专题02 等腰三角形性质与判定类综合问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“等边↔等角”双向转化为主线，通过“通法归纳+十类题型精讲”构建等腰三角形性质与判定的系统性训练体系，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1模块|“性质定角定线”（等边对等角、三线合一）、“判定识形”（等角对等边），分类讨论与结果检验|上承三角形基本关系，下启全等相似，构建“概念-性质-判定-应用”逻辑链| |十类题型|10典例+40变式|格点作图用勾股定理，动点问题列含t方程，折叠问题抓对应边等角，多结论问题逐一验证|从基础计算（类型1-2）到图形构造（3-4），再到综合证明（5-7）及动态综合（8-10），难度递进|

专题02 等腰三角形性质与判定十类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用等腰三角形的性质求解 1 类型二、找出图中的等腰三角形 2 类型三、格点中画等腰三角形 4 类型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 5 类型五、等腰三角形的性质与判定综合 6 类型六、利用等边三角形的性质求解 8 类型七、等边三角形性质与判定 9 类型八、等腰三角形与动点问题 11 类型九、等腰三角形与折叠问题 12 类型十、等腰三角形与多结论问题 13 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形的性质与判定是初中几何的核心模块，上承三角形基本关系，下启全等、相似与四边形证明。所有题型均围绕"等边↔等角" 双向转化**展开，解题贯穿两条主线：一是性质定角定线—— 由边相等得角相等（等边对等角），由等腰得 "三线合一"（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；二是判定识形—— 由角相等得边相等（等角对等边）识别等腰三角形。复杂题常需分类讨论（谁为腰、谁为底），动点与折叠问题尤须注意位置变化，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用等腰三角形的性质求解 典例精讲1（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 题型归纳 1.特征：已知三角形为等腰三角形（或两边相等），给出部分边长或角度，求其余边长、角度、周长或面积。2.方法：由 "等边对等角" 得两底角相等，结合三角形内角和 180° 求角；由 "三线合一" 作底边上的高，用勾股定理求边长或面积；求周长时注意分类讨论腰与底。 3.易错提醒：未指明腰与底时须分类讨论，并验证三角形三边关系；三线合一仅限等腰三角形的 "底边"，不可混淆腰上的中线与高。 变式训练1（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期末）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是_________． 变式训练3（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）如图，这是公元前五世纪古希腊人发明的一种“三等分角”的仪器的模型，模型中，如果在一次测量中，则的度数为___________． 变式训练4（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 类型二、找出图中的等腰三角形 典例精讲2（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 题型归纳 1.特征：复杂图形中给出平行线、角平分线、垂直等条件，要求找出图中所有的等腰三角形。 2.方法：利用 "等角对等边" 判定 —— 平行线得内错角 / 同位角相等，角平分线得等角，公共角、对顶角传递角相等；凡有两角相等的三角形即为等腰，逐一标记不遗漏。 3.易错提醒：找等腰三角形要遍历图中所有三角形，不可只看明显的；角相等必须是同一三角形中的两个内角，跨三角形的等角不能直接判定。 变式训练1（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 变式训练2（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式训练3（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 类型三、格点中画等腰三角形 典例精讲3（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中，按要求画出以已知点为顶点的等腰三角形（或补充顶点）。 2.方法：用勾股定理或格点距离计算各边长度，寻找两边相等的顶点位置；以已知边为底时，顶点在底边的垂直平分线上；以已知边为腰时，分别以两端点为圆心、边长为半径找格点交点。 3.易错提醒：边长必须通过计算确认相等，不可仅凭目测；顶点须落在格点上，注意垂直平分线与格点的交点可能有多个，勿遗漏。 变式训练1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 变式训练2（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 变式训练3（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 变式训练4（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 类型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 典例精讲4（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型归纳 1.特征：已知两个定点和一条定直线，要求在直线上找点，使该点与两定点组成等腰三角形。 2.方法：分类讨论 ——① 两定点连线为底边：点在两定点的垂直平分线上，与定直线的交点即为所求；② 两定点连线为腰：分别以两定点为圆心、定长为半径画圆，与定直线的交点即为所求。逐一计数。 3.易错提醒：三种情形（底边、以 A 为圆心、以 B 为圆心）都要考虑，防止漏点；交点重合时只算一个；注意直线与圆可能有 0、1、2 个交点。 变式训练1（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，，在直线或直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变式训练2（25-26七年级下·河北保定·期末）点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有______个． 变式训练3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 类型五、等腰三角形的性质与判定综合 典例精讲5（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），进行证明或求解。 2.方法：按 "判定识等腰→性质得边角" 的链条推进 —— 先由角相等（或边相等）判定等腰，再用等腰性质求其余边角；必要时通过全等、平行线传递角的关系。 3.易错提醒：性质与判定的方向不可用反 —— 由边相等推角相等是性质，由角相等推边相等是判定；证明过程中每步都要有依据，不可跳步。 变式训练1（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，平分，，垂足为点，过点作，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 变式训练2（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，是的中点，求线段的长． 变式训练3（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型六、利用等边三角形的性质求解 典例精讲6（2026·安徽合肥·三模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 题型归纳 1.特征：已知三角形为等边三角形，给出部分条件，求边长、角度、线段关系或面积。 2.方法：等边三角形三边相等、三角均为 60°；任一边上的高、中线、角平分线三线合一，高 = (√3/2)× 边长，面积 = (√3/4)× 边长 ²；结合 30°-60°-90° 直角三角形的边长比求解。 3.易错提醒：等边三角形的高与边长的关系（√3/2）要记准，不可与等腰直角三角形混淆；角度计算中 60° 是关键，勿误用 45°。 变式训练1（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 变式训练2（25-26七年级上·山西太原·期末）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____． 变式训练3（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边三角形中，是的中点，于点，于点，若，则________． 变式训练4（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 类型七、等边三角形性质与判定 典例精讲7（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 题型归纳 1.特征：要求证明一个三角形是等边三角形，或结合等边三角形的判定与性质进行综合证明。 2.方法：判定用三条路径 ——① 三边相等；② 三角相等（均为 60°）；③ 等腰三角形 + 一个角为 60°；证明后再用等边性质（三边等、三角 60°、三线合一）推进结论。 3.易错提醒："等腰 + 一个角为 60°" 中，60° 的角可以是顶角也可以是底角，但必须先确认三角形是等腰；仅有一个角为 60° 不能判定等边。 变式训练1（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 变式训练2（2026·福建漳州·模拟预测）如图，为等边三角形，点E在边上，连接，作于点D，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为点C，F，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)延长交于点G，求证：． 变式训练3（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 类型八、等腰三角形与动点问题 典例精讲8（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 题型归纳 1.特征：动点在三角形边上（或直线上）运动，运动过程中某三角形成为等腰三角形，求运动时间或路程。 2.方法：设运动时间为 t，用含 t 的式子表示相关线段；按 "哪两边相等" 分类讨论（三种情形），每种情形列方程求解；验证解是否符合动点运动范围。 3.易错提醒：三种 "两边相等" 的情形都要讨论，只考虑一种会漏解；每个解都要验证是否在动点的运动范围内，且满足三角形三边关系。 变式训练1（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为________秒． 变式训练2（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 变式训练3（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 类型九、等腰三角形与折叠问题 典例精讲9（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 题型归纳 1.特征：将三角形（或纸片）沿某条线折叠，折叠后形成等腰三角形，求边长、角度或折痕长度。 2.方法：抓住折叠性质 —— 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；由折叠产生的等角 / 等边判定等腰，再用等腰性质（等边对等角、三线合一）求解。 3.易错提醒：折叠后图形位置变化，等腰的腰与底可能改变，须重新确认；折叠前后的对应顶点要标清，不可混淆原图形与折叠后图形的边角。 变式训练1（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高，，将折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则的长为_______． 变式训练2（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 变式训练3（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 类型十、等腰三角形与多结论问题 典例精讲10（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 题型归纳 1.特征：给出一个等腰三角形（或含等腰的复杂图形）及若干结论，要求判断正确结论的个数或选出正确结论。 2.方法：逐一验证每个结论 —— 利用等边对等角、三线合一、等角对等边、全等、勾股定理等进行证明；对错误结论尝试举反例或计算具体数值排除。 3.易错提醒：每个结论独立验证，不可因前几个正确就默认后续正确；注意 "一定成立" 与 "可能成立" 的区别，结论中含 "一定"" 都 " 等绝对词时要格外警惕。 变式训练1（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，是的高线，是的中线，是的角平分线．；；；．其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 变式训练3（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 变式训练4（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，是等腰直角三角形，，由它三条中位线所组成的一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（     ） A．1.2 B．1.6 C．2 D．2.4 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，，则应满足的条件是________． 13．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 15．（25-26七年级下·河北张家口·期末）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 (2)如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 (3)如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 16．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 17．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等腰三角形性质与判定十类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用等腰三角形的性质求解 1 类型二、找出图中的等腰三角形 2 类型三、格点中画等腰三角形 6 类型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 12 类型五、等腰三角形的性质与判定综合 13 类型六、利用等边三角形的性质求解 19 类型七、等边三角形性质与判定 23 类型八、等腰三角形与动点问题 29 类型九、等腰三角形与折叠问题 35 类型十、等腰三角形与多结论问题 39 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形的性质与判定是初中几何的核心模块，上承三角形基本关系，下启全等、相似与四边形证明。所有题型均围绕"等边↔等角" 双向转化**展开，解题贯穿两条主线：一是性质定角定线—— 由边相等得角相等（等边对等角），由等腰得 "三线合一"（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；二是判定识形—— 由角相等得边相等（等角对等边）识别等腰三角形。复杂题常需分类讨论（谁为腰、谁为底），动点与折叠问题尤须注意位置变化，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、利用等腰三角形的性质求解 典例精讲1（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：已知三角形为等腰三角形（或两边相等），给出部分边长或角度，求其余边长、角度、周长或面积。2.方法：由 "等边对等角" 得两底角相等，结合三角形内角和 180° 求角；由 "三线合一" 作底边上的高，用勾股定理求边长或面积；求周长时注意分类讨论腰与底。 3.易错提醒：未指明腰与底时须分类讨论，并验证三角形三边关系；三线合一仅限等腰三角形的 "底边"，不可混淆腰上的中线与高。 变式训练1（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期末）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是_________． 【答案】 【分析】根据非负式子和为0它们分别等于0求出，，再结合等腰三角形性质及三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∵， ∴只能是作腰， ∴的周长是：. 变式训练3（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）如图，这是公元前五世纪古希腊人发明的一种“三等分角”的仪器的模型，模型中，如果在一次测量中，则的度数为___________． 【答案】/80度 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ∴ ， ∴ ， ， ． 变式训练4（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，是它的角平分线，，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积计算公式得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是它的角平分线，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 类型二、找出图中的等腰三角形 典例精讲2（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 题型归纳 1.特征：复杂图形中给出平行线、角平分线、垂直等条件，要求找出图中所有的等腰三角形。 2.方法：利用 "等角对等边" 判定 —— 平行线得内错角 / 同位角相等，角平分线得等角，公共角、对顶角传递角相等；凡有两角相等的三角形即为等腰，逐一标记不遗漏。 3.易错提醒：找等腰三角形要遍历图中所有三角形，不可只看明显的；角相等必须是同一三角形中的两个内角，跨三角形的等角不能直接判定。 变式训练1（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 变式训练2（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 变式训练3（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 类型三、格点中画等腰三角形 典例精讲3（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选：C． 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中，按要求画出以已知点为顶点的等腰三角形（或补充顶点）。 2.方法：用勾股定理或格点距离计算各边长度，寻找两边相等的顶点位置；以已知边为底时，顶点在底边的垂直平分线上；以已知边为腰时，分别以两端点为圆心、边长为半径找格点交点。 3.易错提醒：边长必须通过计算确认相等，不可仅凭目测；顶点须落在格点上，注意垂直平分线与格点的交点可能有多个，勿遗漏。 变式训练1（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 变式训练2（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（   ） A．3 B．5 C．3或5 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 变式训练3（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 变式训练4（25-26八年级上·重庆·周测）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小方格的格点上，则使为等腰三角形的顶角顶点有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有5个； 当为腰时，分别以、点为圆心，以为半径作弧，可找出格点的个数有3个； ∴这样的点有8个． 故答案为：8． 类型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 典例精讲4（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 题型归纳 1.特征：已知两个定点和一条定直线，要求在直线上找点，使该点与两定点组成等腰三角形。 2.方法：分类讨论 ——① 两定点连线为底边：点在两定点的垂直平分线上，与定直线的交点即为所求；② 两定点连线为腰：分别以两定点为圆心、定长为半径画圆，与定直线的交点即为所求。逐一计数。 3.易错提醒：三种情形（底边、以 A 为圆心、以 B 为圆心）都要考虑，防止漏点；交点重合时只算一个；注意直线与圆可能有 0、1、2 个交点。 变式训练1（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，，在直线或直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要运用等腰三角形的性质，通过分别以三角形的两个顶点为圆心，以三角形的一边为半径作圆，以及作三角形一边的垂直平分线，找出与直线或直线的交点，从而确定等腰三角形的个数．其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 【详解】解：以为圆心，以为半径作圆；以为圆心，以为半径作圆，连接两圆的交点， ∵以为圆心，以为半径作圆，与直线交点(除点外)，与直线交点(除点外)； ∴，即点是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， 同理以为圆心，以为半径作圆，与直线交(除点外)、与直线交(除点外)， 其中与直线的交点，与前一个圆与直线的交点重合， 即点、是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， ∵连接两圆的交点，即的垂直平分线，与直线交于点、与直线交点， 其中与直线的交点与前两个圆与直线的交点重合； 即点是符合条件的点， ∴有个交点，使得是等腰三角形， 故共有等腰三角形的个数为：(个)． 故选：B． 变式训练2（25-26七年级下·河北保定·期末）点，在直线同侧，若是直线上的点，且是等腰三角形，则这样的点最多有______个． 【答案】 【分析】分三种情况讨论等腰三角形的顶点位置，分别确定符合条件的点的个数，即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当为等腰三角形的腰，且为顶点时，以为圆心，长为半径作弧，与直线最多有个交点，这个交点均符合条件； ② 当为等腰三角形的腰，且为顶点时，以为圆心，长为半径作弧，与直线最多有个交点，这个交点均符合条件； ③当为等腰三角形的底边时，作的垂直平分线，与直线最多有个交点，该交点符合条件； 综上，符合条件的点最多有个． 变式训练3（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点P即为所求； (3)10 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所求； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 类型五、等腰三角形的性质与判定综合 典例精讲5（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：综合题中需同时运用等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定（等角对等边），进行证明或求解。 2.方法：按 "判定识等腰→性质得边角" 的链条推进 —— 先由角相等（或边相等）判定等腰，再用等腰性质求其余边角；必要时通过全等、平行线传递角的关系。 3.易错提醒：性质与判定的方向不可用反 —— 由边相等推角相等是性质，由角相等推边相等是判定；证明过程中每步都要有依据，不可跳步。 变式训练1（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，平分，，垂足为点，过点作，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． (2)的长为 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，由此即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式训练2（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，是的中点，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质得，进而由余角性质和对顶角性质可得，即得，即可求证； （）由可得，即得是等边三角形，得到，即得到，进而由直角三角形的性质得，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式训练3（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的平分线，，， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用角平分线的性质得到，利用线段垂直平分线的性质得到，结合“”判定定理证明，从而确定； （2）先根据四边形内角和求出的度数，再结合（1）的结论推出，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练运用相关定理和性质进行推理与计算是解答本题的关键． 类型六、利用等边三角形的性质求解 典例精讲6（2026·安徽合肥·三模）如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 【答案】/160度 【分析】根据等边三角形的性质求出，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知三角形为等边三角形，给出部分条件，求边长、角度、线段关系或面积。 2.方法：等边三角形三边相等、三角均为 60°；任一边上的高、中线、角平分线三线合一，高 = (√3/2)× 边长，面积 = (√3/4)× 边长 ²；结合 30°-60°-90° 直角三角形的边长比求解。 3.易错提醒：等边三角形的高与边长的关系（√3/2）要记准，不可与等腰直角三角形混淆；角度计算中 60° 是关键，勿误用 45°。 变式训练1（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 变式训练2（25-26七年级上·山西太原·期末）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____． 【答案】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ． 变式训练3（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边三角形中，是的中点，于点，于点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 类型七、等边三角形性质与判定 典例精讲7（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：要求证明一个三角形是等边三角形，或结合等边三角形的判定与性质进行综合证明。 2.方法：判定用三条路径 ——① 三边相等；② 三角相等（均为 60°）；③ 等腰三角形 + 一个角为 60°；证明后再用等边性质（三边等、三角 60°、三线合一）推进结论。 3.易错提醒："等腰 + 一个角为 60°" 中，60° 的角可以是顶角也可以是底角，但必须先确认三角形是等腰；仅有一个角为 60° 不能判定等边。 变式训练1（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 变式训练2（2026·福建漳州·模拟预测）如图，为等边三角形，点E在边上，连接，作于点D，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为点C，F，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)延长交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，然后由旋转得到，，推出，即可证明； （2）过点C作交的延长线于点H，证明，然后推出，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴ ∴ ∴为等边三角形； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点H ∵ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 由旋转得，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴． 变式训练3（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 类型八、等腰三角形与动点问题 典例精讲8．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 题型归纳 1.特征：动点在三角形边上（或直线上）运动，运动过程中某三角形成为等腰三角形，求运动时间或路程。 2.方法：设运动时间为 t，用含 t 的式子表示相关线段；按 "哪两边相等" 分类讨论（三种情形），每种情形列方程求解；验证解是否符合动点运动范围。 3.易错提醒：三种 "两边相等" 的情形都要讨论，只考虑一种会漏解；每个解都要验证是否在动点的运动范围内，且满足三角形三边关系。 变式训练1（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为________秒． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 变式训练2（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 类型九、等腰三角形与折叠问题 典例精讲9（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：将三角形（或纸片）沿某条线折叠，折叠后形成等腰三角形，求边长、角度或折痕长度。 2.方法：抓住折叠性质 —— 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线；由折叠产生的等角 / 等边判定等腰，再用等腰性质（等边对等角、三线合一）求解。 3.易错提醒：折叠后图形位置变化，等腰的腰与底可能改变，须重新确认；折叠前后的对应顶点要标清，不可混淆原图形与折叠后图形的边角。 变式训练1（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高，，将折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则的长为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，中位线性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据折叠得出，，，证明点F为的中点，点E为的中点，根据中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：根据折叠可得：，，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 变式训练2（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中 ，，点 E 在边上，连接，将四边形 沿 折叠，使得B点落在D点处，连接，则 ________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等边三角形，折叠的性质，等边对等角的知识，掌握等边三角形的判定和性质是关键． 如图所示，连接，可得为等边三角形，根据折叠可得，结合角的和差计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴为等边三角形，，， ∵，即， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，则；再根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵ 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 故答案为：5. 类型十、等腰三角形与多结论问题 典例精讲10（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边对等角即可证明①正确；根据等腰三角形三线合一即可证明②正确；证明，即可证明③④正确． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴； 故②正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴；． 故③④正确； 综上可知，正确的是①②③④． 题型归纳 1.特征：给出一个等腰三角形（或含等腰的复杂图形）及若干结论，要求判断正确结论的个数或选出正确结论。 2.方法：逐一验证每个结论 —— 利用等边对等角、三线合一、等角对等边、全等、勾股定理等进行证明；对错误结论尝试举反例或计算具体数值排除。 3.易错提醒：每个结论独立验证，不可因前几个正确就默认后续正确；注意 "一定成立" 与 "可能成立" 的区别，结论中含 "一定"" 都 " 等绝对词时要格外警惕。 变式训练1（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，是的高线，是的中线，是的角平分线．；；；．其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形、角平分线、中线的性质．根据直角三角形、角平分线、中线的性质进行逐项分析即可． 【详解】解： 是的高线， ． ． 当时，． 此时，．但未知， 故不一定； 是的中线， ． 和等底同高， ．故正确； 是的高线， ． 是的中线， ． ，故正确； 是的角平分线， ． ，，故正确； 故选：C． 变式训练2（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 变式训练3（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 变式训练4（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，得出，即可判断①；结合①即可证明，故②正确；得，得，得，可得，得出，即可判断③；根据得，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：A． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，是等腰直角三角形，，由它三条中位线所组成的一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形性质，中位线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等推导即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 、、是的中位线， ，，，， ，， ， 是等腰直角三角形． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则线段的长为（     ） A．1.2 B．1.6 C．2 D．2.4 【答案】A 【分析】利用等角对等边，得到，进而得出，利用等面积法求出，再证明，得到，即可得解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图，特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点， ∴，，， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到格点，连接，根据网格特点并结合勾股定理可求出，，，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到格点，连接， 由网格特点可得，， ，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 12．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）在中，已知，，则应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据三角形大边对大角的性质，可得与的大小关系，再结合三角形内角和定理，即可推导出的取值范围． 【详解】解：在中，根据三角形边角关系：大边对大角， 边所对的内角为，边所对的内角为， 又 ， 根据三角形内角和定理， 可得 三角形的内角大于，即 解得 综上可得． 13 （25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在边上，点在线段上，且，请添加一个条件________作为已知条件，通过推理能得到（只需填写一个满足的条件）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要得到，即点为的中点，结合图形可考虑利用等腰三角形“三线合一”的性质.已知，若添加，可利用等边对等角及角的和差关系推出，进而证明，得到，最后利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质即可得证． 【详解】解：添加条件：； 理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 即平分， 在中，因为，平分， 所以． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）如图，等边，点为边的中点，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则___________． 【答案】，，， 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，分4种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边， ∴， ∵折叠， ∴， 当所在直线与的边垂直时，分四种情况： ①当所在直线与垂直时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当所在直线与垂直时，如图，则， ∴； ③当时，如图，则； ④当在的延长线上，且时，如图， 则， ∴； 综上：. 15．（25-26七年级下·河北张家口·期末）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 (2)如图，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ① ②； 【拓展】 (3)如图，在与中，，，且，若，，连接，，，当，，在同一条直线上，直接写出的面积； 【答案】(1)； (2)证明：∵都是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质以及等边三角形的性质证明即可； （3）同理可证明，然后可得，过点作于点，则、均是等腰直角三角形，则，由勾股定理求解得到，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）略 （3）解：∵，，且 ∴， ∴ ∴，， ∴ 过点作于点，则、均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 当点在点右侧时， 此时 ∴； 当点在点左侧时， 此时 ∴， 综上：的面积为或． 16．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 17．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，根据等边三角形的三线合一定理可知；由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可知，由折叠的性质可知； （2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可知，，根据折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可得：； （3）延长交于点，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 当点落在上时， 由折叠可知，， ， ； 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，，， ， ； （2）解：是等边三角形， ， ， ，， ， ， 由折叠可知， ； （3）解：如下图所示，延长交于点， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知， 是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $