专题03 等腰三角形15大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以等腰三角形性质判定为核心，通过15类题型构建“性质-判定-特殊化-应用”四层方法体系，典例覆盖中考高频考法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-2（等边对等角、三线合一）|边角转化、三线互推|从等腰三角形基本性质切入，建立“边等→角等”“三线合一”转化模型| |判定应用|题型3-5（等角对等边证等腰/边等/求边长）|等角推边等、分类讨论|承接性质，形成“角等→边等”判定逻辑，结合三边关系检验| |特殊三角形|题型6/11-13（含30°直角三角形、等边三角形）|30°对边=斜边一半、手拉手模型|特殊化等腰三角形，拓展至等边三角形性质判定及综合应用| |实践应用|题型7-9/15（格点作图、找点、最短路径）|轴对称转化、圆与中垂线找点|将性质判定迁移至几何作图与路径优化，发展空间观念|

专题03 等腰三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 等边对等角 题型02 三线合一 题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 题型04 根据等角对等边证明边相等 题型05 根据等角对等边求边长 题型06 含30度角的直角三角形 题型07 格点图中画等腰三角形 题型08 找出图中的等腰三角形 题型09 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10 等腰三角形的判定与性质 题型11 等边三角形的性质 题型12 等边三角形的判定 题型13 等边三角形的判定与性质 题型14大边对大角定理 题型15 最短路径问题 ▌题型01 等边对等角 等边对等角：等腰三角形两条边相等，则这两条边所对的角相等。解题看到等腰，直接转化边角关系，常结合三角形内角和平角计算角度。注意分清腰与底角，已知角要分类讨论，判断是否符合内角范围，排除不合理情况。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，通过证明得到，再利用等腰三角形三线合一得到，从而求得的长； （2）利用等腰三角形等边对等角以及第一问得到的角度关系，结合三角形内角和为计算出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． （2）解：设的度数为， ， ， 又， ． ，， 为等腰直角三角形， ． 在中，根据三角形内角和为， ， 即， 解得， ． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 【答案】证明：， ， 又是线段的垂直平分线， ， ， ． 【分析】先根据余角定义可得出，再根据垂直平分线的定义可得出，然后根据等边对等角可求出，最后根据角的和差即可得出答案． 【详解】略 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一的性质求解即可； （2）先根据等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三线合一的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点D是边上的中点， ∴. 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∴． 【分析】由题意可得是的平分线，由角平分线的性质定理可得，最后再由等边对等角即可得证． 【详解】略． ▌题型02 三线合一 等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合，称为三线合一。解题看到等腰 + 高 / 角平分线 / 中线任一条件，可直接推出另外两个结论。常用于证垂直、线段相等、角相等，注意三线仅针对顶角与底边，不可乱用在腰上。 【典例】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 结合已知和所给图形，证明，得，根据三线合一得． 【详解】证明：略． 【变式1】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【答案】12 【分析】过点P作于点M，由垂直平分线的性质得，由等腰三角形三线合一，得，由角平分线的性质得，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点P作于点M， ∵垂直平分线段， ∴， ∴，即为角平分线， 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． ▌题型04 根据等角对等边证明边相等 【典例 】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：，， ， ，， ． ． ． (2)证明：， ， ， ∴点A在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】（1）先推导出，再根据证明，得到，则根据等角对等边进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，则，得到点A在的垂直平分线上，继而推导出点在的垂直平分线上，得到垂直平分，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等得到，再根据等角对等边得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． ▌题型05 根据等角对等边求边长 等角对等边：三角形若两个角相等，两角所对的边也相等。解题先寻找相等角，判定等腰三角形，得到对应边长相等。利用线段和差等量代换求线段长，注意区分顶角、底角，多解问题要结合三角形三边关系检验，舍去不合理解。 【典例】（2025·浙江温州·二模）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略； （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【答案】 【分析】首先由等边对等角求出，得到，由作图得，垂直平分，求出，然后结合含30度角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图得，垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． ▌题型06 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，30° 锐角所对直角边等于斜边的一半。解题先确认直角条件，找准 30° 角的对边，完成斜边与短直角边的转化。常搭配等腰、轴对称使用，注意不要混淆对边与邻边，必要时设未知数，利用线段关系列式求解。 【典例】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质证得，从而证得，由含角的直角三角形的性质求出的长，即求出了的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【变式1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ,， 是线段的垂直平分线； (2)2.5 【分析】(1)根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； (2)利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用(1)的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 【变式3】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， ． ▌题型07 格点图中画等腰三角形 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)1.5 (3)作图见解析 【分析】本题重点考查了轴对称的性质，割补法求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在网格中，通过观察和尝试，找到一个格点C，使得，且为钝角即可； （2）利用割补法计算的面积，将放置在一个边长为3的正方形中，用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积以及一个小正方形的面积，即可得到的面积； （3）利用轴对称的性质求最短路径，要使最短，可以作点C关于线段的对称点，过作，根据垂线段最短，此时的长度即为最小值，从而确定点P，点Q． 【详解】（1）解：符合条件的点C有两个，如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于线段的对称点，则， ∴， 过作，此时，P，Q三点共线，有最小值，最小值为的长，此时P，点Q即为所求． 同理，当点C在线段右侧，作图如下， 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． 【答案】(1) 如图，即为所求（答案不唯一）． (2) 如图，即为所求． 【分析】（1）利用网格，取格点，使即可； （2）利用网格，取格点，使即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图、等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. ▌题型08 找出图中的等腰三角形 【典例】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，中，，分别平分和，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中的所有等腰三角形．（除外） 【答案】(1) 证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ． (2)，， 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质； （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，，再根据等角对等边的性质，得到，，进而得到，即可证明结论． （2）根据（1）的结论可得是等腰三角形，根据结合（1）的结论，得出，进而可得得出是等腰三角形，进而根据平行线的性质可得是等腰三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴是等腰三角形， ∵ ， ，， 平分，平分， ，， ∴， 即 ∴ ∴是等腰三角形， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴图中的除外所有的等腰三角形有：，，． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 ▌题型09 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 找点使两点与该点构成等腰三角形，分三类讨论：动点到两点距离相等、动点到第一个定点等于两点间距、动点到第二个定点等于两点间距。画图时依次画圆和中垂线，注意剔除共线无效点，不漏解，结合图形验证能否构成三角形。 【典例】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键． 分、、三种情况讨论即可． 【详解】解：如图： 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有2点满足条件的点M； 符合条件的有4个点M； 故答案为4． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)或 (3)4 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据找出点即可求解； （3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，和即为所求； 点Q的坐标为或 故答案为：或； （3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． ▌题型10 等腰三角形的判定与性质 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一；判定：等角对等边。解题先区分性质与判定，性质由边等推角等，判定由角等推边等。遇到边角条件注意分类讨论，检验三边关系，常结合轴对称、垂直平分线转化边角，推导线段与角度。 【典例】（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，四边形中，已知，，所以该四边形是筝形．结合图形，下列结论正确的有________（填序号）． ①；②、互相平分；③平分和；④；⑤；⑥筝形的面积为 【答案】 ①③⑤⑥ 【分析】运用线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：设、交点为O，如图， ∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴，故结论①正确． ∵在中，， ∴平分． 同理平分，故结论③正确． ∵，， ∴，． ∴，即，故结论⑤正确． ，故结论⑥正确． 是的垂直平分线，但不一定是的垂直平分线，故结论②错误； 不一定成立，故结论④错误； 综上所述，结论正确的有①③⑤⑥． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 【答案】(1)如图，射线即为所求； (2)证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； (3)证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ▌题型11 等边三角形的性质 等边三角形三边相等，三个内角都是 60°，具备三线合一，是轴对称图形，有三条对称轴。解题可直接利用边角相等推导，常结合含 30° 直角三角形、手拉手模型。注意等边属于特殊等腰，可沿用等腰相关结论，看清图形条件。 【典例】（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 【变式1】（25-26九年级·四川遂宁·自主招生）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． 【答案】(1)C (2)，且， 理由：如图，设交于点， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据判定三角形全等即可； （2）设交于点，由角的和差得夹角相等，证明，得到，再通过三角形内角和定理求出，即可得到； （3）设与交于点，首先证明，得到，再通过三角形内角和定理求出； 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略； （3）解：如图，设与交于点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ▌题型12 等边三角形的判定 【典例】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）知， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）先证明，得到，结合，推出，即可证明结论； （2）由（1）知，由已知可得，结合，推出即可证明结论． 【详解】（1） 略 （2） 略 ▌题型13 等边三角形的判定与性质 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 【答案】(1) (2)证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）连接，在上取一点，使得，连接，由题意可得，，平分，证明，得出，，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长到点使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）略； （3）解：如图，连接，在上取一点，使得，连接， ∵，的平分线交于点． ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【答案】(1)①证明：∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； (2)为等边三角形 (3) 【分析】（1）①由等边三角形的性质得到，则可利用证明；可证明，，则可证明，同理可证明； （2）由（1）得，，则，据此可证明为等边三角形； （3）可证明，得到． 【详解】（1）①略； ②解：∵， ∴， ∵和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明； （2）解：如图所示， 由（1）得，， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由（2）得为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． (1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接； 【知识应用】 (2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论； （2）由得的长度；在中求得；在中求，进而得． 【详解】（1）证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌题型14 大边对大角定理 【典例】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 【答案】(1)证明：以为顶点作， ，（等角对等边） 在中，，（三角形两边之和大于第三边） ．即． (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等角对等边及三角形三边关系解答即可； （2）根据等边对等角，结合三角形内角和定理得出，根据不等式的性质及，得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组围绕三角形“大边对大角”的逆命题，开展了如下探究活动： 教材回顾 如图1，在中，，可将沿折叠，使点落在边上的点处，由折叠的性质可得． 又． 结论：如果三角形有两条边不相等，那么这两条边所对的角不相等，且大边所对的角更大，即“大边对大角”． 提出猜想 该兴趣小组针对“大边对大角”的逆命题展开思考： 提出猜想：在一个三角形中，较大的内角所对的边更长，即“大角对大边”．将其转化成数学问题证明： 已知：在中，． 求证：． 思考探究 某同学设计了轴对称证明思路：如图2，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接 … 问题解决 任务1 结合图2的轴对称证明思路，请你完成“大角对大边”的后续证明过程． 任务2 你可以应用“大角对大边”这一结论完成以下任务： 如图3，在中，平分，点是边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点．证明：． 【答案】 任务1：证明：∵垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，即； 任务2：证明：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即． 【分析】任务1：根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形三边的关系可得，据此可证明结论； 任务2：在上截取，连接，可证明得到，，则可证明，证明，即，则可证明，即． 【详解】任务1：略 任务2：略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等，熟知相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 【答案】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而可得结论； （3）根据大边对大角求解即可； （4）将一个命题的题设和结论互换即得到原命题的逆命题，据此解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 三个角都是锐角， 故此三角形就是锐角三角形． 故选：A； （3）在△中，， ； 故答案为：； （4）这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，逆定理，三角形外角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． ▌题型15 最短路径问题 最短路径核心是轴对称转化线段。作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线和直线交点即为所求。依据两点之间线段最短，将折线之和转为直线段。看清动点所在直线，区分单动点、多动点，注意验证特殊位置。 【典例】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于对称的点，连接，与交于点，根据“将军饮马”模型，得出此时取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，作点关于对称的点，连接，与交于点， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，， ∴点在上， ，， ， 此时，取得最小值． ，， 点为的中点， 平分， ． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 【答案】(1) 如图，点D即为所求： (2)11 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图和性质、轴对称性质、最短距离问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）由轴对称性质，作的垂直平分线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得， 则的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵直线l是的 垂直平分线， ∴， ∴的周长为，当且仅当A、P、B共线时取等号，此时点P与点D重合， ∵， ∴的周长的最小值为， 故答案为：11． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形 （题型突破·举一反三） 题型01 等边对等角 题型02 三线合一 题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 题型04 根据等角对等边证明边相等 题型05 根据等角对等边求边长 题型06 含30度角的直角三角形 题型07 格点图中画等腰三角形 题型08 找出图中的等腰三角形 题型09 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10 等腰三角形的判定与性质 题型11 等边三角形的性质 题型12 等边三角形的判定 题型13 等边三角形的判定与性质 题型14大边对大角定理 题型15 最短路径问题 ▌题型01 等边对等角 等边对等角：等腰三角形两条边相等，则这两条边所对的角相等。解题看到等腰，直接转化边角关系，常结合三角形内角和平角计算角度。注意分清腰与底角，已知角要分类讨论，判断是否符合内角范围，排除不合理情况。 【典例】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【变式1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 【变式2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是边上的中点，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，．求证：． ▌题型02 三线合一 等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高重合，称为三线合一。解题看到等腰 + 高 / 角平分线 / 中线任一条件，可直接推出另外两个结论。常用于证垂直、线段相等、角相等，注意三线仅针对顶角与底边，不可乱用在腰上。 【典例】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的延长线交于点E．求证：． 【变式1】（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【变式2】（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌题型03 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． ▌题型04 根据等角对等边证明边相等 【典例 】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在和中，与相交于点E，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． ▌题型05 根据等角对等边求边长 等角对等边：三角形若两个角相等，两角所对的边也相等。解题先寻找相等角，判定等腰三角形，得到对应边长相等。利用线段和差等量代换求线段长，注意区分顶角、底角，多解问题要结合三角形三边关系检验，舍去不合理解。 【典例】（2025·浙江温州·二模）在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【变式2】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌题型06 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，30° 锐角所对直角边等于斜边的一半。解题先确认直角条件，找准 30° 角的对边，完成斜边与短直角边的转化。常搭配等腰、轴对称使用，注意不要混淆对边与邻边，必要时设未知数，利用线段关系列式求解。 【典例】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点，．若，则线段的长度等于 __ ． 【变式1】（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，在中，平分，于点E，连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 ▌题型07 格点图中画等腰三角形 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点，在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰作等腰三角形，使得点在格点上． (2)在图②中，以为底作等腰三角形，使得点在格点上． ▌题型08 找出图中的等腰三角形 【典例】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，中，，分别平分和，经过点，与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)当时，直接写出图中的所有等腰三角形．（除外） 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． ▌题型09 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 找点使两点与该点构成等腰三角形，分三类讨论：动点到两点距离相等、动点到第一个定点等于两点间距、动点到第二个定点等于两点间距。画图时依次画圆和中垂线，注意剔除共线无效点，不漏解，结合图形验证能否构成三角形。 【典例】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． ▌题型10 等腰三角形的判定与性质 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一；判定：等角对等边。解题先区分性质与判定，性质由边等推角等，判定由角等推边等。遇到边角条件注意分类讨论，检验三边关系，常结合轴对称、垂直平分线转化边角，推导线段与角度。 【典例】（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，四边形中，已知，，所以该四边形是筝形．结合图形，下列结论正确的有________（填序号）． ①；②、互相平分；③平分和；④；⑤；⑥筝形的面积为 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． ▌题型11 等边三角形的性质 等边三角形三边相等，三个内角都是 60°，具备三线合一，是轴对称图形，有三条对称轴。解题可直接利用边角相等推导，常结合含 30° 直角三角形、手拉手模型。注意等边属于特殊等腰，可沿用等腰相关结论，看清图形条件。 【典例】（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 【变式1】（25-26九年级·四川遂宁·自主招生）如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境： 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型呈现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，、是等腰直角三角形，，，，连接、，试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【模型深化】 (3)如图3，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边（三边都相等，三个内角都相等），、交于点，请直接写出的度数为 ． ▌题型12 等边三角形的判定 【典例】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． ▌题型13 等边三角形的判定与性质 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）若在的外部， 如图和都为等边三角形，点B、C、D在同一直线上． (1)①证明； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接，试判断的形状． (3)与在位置上有什么关系？ 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． (1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接； 【知识应用】 (2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长． ▌题型14 大边对大角定理 【典例】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，（理由1） 在中，，（理由2） ．即． (1)请你填写证明中的两处理由：理由1：_______________________； 理由2：____________________； 【拓展应用】 (2)请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． （提示：先用含的代数式表示，再用作差法证明，即可证明） 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某数学兴趣小组围绕三角形“大边对大角”的逆命题，开展了如下探究活动： 教材回顾 如图1，在中，，可将沿折叠，使点落在边上的点处，由折叠的性质可得． 又． 结论：如果三角形有两条边不相等，那么这两条边所对的角不相等，且大边所对的角更大，即“大边对大角”． 提出猜想 该兴趣小组针对“大边对大角”的逆命题展开思考： 提出猜想：在一个三角形中，较大的内角所对的边更长，即“大角对大边”．将其转化成数学问题证明： 已知：在中，． 求证：． 思考探究 某同学设计了轴对称证明思路：如图2，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接 … 问题解决 任务1 结合图2的轴对称证明思路，请你完成“大角对大边”的后续证明过程． 任务2 你可以应用“大角对大边”这一结论完成以下任务： 如图3，在中，平分，点是边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点．证明：． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． ▌题型15 最短路径问题 最短路径核心是轴对称转化线段。作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线和直线交点即为所求。依据两点之间线段最短，将折线之和转为直线段。看清动点所在直线，区分单动点、多动点，注意验证特殊位置。 【典例】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是边上的动点，E是AC边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片． (1)将折叠，使点与点重合，折痕交于点，请用尺规作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)点是折痕上一动点，若，则的周长的最小值为____． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $