15.1-15.3 轴对称习 专项练习 2025--2026学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以轴对称概念为核心，通过十大专题构建“概念-性质-判定-应用”逻辑链，提炼对称转化、模型建构等方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最短路径问题|5题（含变式）|对称点转化、平移化折为直|基于“两点之间线段最短”，衍生牧人饮马等模型| |轴对称及其性质|4题|轴对称图形判定、性质应用|从概念到性质（全等、对应关系），连接对称点与对称轴关系| |线段垂直平分线|5题（含变式）|性质与判定互逆、尺规作图|由轴对称性质推导，建立“距离相等-垂直平分”等价关系| |等腰/等边三角形|8题（含变式）|等边对等角、三线合一、30°角性质|轴对称图形的典型应用，从一般到特殊（含30°Rt△）|

第十五章 轴对称 专题1最短路径问题 【核心思想】 1、两点之间，线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 2、牧人饮马问题：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点 即为所求。 3、周长最短问题：分别作点关于两边的对称点，连接两对称点，与两边的交点即为所 求。 4、造桥选址问题：通过平移将折线路径转化为两点之间的线段，利用两点之间线段最短 求解。 第1题如图，要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A,B两镇供气。泵站修在 管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？证明你的结论。 A· ·B 第2题如图，已知A,B两点在直线1的同一侧，根据题意，用尺规作图。 (1)在图1直线1上找出一点P,使PA+PB的值最小： (2)在图2直线1上找出一点P,使PA-PB的值最大。 ●B ●B A● A· 图1 图2 第3题如图，∠AOB=30°，P是∠AOB A 内一点，OP=10,点M,N分别在OA, OB上，则△PMN周长的最小值为。 M B 第3题（变式） 【变式】如图4，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，点M,N分别在BC,CD上.当 △AMN的周长最小时，∠AMN4∠ANM的度数为 D B M 第4题如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC-3,BC=4,AB=5, AD是∠BAC的平分线，若P,Q分别 是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最 小值。 B 第4题（变式） 【变式】(1)如图I,在等边三角形ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分线，P是AD 上的点.若AD=5,则PE+PB的最小值为： (2)如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为7，BD平分∠ABC.若M,N分别 是BD,BC上的动点，则CM什MN的最小值为 B N 图 图2 第5题如图，A和B两地在一条河的两岸，现 M 要在河上造一座桥MN,问：桥造在何处可使从 A到B的路径AM→MN→NB最短？（假定河的 -b 两岸是平行的直线，桥要与河垂直) B 专题2轴对称及其性质 【核心思想】 1、轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，这条直线就是 对称轴。 2、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。 3、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等，连接对称点 的线段被对称轴垂直平分。 4、画轴对称图形：找到图形中的特殊点（如线段的端点），画出它们关于对称轴的对称 点，连接这些对称点即可。 第1题下列图标中，是轴对称图形的是() B D 第2题如图，△ABC和△A'B'C关于直线1对称。 (1)图中相等的线段有：，线段CC的垂直平分线是， △ABC△A'B'C',∠ABC=; (2)若∠A=30°，∠B=50°，则∠ACB的度数为 第3题(1)小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 (2)如图，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB,AC为对称轴，画 出对称点E,F,连接AE,AF。根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为。 15:0l 4620 520 B D 第4题 【例4】如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在五个网格图中，各补画出一个有阴影的 小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. 第4题 (变式) 【变式】如图1，在3×3的正方形网格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为 格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形，这样的格 点三角形可以画个，请在图1及备用图中一一画出来. A B B B 专题3线段的垂直平分线的性质与判定 【核心思想】 1、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2、判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3、点在线段的垂直平分线上÷点到线段两个端点的距离相等。 4、互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反；原命题成立时，它的逆命题可能成 立，也可能不成立。 第1题如图，MN⊥AB,垂足为C,AC=BC,P是直线MN上的任意一点，连接 PA,PB。求证：PA=PB。 A 第1题（变式）如图，AD所在的直线是△ABC的 A 对称轴，E,F是AD上的两点，若BD=2,AD=3,则 图中阴影部分的面积是。 B D 第2题如图，在四边形ABCD中，CE垂直平分AD于点E,CF垂直平分AB于点 F。求证：CD=CB。 C D B E A 第3题已知：线段AB外一点P,且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线 上。 P A B 第4题(1)下列命题的逆命题是真命题的是() A.全等三角形的面积相等B.如果a=马b,那么a=b C.两直线平行，内错角相等D.两个全等三角形的三对对应角相等 (2)"两直线平行，同旁内角互补"和”"是互逆定理。 第5题如图，AP平分△ABC的外角∠DAC,PDLAB于点D,PE⊥AC于点E, BD=CE。求证： (1)点P在线段BC的垂直平分线上： (2)AC-2AE=AB。 D E B 第5题（变式）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M, D,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O。 (1)若BC=10,则△ADE的周长为： (2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由： (3)若∠BAC=100°，求∠BOC的度数。 D A E B 专题4线段的垂直平分线的画法 【核心思想】 1、线段垂直平分线的画法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的一半的长为半 径作弧，两弧交于两点，经过这两点的直线即为线段的垂直平分线。 2、作成轴对称的两个图形（或轴对称图形）的对称轴：找到一对对应点，作出连接它们的 线段的垂直平分线，就可以得到对称轴。 3、尺规作图的关键：确定圆心和半径，利用两弧交点确定直线。 第1题如图，在某河道1的同侧有两个村庄A,B,现要在河道上建一个水泵站， 这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ ●B A· 第1题（变式）如图，在△ABC中，AB=AC=3,BC=2,分别以点A,B为圆 心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点E,F,直线EF交AC于点D,则 △BCD的周长为 米 第2题 【例2】如图，点M和点N在∠AOB内部 (1)请作出点P,使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边距离也相等（保留作图痕 迹，不写作法： (2)请说明作图理由 A M N B 第3题 【例3】如图，△ABC和△4B'C'是两个成轴对称的图形，请作出它们的对称轴（保留作图痕迹，不 写作法)· 专题5画轴对称的图形 【核心思想】 1、画轴对称图形的方法：分别画出图形中特殊点（如线段的端点)关于对称轴的对称 点，再连接这些对称点。 2、对于由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这 些对称点即可。 3、画对称点的方法：过己知点作对称轴的垂线，延长垂线段到对称轴另一侧，使垂线段长 度相等，得到的点即为对称点。 第1题(1)如图1，画出线段AB关于直线1的对称线段AB。 (2)如图2，已知线段AB和直线1，画出线段AB关于直线1对称的线段A'B。 (3)如图3，已知△ABC和直线1，画出与△ABC关于直线1对称的图形。 B B 图1 图2 图3 第1题（变式） 【变式】如图，已知直线AB和△DEF,作△DEF关于直线AB的对称图形△GHI,将下面的作图 步骤补充完整 (1)分别过点D,E,F作直线AB的垂线，垂足分别是 (2)分别延长DM,EP,FN至点 使」 (3)连接 则△GⅢ即为所求作. 第2题 【例2】如图，在边长均为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点A均在格点上. (1)在图1中画出△ABC关于直线I对称的△4AB1C: (2)在图2中将△ABC向右平移，使点A平移至点A'处，得到△A'B'C,在图中画出△AB'C, 并求出边AC扫过的图形的面积 图1 图2 第2题（变式） 【变式】如图，在9×6的正方形网格中，A,B,C为小正方形的顶点，MN为网格线所在直线， 请用无刻度的直尺完成下列作图， (1)作△ABC关于直线MN对称的三角形： (2)作CD⊥AB交AB于点E,且CD=AB: (3)作CE关于MN对称的线段. 专题6用坐标表示轴对称 【核心思想】 1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为（化，y)。 2、点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(x,)。 3、画关于坐标轴对称的几何图形步骤：求出己知图形中的关键点关于坐标轴对称的点 的坐标，描出并连接这些点。 第1题己知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b)。 (1)若点A,B关于x轴对称，求a,b的值： (2)若点A,B关于y轴对称，求(4a+b)o28的值。 第1题（变式1） 【变式1】(1)点P(3,-4)关于x轴对称的点的坐标是() A.(-4,3) B.(-3,4) C.(-3,-4) D.(3,4) (2)若点M(a,-5)与点N(-2,b)关于x轴对称，则a=,b=:若这两点关于y 轴对称，则a=一，b (3)已知点P(3,4)关于y轴对称的点的坐标是P'(a,b),则a-b- 第1题（变式2） 【变式2】已知点A(3a-b,5+a),B(3b-1,-a+b). (1)若点A,B关于x轴对称，求a,b的值： (2)若点A,B关于y轴对称，求(14a+7b)2030的值 第2题 【例2】如图，在平面直角坐标系中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3). (1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C: (2)写出点A1,B1,C的坐标： (3)求△ABC的面积. B O 第2题（变式） 【变式】（教材P6T3变式）如图，在6×6的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，每个方格 都是边长为1的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系， (1)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'CD'(点A, B,C,D的对称点分别是点A',B,C',D): (2)直接写出以A,B',B,C四点为顶点的四边形的面积 第3题 【例3】（教材P7Tg改编）如图，在平面直角坐标系中，△PQR的三个顶点坐标分别为P(-1,3), Q(-4,5),R(-4,1),直线m上各点的横坐标都为1，直线n上各点的纵坐标都为-1. (1)在图中分别作出△PQR关于直线m和直线n对称的图形： (2)①点(x,y)关于直线m对称的点的坐标为； ②点(x,y)关于直线n对称的点的坐标为 第3题（变式） 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知A(-4,2),B(-2,4),C(-1,1). (1)作出△ABC关于直线y=1对称的△A1B1C: (2)作出线段BC关于直线x=1对称的线段B2C2: (3)点P(m,n)关于直线y=1对称的点的坐标为 (4)请仅用无刻度的直尺在直线x=1上画点D,使DB=DC 专题7等腰三角形的性质 【核心思想】 1、等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一 条边叫作底边，两腰所夹的角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角。 2、等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴：等腰 三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (三线合一)。 3、设参导角：在等腰三角形中，设未知数表示角度，利用三角形内角和定理列方程求解。 第1题如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线。 求证：(1)∠B=∠C;（2)等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 B D 第2题（教材P9例1变式）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，点D,E分别在 边BC,AC上，且AB=AD=DE=EC。求∠C的度数。 E B D C 第3题如图，D,E,F分别为△ABC边上一点，且AD=AF,BD=BE。 (1)若∠C=90°，求∠EDF的度数： (2)若∠C-,直接写出∠EDF的度数为一。 E 第4题如图，在△ABC中，点D,E在边BC上， AB=AC,AD=AE。求证：BD=CE。 D E 第4题（变式1） 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC,BD为AC边上的高.求证：∠BAC=2∠CBD. 第4题（变式2） 【变式2】如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，O为AB的中点，D,E分别在AC,BC上， 且OD⊥OE.若CE-2,CD-4,求四边形CDOE的面积. 专题8等腰三角形的判定 【核心思想】 1、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2、"等角对等边"只限于在同一个三角形中应用，若两个三角形有两角（或两边）对应相 等，则它们所对的边（或角）不一定相等。 3、等腰三角形的判定和性质互为逆定理：性质定理"等边对等角"和判定定理"等角对等 边"。 第1题（教材P思考）如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。 A B C 第1题（变式）如图，在△ABC中，BC-8,∠B=2∠C,D为边AC的垂直平分线 与边BC的交点，且BD=AB-2。 (1)求证：AB=AD;(2)求CD的长。 D B 第2题 【例2】如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC,求证：△CDE是等腰三角形 第3题 【变式】如图，AB=AC,D,E分别为AC,BC上一点，DE∥AB,DE-6, AD=2,则AC=一· B E 第4题 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC,D为AB上一点，E为BC的延长线上一点，DE与AC交于 点F.若F为DE的中点，求证：AF=AD+CF. 第5题 【例5】（教材Ps1例3变式）尺规作图：已知线段α，如图. 求作：△ABC,使AB=AC,BC-a,且边BC上的高AD-a(不写作法，但要保留作图痕迹)， a 第5题（变式） 【变式】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C-30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使 △ACD为等腰三角形，如图所示的作法中正确的有个 B 专题9等边三角形的性质与判定 【核心思想】 1、等边三角形的概念：三边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形，是特殊 的等腰三角形。 2、等边三角形的性质：三个角都相等，并且每一个角都等于60°；是轴对称图形，有3 条对称轴，三边上均有"三线合一"的性质。 3、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形：有一个角是60的等腰 三角形是等边三角形。 第1题如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC,则∠BAD的度数为 B D 第2题如图，在等边△ABC中，D为BC的延长线上一点，E为CA的延长线上一 点，且AE=DC。求证：AD=BE。 第2题 (变式) 【变式】如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F. (1)求证：AD=CE:(2)求∠AFC的度数. 第3题 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC.求证：当∠A=60°或∠B=60°时，△ABC是等边三角形 第3题 (变式) 【变式】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C-6O°，P是边BC上一点，CP=AB,∠APD-∠B,判 断△APD的形状并证明你的结论， 第4题 【例4】（教材P82例4变式）如图，AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°，且AB∥CD 求证：△OCD是等边三角形. 第5题 【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在BC,AB,CA边的延长线上，且BE=AF=CD 求证：△DEF是等边三角形. 专题10含30°角的直角三角形的性质 【核心思想】 1、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 2、此性质的前提是在直角三角形中。 3、此性质反之亦成立：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对的锐角等于30°。 第1题如图，在Rt△ABC中，∠A=30°， A ∠ACB=90°。求证：BC=1/2AB。 第1题（变式）如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠B=30°，CD⊥AB于点D。求证：AD=1/4AB。 D B 第2题 【例2】(1)如图1，在△ABC中，AB=AC,BC-12cm,∠BAC-120°，过点A作AD⊥AC交BC 于点D,则AD=cm: (2)如图2，在△ABC中，AC=BC,BD⊥AC于点D,若∠ABD=15°，BC-6,则∠C-=; S△ABC= D A D 图1 图2 第3题 【例3】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD,AD,BE相交于点P. (1)求证：△ABE≌△CAD: (2)求∠BPD的度数： (3)若BQ⊥AD于点Q,PQ=6,PE-=2,求AD的长. D 第3题（变式） 【变式】如图，CD是△ABC的中线，CD⊥CB,∠ACD=30°.求证：AC-=2BC. 第4题 【例4】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠BCD=90°，AB=5,BC=4.求AD的长 第5题 【例5】如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15mile/h 的速度由西向东方向航行，10时到达海岛B处，此时，测得灯塔C在海岛B处的北偏东60°方向. (1)求海岛B处到灯塔C的距离： (2)己知在以灯塔C为中心，周围16 nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否 有触礁的危险？请说明理由. 北 ↑北 A B' 第十五章 轴对称 专题1 最短路径问题 【核心思想】 1、 两点之间，线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 2、 牧人饮马问题：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。 3、 周长最短问题：分别作点关于两边的对称点，连接两对称点，与两边的交点即为所求。 4、 造桥选址问题：通过平移将折线路径转化为两点之间的线段，利用两点之间线段最短求解。 第1题 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？证明你的结论。 【答案与解析】 解：作点A关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点C，连接BC，AC，则此时输气管道最短。证明：在直线l上任取一点E（异于点C），连接AE，BE，DE。 ∵点A，D关于直线l对称，∴AC=DC，同理AE=DE。∵AC+BC=DC+BC=BD，AE+BE=DE+BE，且BE+DE>BD，∴AE+BE>AC+BC。∵E是任意取的不同于C的一点，∴输气管道AC+BC最短，即泵站应修在管道的C处。 第2题 如图，已知A，B两点在直线l的同一侧，根据题意，用尺规作图。 （1）在图1直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小； （2）在图2直线l上找出一点P，使|PA-PB|的值最大。 【答案与解析】 解：（1）如图1，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，线段BA'与直线l交于点P，则点P即为所求。（也可作点B关于直线l的对称点B'） （2）如图2，过点A，B作直线AB与直线l交于点P，则点P即为所求。 第3题 如图，∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，OP=10，点M，N分别在OA，OB上，则△PMN周长的最小值为____。 【答案与解析】 答案：10。 解：分别作点P关于OA，OB的对称点P₁，P₂，连接P₁P₂，交OA于点M，交OB于点N，连接PM，PN，OP₁，OP₂，此时△PMN的周长最小，△PMN的周长=P₁P₂。 ∵∠AOB=30°，∠P₁OP₂=60°，∴P₁P₂=OP₁=OP₂=OP=10，即△PMN周长的最小值为10。 第3题（变式） 【答案】： 第4题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值。 【答案与解析】 解：在AB上截取AQ₁=AQ，连接QD，Q₁D，则△AQD≌△AQ₁D，∴点Q₁和点Q关于AD对称，连接CQ₁，CQ₁与AD交于P点，连接PQ，此时PC+PQ=CQ₁。 ∵Q是动点，∴Q₁也是动点，当CQ₁与AB垂直时，CQ₁的值最小，即PC+PQ的值最小，此时，由面积法得CQ₁=3×4÷5=12/5。 第4题 （变式） 【答案】： 第5题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，问：桥造在何处可使从A到B的路径AM→MN→NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 【答案与解析】 解：如图，平移点A到点A₁，使AA₁等于河宽（AA₁⊥a），连接A₁B交河岸b于点N，作桥MN，连接AM。此时路径AM+MN+BN最短。 理由如下：另任意作桥M₁N₁，连接AM₁，BN₁，A₁N₁。由平移性质可知，AM=A₁N，AA₁=MN=M₁N₁，AM₁=A₁N₁，AM+MN+BN转化为AA₁+A₁B，而AM₁+M₁N₁+BN₁转化为AA₁+A₁N₁+BN₁。 在△A₁N₁B中，A₁N₁+BN₁>A₁B，∴AM₁+M₁N₁+BN₁>AM+MN+BN。 专题2 轴对称及其性质 【核心思想】 1、 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，这条直线就是对称轴。 2、 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。 3、 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 4、画轴对称图形：找到图形中的特殊点（如线段的端点），画出它们关于对称轴的对称点，连接这些对称点即可。 第1题 下列图标中，是轴对称图形的是（ ） 【答案与解析】 答案：C。 解：根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形。选项C的四叶花形有4条对称轴，是轴对称图形；选项A、B、D均不是轴对称图形。 第2题 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称。 （1）图中相等的线段有：____，线段CC'的垂直平分线是____，△ABC____△A'B'C'，∠ABC=____； （2）若∠A=30°，∠B'=50°，则∠ACB的度数为____。 【答案与解析】 答案：（1）AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'；直线l；≌；∠A'B'C'；（2）100°。 解：（1）根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 （2）∵△ABC≌△A'B'C'，∴∠B=∠B'=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°。 第3题 （1）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是____。 （2）如图，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，连接AE，AF。根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为____。 【答案与解析】 答案：（1）10:21；（2）132°。 解：（1）镜子中的图像与实际图像关于镜面对称，将镜子中的读数左右翻转即可得到实际读数10:21。 （2）由轴对称性质，∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∴∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠CAD+∠FAC=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC。 ∵∠B=62°，∠C=52°，∴∠BAC=180°-62°-52°=66°，∴∠EAF=2×66°=132°。 第4题 【答案与解析】 第4题 （变式） 【答案与解析】 专题3 线段的垂直平分线的性质与判定 【核心思想】 1、 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 2、判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 3、 点在线段的垂直平分线上⇔点到线段两个端点的距离相等。 4、互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反；原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。 第1题 如图，MN⊥AB，垂足为C，AC=BC，P是直线MN上的任意一点，连接PA，PB。求证：PA=PB。 【答案与解析】 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°。 在△PCA和△PCB中，AC=BC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB。 第1题 （变式） 如图，AD所在的直线是△ABC的对称轴，E，F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是____。 【答案与解析】 答案：3。解：∵AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴AD垂直平分BC，BD=CD=2，AD⊥BC。根据轴对称的性质，对称轴两侧的阴影部分面积相等，∴阴影部分的面积等于△ABD的面积。S△ABD=1/2×BD×AD=1/2×2×3=3。 第2题 如图，在四边形ABCD中，CE垂直平分AD于点E，CF垂直平分AB于点F。求证：CD=CB。 【答案与解析】 解：连接CA，∵CE是AD的垂直平分线，CF是AB的垂直平分线，∴CD=CA，CB=CA，∴CD=CB。 第3题 已知：线段AB外一点P，且PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 【答案与解析】 证明：过点P作PD⊥AB于点D，则∠PDA=∠PDB=90°。 在Rt△PDA和Rt△PDB中，PA=PB，PD=PD，∴Rt△PDA≌Rt△PDB（HL），∴AD=BD。 ∵PD⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 第4题 （1）下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果a=b，那么|a|=|b| C. 两直线平行，内错角相等 D. 两个全等三角形的三对对应角相等 （2）"两直线平行，同旁内角互补"和"____"是互逆定理。 【答案与解析】 答案：（1）C；（2）同旁内角互补，两直线平行。 解：（1）选项C的逆命题是"内错角相等，两直线平行"，是真命题；选项A、B、D的逆命题都是假命题。 （2）互逆定理是指一个定理的逆命题经过证明也是真命题，"两直线平行，同旁内角互补"的逆命题是"同旁内角互补，两直线平行"，也是定理。 第5题 如图，AP平分△ABC的外角∠DAC，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BD=CE。求证： （1）点P在线段BC的垂直平分线上； （2）AC-2AE=AB。 【答案与解析】 证明：（1）连接PB，∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，易证△PDB≌△PEC（SAS），∴PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上。 （2）∵AP平分∠DAC，∴∠DAP=∠EAP，易证△PAD≌△PAE（AAS），∴DA=EA。 又BD=CE，∴AB+AD=AC-AE，即AC-2AE=AB。 第5题 （变式） 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O。 （1）若BC=10，则△ADE的周长为____； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （3）若∠BAC=100°，求∠BOC的度数。 【答案与解析】 解：（1）∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10。 （2）点O在BC的垂直平分线上。理由如下：连接AO，BO，CO。∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上。 （3）∵OM，ON分别垂直平分AB，AC，∴△ABO，△ACO均为轴对称图形，∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON。 ∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO=∠ANO=90°，∴∠MON=90°-∠BAO+90°-∠NAO=180°-∠BAC=80°，∴∠BOC=∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON=2∠MON=160°。 专题4 线段的垂直平分线的画法 【核心思想】 1、 线段垂直平分线的画法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的一半的长为半径作弧，两弧交于两点，经过这两点的直线即为线段的垂直平分线。 2、作成轴对称的两个图形（或轴对称图形）的对称轴：找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到对称轴。 3、尺规作图的关键：确定圆心和半径，利用两弧交点确定直线。 第1题 如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 【答案与解析】 解：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点P即为水泵站的位置。 第1题（变式） 如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，分别以点A，B为圆心，大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF交AC于点D，则△BCD的周长为____。 【答案与解析】 答案：5。 解：由作图可知，EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD。∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=3+2=5。 第2题 【答案与解析】 第3题 【答案与解析】 专题5 画轴对称的图形 【核心思想】 1、 画轴对称图形的方法：分别画出图形中特殊点（如线段的端点）关于对称轴的对称点，再连接这些对称点。 2、对于由直线、线段或射线组成的图形，只要画出图形中的一些特殊点的对称点，连接这些对称点即可。 3、画对称点的方法：过已知点作对称轴的垂线，延长垂线段到对称轴另一侧，使垂线段长度相等，得到的点即为对称点。 第1题 （1）如图1，画出线段AB关于直线l的对称线段A'B'。 （2）如图2，已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l对称的线段A'B'。 （3）如图3，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形。 【答案与解析】 第1题（变式） 【答案与解析】 第2题 【答案与解析】 第2题（变式） 【答案与解析】 专题6 用坐标表示轴对称 【核心思想】 1、点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。 2、点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。 3、画关于坐标轴对称的几何图形步骤：求出已知图形中的关键点关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点。 第1题 已知点A(2a-b, 5+a)，B(2b-1, -a+b)。 （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求(4a+b)²⁰²⁸的值。 【答案与解析】 解：（1）∵点A，B关于x轴对称，∴2a-b=2b-1，5+a=-(-a+b)，解得a=-8，b=-5。 （2） ∵点A，B关于y轴对称，∴2a-b=-(2b-1)，5+a=-a+b，解得a=-1，b=3，∴(4a+b)²⁰²⁸=[4×(-1)+3]²⁰²⁸=1。 第1题 （变式1） 【答案与解析】 第1题 （变式2） 【答案与解析】 第2题 【答案与解析】 第2题（变式） 【答案与解析】 第3题 【答案与解析】 第3题（变式） 【答案与解析】 专题7 等腰三角形的性质 【核心思想】 1、等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰所夹的角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角。 2、等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（三线合一）。 3、设参导角：在等腰三角形中，设未知数表示角度，利用三角形内角和定理列方程求解。 第1题 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。 求证：（1）∠B=∠C；（2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 【答案与解析】 证明：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。 在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B=∠C。 （2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD是∠BAC的平分线。 ∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD是BC边上的高，即等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 第2题 （教材P₇₉例1变式）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB=AD=DE=EC。求∠C的度数。 【答案与解析】 解：设∠C=x，∵AB=AD=DE=EC，∴∠EDC=∠C=x，∠DAE=∠AED=∠EDC+∠C=2x，∠B=∠ADB=∠DAE+∠C=3x。 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴3x+x+100°=180°，解得x=20°，∴∠C=20°。 第3题 如图，D，E，F分别为△ABC边上一点，且AD=AF，BD=BE。 （1）若∠C=90°，求∠EDF的度数； （2）若∠C=α，直接写出∠EDF的度数为____。 【答案与解析】 解：（1）45°。（2）∵∠A+∠B=180°-α，∴∠AFD+∠ADF+∠BDE+∠BED=360°-(180°-α)=180°+α。∵AD=AF，BD=BE，∴∠AFD=∠ADF，∠BDE=∠BED，∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE)=180°-(180°+α)/2=90°-α/2。 第4题 如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 【答案与解析】 解：过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，AD=AE，∴BF=CF，DF=EF，∴BD=CE。 第4题（变式1） 【答案与解析】 第4题（变式2） 【答案与解析】 专题8 等腰三角形的判定 【核心思想】 1、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 2、"等角对等边"只限于在同一个三角形中应用，若两个三角形有两角（或两边）对应相等，则它们所对的边（或角）不一定相等。 3、等腰三角形的判定和性质互为逆定理：性质定理"等边对等角"和判定定理"等角对等边"。 第1题 （教材P₈₀思考）如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。 【答案与解析】 证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC。 第1题 （变式）如图，在△ABC中，BC=8，∠B=2∠C，D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD=AB-2。 （1）求证：AB=AD；（2）求CD的长。 【答案与解析】 （1）证明：∵D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=∠B，∴AB=AD。 （2）解：∵AB=AD，CD=AD，BD=AB-2，BC=8，∴CD+CD-2=8，∴CD=5。 第2题 【答案与解析】 第3题 【答案与解析】：8. 第4题 【答案与解析】 第5题 【答案与解析】 第5题（变式） 【答案与解析】 专题9 等边三角形的性质与判定 【核心思想】 1、等边三角形的概念：三边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形，是特殊的等腰三角形。 2、等边三角形的性质：三个角都相等，并且每一个角都等于60°；是轴对称图形，有3条对称轴，三边上均有"三线合一"的性质。 3、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 第1题 如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠BAD的度数为____。 【答案与解析】 答案：15°。解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°。∵BD=BC，∴AB=BD，∴△ABD是等腰三角形。∵∠CBD=90°，∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+90°=150°，∴∠BAD=∠BDA=(180°-150°)/2=15°。 第2题 如图，在等边△ABC中，D为BC的延长线上一点，E为CA的延长线上一点，且AE=DC。求证：AD=BE。 【答案与解析】 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°，易证△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE。 第2题 （变式） 【答案与解析】 第3题 【答案与解析】 第3题 （变式） 【答案与解析】 第4题 【答案与解析】 第5题 【答案与解析】 专题10 含30°角的直角三角形的性质 【核心思想】 1、性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、 此性质的前提是在直角三角形中。 3、此性质反之亦成立：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 第1题 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=1/2AB。 【答案与解析】 证明：延长BC至点D，使得CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形， ∴AB=BD，∴BC=CD=1/2BD=1/2AB，即BC=1/2AB。 第1题 （变式） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D。求证：AD=1/4AB。 【答案与解析】 证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=1/2AB。 ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=90°-∠B=60°。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°。 在Rt△ACD中，∠ACD=30°，∴AD=1/2AC，∴AD=1/4AB。 第2题 【答案与解析】 第3题 【答案与解析】 第3题（变式） 【答案与解析】 第4题 【答案与解析】 第5题 【答案与解析】 学科网（北京）股份有限公司 $