3.2 函数的基本性质（第四课时 奇偶性与单调性的综合应用）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2　函数的基本性质

第四课时　奇偶性与单调性的综合应用　·　学案

班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿

一、课前预习（复习前三个课时，完成填空）

1．若 f(x) 在区间 I 上单调递增，x₁，x₂I，则 x₁＜x₂ f(x₁)＿＿＿f(x₂)；若单调递减，则 x₁＜x₂ f(x₁)＿＿＿f(x₂)。

2．偶函数满足 f(－x)＝＿＿＿＿，由此还可以写成 f(x)＝f(＿＿＿)。

3．奇函数满足 f(－x)＝＿＿＿＿；若 f(x) 在 R 上是奇函数，则 f(0)＝＿＿＿。

4．若 f(x) 为奇函数且在区间 [a，b]（a＜b）上单调递增，则 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿，即在对称区间上单调性＿＿＿＿。

5．若 f(x) 为偶函数且在 [a，b] 上单调递增，则 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿，即在对称区间上单调性＿＿＿＿。

6．若 f(x) 为奇函数，则 f(a)＋f(b)＞0 f(a)＞－f(b)＝f(＿＿＿)。

二、课堂探究

探究一　对称区间上的单调性

（1）在草稿纸上画一条位于 x 轴右侧、从左到右上升的线段。

　把它绕原点旋转 180°，新画出的那段是＿＿＿（上升／下降）的；

　把它沿 y 轴翻折，新画出的那段是＿＿＿（上升／下降）的。

（2）所以：奇函数在对称区间上单调性＿＿＿＿，偶函数在对称区间上单调性＿＿＿＿。

（3）四个字口诀：＿＿＿＿＿＿＿＿。

★（4）用定义推一遍：设 f(x) 为偶函数，在 [a，b] 上递增。任取 x₁，x₂[－b，－a]，且 x₁＜x₂，

　则 －x₁，－x₂＿＿＿＿，且 －x₂＿＿＿－x₁，由递增得 f(－x₂)＿＿＿f(－x₁)；

　又 f(x) 为偶函数，所以 f(x₂)＿＿＿f(x₁)，即 f(x) 在 [－b，－a] 上＿＿＿＿。

探究二　比较函数值的大小

例1　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0，＋∞) 上单调递减，比较 f(－

3)、f(1)、f(2) 的大小。

第一步　搬自变量：f(－3)＝f(＿＿)。

第二步　三个自变量分别是＿＿、＿＿、＿＿，它们都在区间＿＿＿＿＿上。

第三步　由单调递减，自变量越大函数值越＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

练习1　已知 f(x) 是偶函数且在 [0，＋∞) 上单调递增，则 f(－2)＿＿＿f(1)。

探究三　解抽象不等式（奇函数型）

例2　已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x≥0 时 f(x)＝x²＋2x。若 f(3－a²)＋f(－2a)＞0，求 a 的取值范围。

第一步　判断单调性：当 x≥0 时 f(x)＝x²＋2x＝＿＿＿＿＿＿＿，对称轴 x＝＿＿＿，

　　　　所以 f(x) 在 [0，＋∞) 上单调＿＿＿；又 f(x) 为奇函数，所以 f(x) 在 R 上单调＿＿＿。

第二步　移项：由 f(3－a²)＋f(－2a)＞0 得 f(3－a²)＞－f(－2a)＝f(＿＿＿)。

第三步　脱 f：由 f(x) 在 R 上递增，得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

第四步　解不等式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（想一想：如果 f(x) 只定义在 [－5，5] 上，第三步之后还要补什么？＿＿＿＿＿＿＿＿）

探究四　解抽象不等式（偶函数型）

例3　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 [0，＋∞) 上单调递减，f(1)＝0。

（1）解不等式 f(m－1)＜f(2)。

　由 f(x)＝f(｜x｜) 及递减，f(m－1)＜f(2) ｜m－1｜＿＿＿2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　所以 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）求 xf(x)＞0 的解集。

　由 f(1)＝0 与递减：0≤x＜1 时 f(x)＿＿＿0，x＞1 时 f(x)＿＿＿0；

　由偶函数的对称性：－1＜x≤0 时 f(x)＿＿＿0，x＜－1 时 f(x)＿＿＿0。

　xf(x)＞0 要求 x 与 f(x)＿＿＿号，所以解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。