3.2 函数的基本性质（第四课时 奇偶性与单调性的综合应用）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性与单调性的综合应用，课前预习通过填空复习单调性定义、奇偶性性质等旧知，课堂探究以画图操作、定义推导为支架，衔接单一性质到综合应用的脉络。 导学案采用“探究—例题—检测”分层设计，结合画图直观感知与定义严谨推导，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，当堂检测与易错提醒助力及时反馈，提升应用意识与解题规范性。

3.2　函数的基本性质 第四课时　奇偶性与单调性的综合应用　·　学案 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（复习前三个课时，完成填空） 1．若 f(x) 在区间 I 上单调递增，x₁，x₂I，则 x₁＜x₂ f(x₁)＿＿＿f(x₂)；若单调递减，则 x₁＜x₂ f(x₁)＿＿＿f(x₂)。 2．偶函数满足 f(－x)＝＿＿＿＿，由此还可以写成 f(x)＝f(＿＿＿)。 3．奇函数满足 f(－x)＝＿＿＿＿；若 f(x) 在 R 上是奇函数，则 f(0)＝＿＿＿。 4．若 f(x) 为奇函数且在区间 [a，b]（a＜b）上单调递增，则 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿，即在对称区间上单调性＿＿＿＿。 5．若 f(x) 为偶函数且在 [a，b] 上单调递增，则 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿，即在对称区间上单调性＿＿＿＿。 6．若 f(x) 为奇函数，则 f(a)＋f(b)＞0 f(a)＞－f(b)＝f(＿＿＿)。 二、课堂探究 探究一　对称区间上的单调性 （1）在草稿纸上画一条位于 x 轴右侧、从左到右上升的线段。 　把它绕原点旋转 180°，新画出的那段是＿＿＿（上升／下降）的； 　把它沿 y 轴翻折，新画出的那段是＿＿＿（上升／下降）的。 （2）所以：奇函数在对称区间上单调性＿＿＿＿，偶函数在对称区间上单调性＿＿＿＿。 （3）四个字口诀：＿＿＿＿＿＿＿＿。 ★（4）用定义推一遍：设 f(x) 为偶函数，在 [a，b] 上递增。任取 x₁，x₂[－b，－a]，且 x₁＜x₂， 　则 －x₁，－x₂＿＿＿＿，且 －x₂＿＿＿－x₁，由递增得 f(－x₂)＿＿＿f(－x₁)； 　又 f(x) 为偶函数，所以 f(x₂)＿＿＿f(x₁)，即 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿。 探究二　比较函数值的大小 例1　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0，＋∞) 上单调递减，比较 f(－3)、f(1)、f(2) 的大小。 第一步　搬自变量：f(－3)＝f(＿＿)。 第二步　三个自变量分别是＿＿、＿＿、＿＿，它们都在区间＿＿＿＿＿上。 第三步　由单调递减，自变量越大函数值越＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 练习1　已知 f(x) 是偶函数且在 [0，＋∞) 上单调递增，则 f(－2)＿＿＿f(1)。 探究三　解抽象不等式（奇函数型） 例2　已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0 时 f(x)＝x²＋2x。若 f(3－a²)＋f(－2a)＞0，求 a 的取值范围。 第一步　判断单调性：当 x≥0 时 f(x)＝x²＋2x＝＿＿＿＿＿＿＿，对称轴 x＝＿＿＿， 　　　　所以 f(x) 在 [0，＋∞) 上单调＿＿＿；又 f(x) 为奇函数，所以 f(x) 在 R 上单调＿＿＿。 第二步　移项：由 f(3－a²)＋f(－2a)＞0 得 f(3－a²)＞－f(－2a)＝f(＿＿＿)。 第三步　脱 f：由 f(x) 在 R 上递增，得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 第四步　解不等式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （想一想：如果 f(x) 只定义在 [－5，5] 上，第三步之后还要补什么？＿＿＿＿＿＿＿＿） 探究四　解抽象不等式（偶函数型） 例3　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 [0，＋∞) 上单调递减，f(1)＝0。 （1）解不等式 f(m－1)＜f(2)。 　由 f(x)＝f(｜x｜) 及递减，f(m－1)＜f(2) ｜m－1｜＿＿＿2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　所以 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）求 xf(x)＞0 的解集。 　由 f(1)＝0 与递减：0≤x＜1 时 f(x)＿＿＿0，x＞1 时 f(x)＿＿＿0； 　由偶函数的对称性：－1＜x≤0 时 f(x)＿＿＿0，x＜－1 时 f(x)＿＿＿0。 　xf(x)＞0 要求 x 与 f(x)＿＿＿号，所以解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ★探究五　拔高（优生班课上完成，普通班选做） 已知 f(x＋1) 是定义在 R 上的偶函数，f(x) 在 [1，＋∞) 上单调递增，比较 f(－1)、f(1)、f(2) 的大小。 （1）f(x＋1) 是偶函数，说明 f(x) 的图象关于直线＿＿＿＿对称。 　（用 f(x)＝(x－1)² 验证一下：f(x＋1)＝＿＿＿，确实是偶函数，而 f 的对称轴是＿＿＿。） （2）三个自变量到对称轴的距离分别是＿＿、＿＿、＿＿。 （3）f(x) 在 [1，＋∞) 上递增，即离对称轴越远函数值越＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、当堂检测（限时 5 分钟） 1．已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时 f(x)＝x²－3x＋1，则 f(－3)＝（　　） 　A．19　　B．－19　　C．1　　D．－1 2．若 f(x) 为奇函数且在 [2，5] 上单调递增，则 f(x) 在 [－5，－2] 上单调＿＿＿＿＿。 3．已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且在 R 上单调递增。若 f(2a－1)＋f(a－2)＜0，则 a 的取值范围是＿＿＿＿＿。 4．已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时 f(x)＝x－1，求 f(x)＜0 的解集。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结（自我梳理） 1．对称区间上的单调性：奇＿＿＿偶＿＿＿。 2．比较大小两步：先＿＿＿＿＿＿，再＿＿＿＿＿＿。 3．奇函数移项：f(a)＋f(b)＞0 f(a)＞f(＿＿＿)。 4．偶函数解不等式：两边套＿＿＿＿；递减时不等号要＿＿＿＿。 5．脱 f 之后别忘了补＿＿＿＿条件并联立。 五、参考答案与解析 课前预习 1．＜、＞；2．f(x)、｜x｜；3．－f(x)、0；4．单调递增、相同；5．单调递减、相反；6．－b。 探究一 （1）上升；下降。（2）相同；相反。（3）奇同偶反。 ★（4）[a，b]；＜；＜；＜；单调递减。 　完整写法：任取 x₁，x₂[－b，－a]，且 x₁＜x₂，则 －x₁，－x₂[a，b] 且 －x₂＜－x₁。由 f(x) 在 [a，b] 上递增，得 f(－x₂)＜f(－x₁)。又 f(x) 为偶函数，f(－x₂)＝f(x₂)，f(－x₁)＝f(x₁)，所以 f(x₂)＜f(x₁)，即 f(x) 在 [－b，－a] 上单调递减。 探究二 第一步：f(－3)＝f(3)。第二步：3、1、2，都在 [0，＋∞) 上。 第三步：越小；f(3)＜f(2)＜f(1)，即 f(－3)＜f(2)＜f(1)。 练习1：f(－2)＝f(2)，2＞1 且在 [0，＋∞) 上递增，所以 f(－2)＞f(1)。 探究三 第一步：(x＋1)²－1，对称轴 x＝－1（在 [0，＋∞) 的左侧），所以在 [0，＋∞) 上单调递增；又 f(x) 为奇函数，对称区间上单调性相同，所以在 R 上单调递增。 第二步：f(2a)。（－f(－2a)＝f(2a)，这一步用的是奇函数的定义，符号不能丢。） 第三步：3－a²＞2a。 第四步：a²＋2a－3＜0，(a＋3)(a－1)＜0，解得 －3＜a＜1，即 a(－3，1)。 （补充：若 f(x) 只定义在 [－5，5] 上，还要加上 －5≤3－a²≤5 与 －5≤2a≤5，与上面的结果取交集。） 探究四 （1）＞；m－1＞2 或 m－1＜－2；所以 m＞3 或 m＜－1。 　（递减时"函数值小"对应"离原点远"，所以是 ｜m－1｜＞2，方向要反过来。） （2）＞0；＜0；＞0；＜0；同号。 　x＞0 时需 f(x)＞0，得 0＜x＜1；x＜0 时需 f(x)＜0，得 x＜－1。 　所以解集为 (－∞，－1)∪(0，1)。 ★探究五 （1）x＝1。验证：f(x＋1)＝((x＋1)－1)²＝x²，是偶函数；f(x)＝(x－1)² 的对称轴正是 x＝1。 （2）｜－1－1｜＝2，｜1－1｜＝0，｜2－1｜＝1。 （3）大；f(1)＜f(2)＜f(－1)。 （也可以用 f(－1)＝f(3)，把三个自变量都搬到 [1，＋∞) 上，再按递增排序，结果一样。） 当堂检测 1．D。f(－3)＝－f(3)＝－(3²－3×3＋1)＝－1。选 C 是漏了奇函数的负号。 2．递增。奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同。 3．a＜1。由奇函数得 f(2a－1)＜－f(a－2)＝f(2－a)；再由 R 上递增得 2a－1＜2－a，3a＜3，a＜1。 4．(－1，1)。当 x≥0 时 f(x)＝x－1＜0 得 0≤x＜1；由偶函数的对称性，x＜0 时对应 －1＜x＜0。合起来解集为 (－1，1)。 课堂小结 1．同、反；2．搬自变量、按单调性排序；3．－b；4．绝对值、反向；5．定义域。 易错提醒 1．奇函数求值漏负号：f(－3)＝－f(3)，不是 f(3)。 2．移项忘变号：f(a)＋f(b)＞0 化成 f(a)＞f(－b)，不是 f(a)＞f(b)。 3．脱 f 不写依据。解答题里"由 f(x) 在……上单调递增"这一句是得分点。 4．脱 f 后忘补定义域。定义域不是 R 时，两个自变量的范围都要列出来联立。 5．偶函数递减时套绝对值不反向。 6．f(x＋a) 型的对称轴是 x＝a，不是 x＝－a。 学科网（北京）股份有限公司 $