专题2.2-2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理（专题训练）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以11类题型系统覆盖等腰三角形定义、性质、判定及综合应用，知识逻辑从概念到性质再到判定逐步递进，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|4题|聚焦边长、周长分类讨论|从等腰三角形定义出发，夯实概念辨析基础| |性质应用|12题（含等边性质、三线合一）|结合图形计算角度、长度，联系垂直平分线等知识|性质（等边对等角、三线合一）为后续判定提供理论依据| |判定应用|12题（含证明等腰、边相等、求边长）|通过角等证边等，结合角平分线、平行线转化角关系|判定（等角对等边）是性质的逆向应用，形成逻辑闭环| |作图与综合|11题（格点作图、性质判定综合、等边综合）|格点作图强化空间观念，综合题融合性质与判定|从单一知识应用过渡到综合问题解决，提升推理能力|

专题2.2-2.4 等腰三角形的性质定理和判定定理（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 题型·1·等腰三角形的定义 1 题型·2.等边对等角 3 题型·3·等边三角形的性质 6 题型·4·三线合一 10 题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形 12 题型·6·根据等角对等边证明边相等 17 题型·7.根据等角对等边求边长 20 题型·8.·格点图中画等腰三角形 23 题型·9.等腰三角形的性质和判定 25 题型·10.等边三角形的判定 31 题型·11.等边三角形的判定和性质 33 题型·1·等腰三角形的定义 1．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 【详解】解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为底角，则两个底角和为，∵三角形内角和为，，不符合题意，舍去； 若为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，∴底角度数为； 综上，该等腰三角形的底角度数为． 3．已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 4．已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 题型·2.等边对等角 5．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，，，利用外角的性质求出，通过等量代换求出，最后根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ． ， ， ，，， ， ． ， ， ． 6．如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，进而得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 9．如图，，则，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型·3·等边三角形的性质 10．如图，直线是等边三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到． 根据等边三角形性质得，根据平行线性质得，然后根据三角形内角和定理求出对顶角的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选B． 11．如图所示，是等边三角形，为角平分线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形三线合一的性质及等腰三角形的内角计算是解题的关键．先利用等边三角形性质得角的度数，再结合等腰三角形性质求角，最后通过角的差计算． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵为角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 12．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 13．如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14．如图，已知是等边三角形，点D在边上，，，若的高为4，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】该题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，连接，过点A作于点G，利用面积关系即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点G，如图， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型·4·三线合一 15．如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰，，匠人在底边中点竖立柱，便能确保立柱与横梁互相垂直．其依据是（     ） A．等边对等角 B．三线合一 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】B 【详解】解：， 是等腰三角形， 是底边的中点， 是等腰底边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）可得， 其依据是三线合一． 16．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 17．如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是中线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 18．如图，在中，，于点.下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意掌握三线合一性质的应用是解此题的关键．由在△中，，，根据等边对等角与三线合一的性质求解即可求得答案． 【详解】解：，， ，，． 故D错误，A，B，C正确． 故选：D． 19．如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 题型·5·根据等角对等边证明等腰三角形 20．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 21．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明： ， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 22．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）略 23．如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 【答案】 等腰三角形，证明： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定， 根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据角平分线的定义得，即可得出，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】略 24．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 题型·6·根据等角对等边证明边相等 25．如图，在等边三角形中，是的中点，延长到点，使，求证：． 【答案】证明：是等边三角形， ． 是中点， 平分， ． ， 为等腰三角形，． 又是的外角， ， ，得． ， ． 【分析】利用等边三角形性质得到角度，结合等腰三角形外角性质，证明，根据等角对等边得证． 【详解】略 26．如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E，点A、D在直线同一侧，如果垂足为B，垂足为E，且，．连接、相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵垂足为B，垂足为E， ∴， ∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴， (2)证明：∵， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【分析】（1）先证明，，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得， ，根据等角对等边得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 27．如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵是等边三角形，是的边上的中线， ∴， 由（1）可知： ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三线合一，以及等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （2）略 28．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】略 题型·7.根据等角对等边求边长 29．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选C． 30．如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得． 的周长为． ∵，， ∴周长为； 故选：A． 31．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 32．如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是（   ） A．40海里 B．30 海里 C．20 海里 D．10 海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定；根据外角的性质可证明，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意可得：海里， ，， ， ， 海里． 故选：． 题型·8.·格点图中画等腰三角形 33．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 34．如图，在格点中找一点C，使得是等腰三角形，且为其中一条腰，这样的点C个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定，分情况讨论：即可确定点C的个数． 【详解】 解：如图所示： 满足条件的点C有9个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 35．正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要求的格点C共有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在方格纸中找等腰直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论，为直角边或斜边进行解决即可． 【详解】解：分两种情况讨论，为直角边或斜边， （1）为等腰直角三角形的斜边，格点在1或2处， （2）为等腰直角三角形的直角边，格点在3或4处， ∴符合要求的点共4个． 故答案为：4． 题型·9.等腰三角形的性质和判定 36．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． 6 (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； (2) 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 37．如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）略 38．如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 39．如图，中，的角平分线交于点E，过点E作交于点D， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：在中，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)的度数为． 【分析】（1）首先根据角平分线性质，得，由平行线性质得到，进而可得，然后根据“等角对等边”证明结论即可； （2）首先根据三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线的性质求的度数，然后结合（1）中，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， 故的度数为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． 40．如图，在中，，过点C作交的平分线于点D，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线和平行线的性质得到，即可得到，又有，即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型·10.等边三角形的判定 41．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】略 42．如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： (1)为等边三角形； (2)． 【答案】(1) 证明：依题意得，， ∴是等边三角形． (2) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 43．如图：，试说明是等边三角形． 【答案】 证明：， ， ， 又， 是等边三角形． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定、三角形外角的性质，先求出，得出，结合，即可证明结论． 【详解】略 44．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】略 题型·11.等边三角形的判定和性质 45．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）略 46．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 47．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． (2)10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 48．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，，过点作，点在射线上，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线的性质可得，即可解答； （2）证明即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 49．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题2.2-2.4等腰三角形的性质定理和判定定理（专题训练) 【新教材浙教版】 题型归纳 题型1等腰三角形的定义： .1 题型2.等边对等角. .2 题型3等边三角形的性质， 题型4三线合一 .4 题型5根据等角对等边证明等腰三角形 .5 题型6根据等角对等边证明边相等 .7 题型7.根据等角对等边求边长.… .8 题型8格点图中画等腰三角形… 9 题型9.等腰三角形的性质和判定..… .10 题型10.等边三角形的判定..12 题型11.等边三角形的判定和性质.13 题型1等腰三角形的定义 1.如果等腰三角形的周长是22Cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为() A.5cm或12cmB.8.5cm或5cm C.12cm D.5cm 2.等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角度数为() A.40° B.50° C.80° D.40°或80° 3.已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为() A.4 B.2 C.2或3 D.3 1/16 4.已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是() A.22 B.29 C.22或29 D.以上答案均不对 题型2.等边对等角 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，且CD=BC=AD,则∠A的度数为() D B A.30° B.36° C.45° D.70° 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上，延长AC至点D,使得CD=CE,连接DE,CF是 △CDE的中线，若∠FCE=52°，则∠A的度数为() B A.38° B.28°· C.32o D.34° 7.如图，在△ABC中，∠C=100°，DE垂直平分AB,分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若 ∠EAB=2∠CAE,则∠B的度数为() C E B A.16° B.32o C.26° D.30° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.连接BD,若 ∠A=38°，则∠DBC的度数为() 2/16 E D A.30° B.33° C.36° D.38° 9.如图，ABCD,则∠CAB=140°，AC=CE,∠CEA的度数为() E A.70° B.60° c.50° D.40° 题型3等边三角形的性质 10.如图，直线1‖l2,△ABC是等边三角形∠1=50°，则∠2的大小为() B A.60° B.70° c.75° D.80 11.如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD=AE,则∠EDB等于 () B D A.15° B.20° C.25° D.30° 12.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,若AB=4,则CD的长为() 3/16 B A.2 B.4 C.6 D.8 13.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC,则∠PED的 度数是() D E B P A.40° B.45° C.50° D.55° 14.如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，DE⊥AB,DF⊥AC,若△ABC的高为4， 则DE+DF的值为() F E B A.2 B.3 C.4 D.5 题型4三线合一 15.如图，古人修建牌楼梁架时，外轮廓为等腰△ABC,AB=AC,匠人在底边中点D竖立柱AD,便能 确保立柱AD与横梁BC互相垂直.其依据是() B D A.等边对等角B.三线合一 C.垂线段最短 D.三角形的稳定性 4/16 16.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为边BC上一点，连接AD,∠BAD=∠CAD,BC=10,则 BD=() A.5 B.6 C.7 D.8 17.如图，在等腰三角形ABC中，AD是中线，AB=AC,∠B=55°，则∠CAD的度数为() D A.25° B.30° C.35° D.40° 18.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D.下列结论不一定正确的是（) D A.∠B=∠CB.∠1=∠2 C.BD=CD D.AD=BC 19.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且BE=BD,若 ∠BAC=100°，则∠ADE的大小为() 4 E B A.15 B.20 C.25° D.30 5/16 题型5根据等角对等边证明等腰三角形 20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG‖AD,交AC于点F,交BA的延 长线于点G.请判断△AFG的形状，并加以证明. G B 21.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG‖AD,交AC于点F,交BA延长 线于点G. G A (1)求证：△AFG为等腰三角形： (2)若CE=EF,∠BAC=82°，求∠B的度数. 22.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E. D (1)若∠C=40°，求∠BAD的度数： 6/16 (2)过点E作EF‖BC交AB于点F,求证：△BEF是等腰三角形. 23.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,DE‖BC,请判断△BDE的形状，并证明. D 24.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为BC 的中点，连接DE. E (1)求证：△BCD为等腰三角形. (2)求∠EDC的度数. 题型6根据等角对等边证明边相等 25.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E,使CE=CD,求证：BD=ED, 7/16 B 26.如图，在同一直线上有四个点B、F、C、E,点A、D在直线BC同一侧，如果AB⊥BC垂足为B, DE⊥BC垂足为E,且AB=DE,BF=CE.连接AC、DF相交于点G. D G (1)求证：△ABC≌△乙： (2)求证：AG=DG. 27.如图，已知△ABC是等边三角形，BD是△ABC的边AC上的中线，E在BC延长线上，且EC=DC, (1)求∠E的度数： (2)求证：BD=ED. 28.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是BC上一点，过点D作DF⊥BC交AC于点E,交 BA的延长线于点F.求证：AF=AE. 8/16 题型7根据等角对等边求边长 29.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE‖BC交AB于点E.已知AB=10, DE=4,则AE的长为() A.4 B.5 C.6 D.10 30.如图，在△ABC中，AB=6,AC=9,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交 AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为() M A.15 B.10 C.5 D.不能确定 31.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P,交AB于点F,若AF=2, BF=3,则CE的长度为() 9/16 B万 A.7 B.7.5 C.8 D.8.25 32.如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北 偏西30的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B,此时在小岛B处测得 礁石C在北偏西60°的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是() 北 A东 A.40海里 B.30海里 C.20海里 D.10海里 题型8格点图中画等腰三角形 33.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，己知A,B是两个格点，如果点C也是图形中的 格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有(). B A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 34.如图，在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为 () 10/16 A B A.8 B.9 C.10 D.11 35.正方形网格中线段的交点称为格点，若格点C与格点A、B能构成等腰直角三角形，那么图中符合要 求的格点C共有个 题型9.等腰三角形的性质和判定 36.如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE‖AB,交AC于点E. D (1)求证：△ADE是等腰三角形： (2)求证：AE=EC. 37.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.过点A作AEBC, 交BD的延长线于点E. 11/16 (1)求∠ADE的度数： (2)判断△ADE的形状，并说明理由. 38.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点O B (1)求证：△OBC是等腰三角形： (2)若AB=5,BD=4,BC=6,求点A到BC边的距离. 39.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BE交AC于点E,过点E作DEBC交AB于点D, D E (1)求证：△BDE是等腰三角形： (2)若∠C=90°，∠A=40°，求∠BED的度数. 40.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA,过点C作CD‖AB交∠CAB的平分线于点D,连接BD, 12/16 (1)求证：CB=CD (2)若∠CBD=50°，求∠ACD的度数 题型10.等边三角形的判定 41.如图，在△ABC中，∠ACB=60°.点D是边BA延长线上一点，DEAC,且∠D=∠B.求证： △ABC是等边三角形. D B 42.如图，用两个含30°角且大小相同的三角板(Rt△ABC和Rt△DCE)摆放在一起，两直角顶点重合， 点D恰好落在AB边上.求证： B (1)△ADC为等边三角形： (2)DE‖AC. 13/16 43.如图：AB=AC=CD,∠D=30°，试说明△ABC是等边三角形. 44.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F,延长FD、CA交于点E.若∠E=30°， AD=AE.求证：△ABC为等边三角形. D 题型11等边三角形的判定和性质 45.如图，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥AC,AE⊥AB. (1)求∠C的度数： (2)判断△AED的形状，并说明理由. 14/16 46.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°， 其两边分别交边AB,AC于点E,F. B (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：AE+AF=AD. 47.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD‖AB,OE‖AC. (1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由： (2)若BC=10,求△ODE的周长. 48.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，DE‖AC,过点C作CN‖AB, 点F在射线CN上，∠AEF=60° (1)求证：△BDE是等边三角形： (2)求证：AE=EF. 15/16 49.如图△ABD,△ACE都是等边三角形，BE,CD交于点F,连接AF, D B (1)求证：BE=CD: (2)求∠BFC的度数： (3)求证：AF+BF=FD. 16/16