精品解析：广西壮族自治区南宁市第四十七中学2026年秋季学期九年级数学学科开学评估试题 数学

2026年秋季学期九年级数学学科开学评估试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线中，变量不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 85 C. 87 D. 84 9. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3 11. 如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（ ） A. 该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B. 该地区5月的最大值高于6月的最大值 C. 该地区5月变化比6月变化小 D. 该地区6月的空气质量好于5月 12. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 厘米 D. 5厘米 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 14. 五边形的外角和是__________°． 15. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 16. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位教 众数 方差 七年级 92 b c 33.8 八年级 92 93 100 48.6 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ． （2）这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由． （3）该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上动点，且，连接AE、CF． （1）试判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）连接AC，若，，E为BC中点，试求四边形AECF的面积． 21. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米． 方案实施： 如图3，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系． （1）①直接写出、两点的坐标．②求直线的函数表达式． （2）为了加固车棚，如图4，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期九年级数学学科开学评估试题 数 学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，不能构成直角三角形，A选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，B选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，C选项不符合题意． ，能构成直角三角形，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、无法再化简，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 3. 下列方程中，一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 4. 下列各曲线中，变量不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于自变量的每一个取值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从图像上看，就是作垂直于轴的直线，若直线与曲线最多只有一个交点，则是函数；若有两个或两个以上交点，则不是函数，据此分析即可． 【详解】解：A、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； B、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； C、对于每一个，都有唯一的值对应，是函数，不符合题意； D、当时，对于每一个，都有两个值对应，不是函数，符合题意． 5. 如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点D，E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，和不是同类二次根式，不能合并， ∴A错误； 选项B，， ∴B错误； 选项C，，计算正确， ∴C正确； 选项D，和不是同类二次根式，不能合并，， ∴D错误． 7. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹判断与的位置关系及点性质． 【详解】解：A、作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B、作的是，是的高，符合题意； C、是的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D、作的是，不是的高，不符合题意． 8. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 85 C. 87 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数为各项目数据与权重的积的和列式计算即可． 【详解】解：∵演讲内容得分80分，占比，演讲能力得分90分，占比． ∴综合成绩分，即A选项符合题意． 9. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 10. 如果，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 11. 如图为某地区5月和6月的空气质量指数（）箱线图．值越小，空气质量越好，则（ ） A. 该地区5月的上四分位数高于6月的上四分位数 B. 该地区5月的最大值高于6月的最大值 C. 该地区5月变化比6月变化小 D. 该地区6月的空气质量好于5月 【答案】C 【解析】 【分析】读取箱线图中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，对比两个月的相关数据进行判断． 【详解】解：A、5月上四分位数小于6月上四分位数，故A错误； B、5月最大值小于6月最大值，故B错误； C、5月极差为，6月极差为， 且5月四分位距小于6月四分位距， ∴说明5月变化比6月小，故C正确； D、∵值越小空气质量越好，5月的中位数与6月相同，但5月的上四分位数及最大值均小于6月， ∴5月空气质量整体好于6月，故D错误． 12. 如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 厘米 D. 5厘米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将圆柱展开，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ∴， ∴， ∴最短路程为13厘米， 故选：A． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 14. 五边形的外角和是__________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，即可求解. 【详解】解：由任意多边形的外角和性质可知，五边形的外角和是. 15. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵点为的中点，， ∴． 16. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形及折叠的性质得到，从而得出，再设，在中运用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵沿对折至， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】正方形折叠题型，常用思路：折叠得全等，再利用证直角三角形全等，最后勾股定理列方程． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， 则或， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位教 众数 方差 七年级 92 b c 33.8 八年级 92 93 100 48.6 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ． （2）这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由． （3）该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1） （2） 解：依题意， ∴方差越小的成绩越稳定， 则七年级学生的成绩更稳定； （3）350人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级学生成绩落在组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得的值，然后根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中成绩优秀的八年级学生人数对应的百分比即可． 本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：依题意， ∴ 则； 先把七年级10名学生的成绩进行从小到大排序： 84，84，86，89，90，96，96，96，99，100， 则 即； 出现次数最多的是 即 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是350人． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上动点，且，连接AE、CF． （1）试判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）连接AC，若，，E为BC中点，试求四边形AECF的面积． 【答案】（1）平行四边形， 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）48 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得，，再由可得AF与EC平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形； （2）证明四边形AECF是矩形，由矩形的面积可得出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵AB= AC，E为BC的中点， ∴， ∴， 由（1）知四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AECF是矩形， ∵BC=12， ∴EC= 6， ∴， ∴四边形AECF的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键． 21. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种布料25件，乙种布料55件 （2）第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【解析】 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． 【小问2详解】 解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得： 解得： ∴的取值范围为 （且为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 22. 综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米． 方案实施： 如图3，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系． （1）①直接写出、两点的坐标．②求直线的函数表达式． （2）为了加固车棚，如图4，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 【答案】（1）①，；② （2）①；②支撑杆的长度为米 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质和等腰三角形三线合一性质求解； ②求出，然后利用待定系数法即可得到直线的函数表达式； （2）①根据等腰三角形，矩形和正方形的对称性求解； ②设与x轴交于点F，首先表示出米，得到点M的坐标，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴米，米，， ∵，等腰三角形，即， ∴米， ∴，，，； ②∵最高点到的距离为米， ∴米， ∴， 设直线的函数表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①∵y轴垂直平分，四边形是矩形，四边形是正方形， ∴由轴对称性质可得，点M和点P关于y轴对称， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为； ②如图，设与x轴交于点F， ∵点的横坐标为， ∴， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，和共线， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴（米）， ∴点M的坐标为， ∵直线的函数表达式为，点M在直线上， ∴， ∴， ∴（米）， 答：支撑杆的长度为米． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①， ② （2）三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）略 （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $