数确定对称位置，最后检查对折后能否完全重合。 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·期末）解决下列问题： (1)尺规作图，在图中，作中的平分线（只保留作图痕迹，不写作法．） (2)如图，把直角三角形放置在方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：在给定的图中画图，所画出的三角形的顶点都在格点上，所画出的三角形不涂黑） ▌题型02 车牌号码的镜面对称 【典例】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． ▌题型03 钟表的镜面对称 【典例】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，小明的墙上挂着一个电子表，对面的墙上挂着一面镜子，小明看到镜子中的表的时间如图所示，那么实际的时间是_______． 【变式1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 __________． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【变式3】（25-26八年级上·河南漯河·期中）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． ▌题型04 电子钟示数的镜面对称 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是__________． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． ▌题型05 坐标系中的对称 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【变式1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）若点和点关于轴对称，则_____． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． ▌题型06 坐标与图形变化——轴对称 【典例】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期中）若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【变式3】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． ▌题型07 轴对称中的线段问题 轴对称线段问题，利用轴对称性质得到对应线段相等，实现线段转移。作对称点转化折线段，常考最短路径。结合垂直平分线性质进行等量代换，把分散线段集中。注意分类讨论，理清线段和差关系，结合三角形三边关系判断取值。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 【变式2】（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为,,． (1)若轴，且，则P点坐标为___________ (2)画出关于y轴对称的并写出点的坐标___________ (3)求的面积． (4)在x轴上有一点Q，使Q到B和C距离最短，标出Q点所在位置，保留作图痕迹． ▌题型08 轴对称中的面积问题 轴对称图形沿对称轴对折后两部分完全重合，面积相等。求解时可利用对称性分割、转移图形，把不规则面积转化为规则图形面积。折叠类面积题优先找全等图形，面积相等，通过割补简化计算，注意重叠部分不要重复计算。 【典例】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． ▌题型09 轴对称中的角度问题 【典例】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． ▌题型10 轴对称中的其他问题 【典例】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【变式2】（25-26八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角    (1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示） (2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小． (3)若，试说明的面积和的面积满足． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 画轴对称的图形 （题型突破·举一反三） 题型01 画轴对称图形 题型02 车牌号码的镜面对称 题型03 钟表的镜面对称 题型04 电子钟示数的镜面对称 题型05 坐标系中的对称 题型06 坐标与图形变化——轴对称 题型07 轴对称中的线段问题 题型08 轴对称中的面积问题 题型09 轴对称中的角度问题 题型10 轴对称中的其他问题 ▌题型01 画轴对称图形 画轴对称图形，先确定关键点，作出各关键点关于对称轴的对称点。对称点连线被对称轴垂直平分，依次连接对称点，得到轴对称图形。作图要找准对应点，注意虚实线区分，网格题可借助格子数确定对称位置，最后检查对折后能否完全重合。 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）在正方形网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)作出的边上的高； (2)作出关于直线m对称的． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)解：如图所示即为所作， 【分析】（1）根据三角形的高的概念过点A作垂直于线段，垂足为D即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为． （3）略． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移4个单位长度后的； (2)作出关于直线对称的，再作出关于直线对称的，观察和发现，可以由经过_______变换得到（填：平移，旋转，对称），平移的方向是_______，平移的距离是_______； (3)在直线上找一点，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1) (2)， 平移，向右，10个单位长度 (3) 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置、继而确定点的位置，再描出并顺次连接成三角形，继而观察发现可以由经过平移变换得到，即可解答； （3）连接，与直线m的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；图略． （2）解：如图所示，、即为所求；图略． 观察和发现，可以由经过平移变换得到，平移的方向是向右，平移的距离是10个单位长度； （3）解：如图所示，点P即为所求；图略． 【变式3】（24-25七年级下·广东茂名·期末）解决下列问题： (1)尺规作图，在图中，作中的平分线（只保留作图痕迹，不写作法．） (2)如图，把直角三角形放置在方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：在给定的图中画图，所画出的三角形的顶点都在格点上，所画出的三角形不涂黑） 【答案】(1) 解：如图，射线即为所求的角平分线 (2)解：如图三个三角形即为所求 【分析】（1）作的角平分线：先以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交 点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． （2）根据轴对称图形的定义，找到对称轴进而画出图像即可． 【详解】（1）略． （2）略． ▌题型02 车牌号码的镜面对称 【典例】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． ▌题型03 钟表的镜面对称 【典例】（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，小明的墙上挂着一个电子表，对面的墙上挂着一面镜子，小明看到镜子中的表的时间如图所示，那么实际的时间是_______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 __________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可求得镜面与中的影像一致． 【详解】解：根据题意得： 在处可以看到镜面上的字母在镜面与中的影像都是“”， 镜面与中的影像一致． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·河南漯河·期中）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此的真实图像应该是． 故答案为： ▌题型04 电子钟示数的镜面对称 【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据电子钟示数与其镜面对称像左右对称，即可求解． 【详解】解：∵电子钟示数“”，“”与“”左右对称， ∴电子钟示数“”的镜面对称像为“”． 故答案为：． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是________． 【答案】70625 【分析】本题考查了轴对称的性质．直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换， 故他的学号为70625． 故答案为：70625． ▌题型05 坐标系中的对称 【典例】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和． (1)在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图： (2)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立、点的坐标确定以及关于x轴对称点的坐标规律，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标系的原点、x轴和y轴的位置，并掌握关于x轴对称点的坐标变化规律． （1） 根据点和点的坐标，确定坐标原点及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系； （2） 在建立好的坐标系中，读出点C的坐标；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，求出点C关于x轴的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：在建立的坐标系中，可得点C的坐标为． ∵ 点关于x轴的对称点为， ∴ 点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）若点和点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标规律，二元一次方程组的求解，掌握对称坐标规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程组，求出、的值，进而求出． 【详解】解：已知点和点关于轴对称， 可得， 解得， 则， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点求解即可； 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，对称变换，解题的关键是掌握对称的定义和性质． （1）设，根据点C是点A关于的对称点，利用对称的性质即可求解； （2）设，利用对称的性质求出，得到，再根据且，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 则； （2）解：设， ∵点关于直线的对称点是点，，过点作直线轴， ∴， ∴， ∵且， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． ▌题型06 坐标与图形变化——轴对称 【典例】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知点关于x轴的对称点在第一象限，试化简． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第一象限确定a的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， 可得不等式组，解得，即， ∴，，则， 由此可知，，， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期中）若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点B的坐标，再结合第二象限点的坐标特征列不等式组，求出整数的值，代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴对称的点B坐标为，且点B在第二象限，第二象限点横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵为整数， ∴， 将代入点的坐标，得横坐标，纵坐标， 因此点的坐标为． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【分析】（1）作出各顶点关于x轴的对称点，顺次连接即可，两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）连接，由轴对称得，进而可得，因此点，P，B三点共线时，最短． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ▌题型07 轴对称中的线段问题 轴对称线段问题，利用轴对称性质得到对应线段相等，实现线段转移。作对称点转化折线段，常考最短路径。结合垂直平分线性质进行等量代换，把分散线段集中。注意分类讨论，理清线段和差关系，结合三角形三边关系判断取值。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)如图即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）利用轴对称的性质画图； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的长最短． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广西河池·期末）综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题，所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． (1)尺规作图：在图1中作点关于直线的对称点，连接交于点（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔作图，再用黑色墨水笔描画清楚）； (2)在（1）中上任意找点（异于点），连接，，，，说明； (3)如图2，已知点，，点在轴上，且的值最小，求的值． 【答案】(1) 解：如图所示； (2) 证明：如图所示， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 当与重合时，； 当与不重合时，中， ∵，， ∴， 综上，； (3) 【分析】本题主要考查了尺规作图—过一点作已知直线的垂线，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作直线的垂线，然后找出点的对称点，连接两点即可得出交点； （2）根据轴对称的性质得出垂直平分，得出，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差以及三角形的三边关系进行证明即可； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，取格点，根据点的坐标确定线段的长度，根据等边对等角得出角的度数，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， 取格点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为,,． (1)若轴，且，则P点坐标为___________ (2)画出关于y轴对称的并写出点的坐标___________ (3)求的面积． (4)在x轴上有一点Q，使Q到B和C距离最短，标出Q点所在位置，保留作图痕迹． 【答案】(1)或 (2) 所作如图所示： (3) (4) Q点所在位置如图所示： 【分析】（1）根据平行于轴的点纵坐标相同求出P点纵坐标，再结合分情况讨论求出P点横坐标，即可解题； （2）根据轴对称作图步骤作出，再结合图形写出点的坐标即可； （3）利用割补法求出的面积即可； （4）作B点关于x轴的对称点，连接，结合轴对称性质和两点之间线段最短可知，与x轴交点即为点Q． 【详解】（1）解：轴，， ， ， 或， 则P点坐标为或； 故答案为：或． （2）解：略． （3）解：的面积为：； （4）解：略． 【点睛】本题考查平行于轴的点的坐标特点，轴对称作图，割补法求面积，最短路径作图，解题的关键在于熟练掌握轴对称的性质． ▌题型08 轴对称中的面积问题 轴对称图形沿对称轴对折后两部分完全重合，面积相等。求解时可利用对称性分割、转移图形，把不规则面积转化为规则图形面积。折叠类面积题优先找全等图形，面积相等，通过割补简化计算，注意重叠部分不要重复计算。 【典例】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)， 四边形如图所示， (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， （3）解：由（2）图得， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【答案】(1) 如下图四边形即为所求； ； (2) 如下图，点P即为所求． (3)6 【分析】本题考查了轴对称图形的绘制，利用轴对称求最短路径以及不规则四边形的面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定对称点坐标并画出图形； （2）利用轴对称的性质找到使三角形周长最小的点； （3）通过将四边形补成一个大矩形，再减去多余三角形的面积来计算四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 【变式2】（25-26八年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． (2)点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】(1) 由题意作图可得： (2)； (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）解：根据题意连接可得： ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． 【答案】(1)； (2)三 (3)12 【分析】本题主要考查坐标系中点的对称变换以及三角形面积的计算。需要理解轴对称和线对称的概念， 并能根据给定的坐标计算对称点的坐标。同时， 利用三角形面积公式解决实际问题． （1）根据“轴对称点”和“线对称点”的概念，直接写出答案即可； （2）先确定点所在的象限，再根据“轴对称点”的概念进行判定； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，分别表示出线段，的长度，根据面积公式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）∵，， ∴点位于第四象限， ∵点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”， ∴点的“轴对称点”一定在第三象限， 故答案为：三． （3）根据题意可作如图所示的． 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以． ▌题型09 轴对称中的角度问题 【典例】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）在中，，射线的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接． (1)如图，射线都在的内部． 设，则_______（用含有的式子表示）； 在直线上取一点，使得，则线段与图中已有线段_______的长度相等． (2)如图，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； ； (2) 解：， 证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接， 则有，， 又， ， 设， 则， ， 又， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 根据角的和与差可得，把和的度数代入计算即可； 根据轴对称的性质可得，根据，等量代换可得； 在的延长线上截取，连接，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据，可证． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； 如下图所示，连接， ，， ， 又， ， 故答案为：； （2）略 ▌题型10 轴对称中的其他问题 【典例】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【答案】(1) (2) ①如图，线段，即为所求； ②如图，点即为所求； (3) 如图，线段即为所求， 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键． （1）利用三角形面积公式计算即可得解； （2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取点，连接，连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于点，则即为所作． 【详解】（1）解：三角形的面积为：； （2）①略 ②略 （3）解：由作图可得，点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知，点P，N分别是射线，上的定点，M为射线上的一动点，Q为射线上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/40度 【分析】作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、，此时的值最小，由对称性可知，，，可求，最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、三角形的内角和定理、外角的性质等知识，通过作轴对称确定M、Q的位置，结合三角形外角的性质顺利解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·天津津南·期中）如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角    (1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示） (2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小． (3)若，试说明的面积和的面积满足． 【答案】(1) (2) (3) 证明：过点作于点，设与交点为，    则， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ． 【分析】（1）根据周长定义，将三角形周长表示出来，对等式变形即可； （2）由对称性可得，由可得，，，即可得； （3）过点作于点，设与交点为，证明，可得是等腰直角三角形，，设，则， 计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴ ， ∴； （2）解：当发生改变时，的大小不变，始终为 ∵点A、点D关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，    ∴，， ， ∴， ∴当发生改变时，的大小不变，始终为； （3）略 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的知识，得到相等线段，相等角是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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