3.2.1单调性与最大（小）值 新授课导学案----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

该高中数学导学案聚焦“单调性与最大（小）值”，通过表格对比增、减函数定义及图象特征，结合概念辨析题搭建学习支架，帮助学生从函数基本概念过渡到单调性，夯实基础。 以考点为导向设计练习题，涵盖求单调区间、参数求解等类型，通过定义法证明步骤训练逻辑推理（数学思维），图象分析培养几何直观（数学眼光），助力学生用数学语言表达函数性质，提升学习效率与核心素养。

3.2.1单调性与最大（小）值 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】函数单调性的概念 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果， 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 【2】概念辨析 判断正误(正确的填写“正确”，错误的填写“错误”) （1）所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) （2）若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是.( ) （3）若函数为R上的减函数，则.( ) （4）若函数在定义域上有，则函数是增函数.( ) （5）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．( ) 【3】阅读例题归纳用定义法证明单调性的步骤 【4】函数的增减性的等价形式有哪些？ 【5】函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 【6】概念辨析 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）任何函数都有最大值或最小值．( ) （2）函数的最小值一定比最大值小．( ) （3）若函数恒成立，则的最大值为1.( ) （4）若是函数的最大值，则是图象上的最高点．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 求函数的单调区间 1,12,16,18 由函数的单调性求参数 2,13 根据函数的图象求单调区间和最值 3 求最值或由最值求参数 4，14 利用单调性解不等式 5,19 函数不等式成立（有解）问题 6 分段函数的单调性求参数 7 分段函数的最值求参数 8 函数单调性的应用 9,10 简单复合函数的单调性 11 利用定义证明函数的单调性 15,17 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 11．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 14．已知函数 的最小值为，则 _____ 四、解答题 15．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 16．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 17．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 18．求下列函数的单调区间． (1). (2). 19．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1单调性与最大（小）值 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】函数单调性的概念 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，区间，如果， 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当时，都有 ，那么就称函数在区间I上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 【答案】； 【2】概念辨析 判断正误(正确的填写“正确”，错误的填写“错误”) （1）所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) （2）若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是.( ) （3）若函数为R上的减函数，则.( ) （4）若函数在定义域上有，则函数是增函数.( ) （5）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．( ) 【答案】 错误 错误 正确 错误 错误 【详解】 函数在其定义域上不具有单调性，故（1）错误； 函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故（2）错误； 若函数为R上的减函数，因为，所以，故（3）正确； 函数，，满足， 而在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域R上不是增函数，故（4）错误. 若函数在区间和上均为增函数，此时可能有分段函数情况，但函数在区间上为增函数不成立，故（5）错误. 【3】阅读例题归纳用定义法证明单调性的步骤 【答案】基本步骤如下： ①设值：设 ，且 ； ②作差： ； ③变形：对 变形，一般是通分，分解因式，配方等。 这一步是核心，要注意变形到底； ④判断符号， 得出函数的单调性。 【4】函数的增减性的等价形式有哪些？ 【答案】设 ，且 ，那么 ① ② 在 是减函数。 【5】函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 【答案】 最大值 最小值 【6】概念辨析 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）任何函数都有最大值或最小值．( ) （2）函数的最小值一定比最大值小．( ) （3）若函数恒成立，则的最大值为1.( ) （4）若是函数的最大值，则是图象上的最高点．( ) 【答案】 错误 错误 错误 正确 【详解】（1）有的函数没有最大值和最小值，比如，，故（1）错误； （2）函数的最大值和最小值都是1，故（2）错误； （3）若函数的最大值为，则成立，故（3）错误； （4）由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知，（4）正确. ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 求函数的单调区间 1,12,16,18 由函数的单调性求参数 2,13 根据函数的图象求单调区间和最值 3 求最值或由最值求参数 4，14 利用单调性解不等式 5,19 函数不等式成立（有解）问题 6 分段函数的单调性求参数 7 分段函数的最值求参数 8 函数单调性的应用 9,10 简单复合函数的单调性 11 利用定义证明函数的单调性 15,17 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 5．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 6．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为存在，使得成立，结合函数的单调性求出其值域即得. 【详解】由题意，不等式可化为， 即存在，使得成立， 因为函数在上单调递增， 且时，，时，， 所以，则可得， 即的取值范围是. 故选：D 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 10．下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据函数的单调性的定义逐项验证即可求解. 【详解】对于A，在上是减函数，故A正确； 对于B，在单调递减，故B错误； 对于C，在单调递增，故C正确； 对于D，在单调递减，在单调递增，故D错误； 故选：AC. 11．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 【答案】AC 【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值. 【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误； 函数由与复合而成， 当时，单调递增，当时，单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故,又，所以，故A，C正确，D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间． 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 14．已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 四、解答题 15．已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 16．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1)作图见解析； (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 17．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由. 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可. 【详解】（1）判断：在上单调递增. 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题. 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题. 18．求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 19．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $