精品解析：广西南宁市第三十五中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

2025-2026学年广西南宁三十五中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 现实世界中、对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 国 B. 家 C. 昌 D. 盛 3. 关于x的函数是二次函数的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. 3 C. 1 D. 9. 关于二次函数 ，以下说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 有最小值 D. 与y轴交点为 10. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 抛物线的顶点坐标是_______． 14. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 15. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 16. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： _______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，，点在边上，且． （1）求的度数； （2）尺规作图：作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）在（2）的条件下，求证：． 20. 已知二次函数解析式：，完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数图形并回答问题： （1）完成填表并画出函数图像： 0 1 2 （2）把二次函数先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为_____________． 21. 如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形，相交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？ 24. 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广西南宁三十五中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 2. 现实世界中、对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 国 B. 家 C. 昌 D. 盛 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴来逐项进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C．选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 故选：C． 3. 关于x的函数是二次函数的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 4. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 5. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 6. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线的解析式是． 故选：A． 7. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 求出，根据根的判别式即可作出判断． 【详解】解：， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入整理后的代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 9. 关于二次函数 ，以下说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 有最小值 D. 与y轴交点为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，， ∴抛物线与y轴交点为； 故只有选项B错误； 故选B． 10. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， 、、三点都在对称轴的右侧，且， ． 故选：B． 11. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 12. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 16. 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：； ； ； 根据以上信息，完成下面计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算． 【详解】解： 故答案为． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了实数的混合运算．先根据绝对值的性质，算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 这里，，， ∴， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， ， 解得：，． 19. 如图，在中，，，点在边上，且． （1）求的度数； （2）尺规作图：作的平分线，交 于点 ，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）在（2）的条件下，求证：． 【答案】（1）； （2）如图所示，射线 、线段为所求； （3）证明：由（2）可知 平分， ， 在和中 ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和尺规作图，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （3）由角平分线的定义得到，证明得到，，再证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知二次函数解析式：，完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数图形并回答问题： （1）完成填表并画出函数图像： 0 1 2 （2）把二次函数先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为_____________． 【答案】（1）5，0，，，；图象见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将横坐标代入解析式求得纵坐标，再在坐标系中描点，再连线即可作图； （2）根据“左加右减，上加下减”求解即可． 【小问1详解】 解：， 填表如下： 0 1 2 5 0 图象如图： 【小问2详解】 解：先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为：，即， 故答案为：． 21. 如图，在中，，D为 的中点，四边形是平行四边形，相交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，三线合一定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三线合一定理得到；再由平行四边形对边平行且相等可推出，据此可证明结论； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，，D为 的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件商品的销售价应定为30元 （3）售价定38元/件时，每天最大利润为768元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法即可求解； （2）根据等量关系得，解方程即可求解； （3）根据题意得，进而可得抛物线的对称轴为，且开口向下，则当时，y随x的增大而增大，当时，w有最大值，代入函数即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：或（舍去）， 答：每件商品的销售价应定为30元； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元． 23. 图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方处的A点发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求图2中抛物线的表达式． （2）记图2中的落球点为点E，则的长为多少？ （3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则的长为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）由，即可求解. 【小问1详解】 解：建立如图2、3所示的直角坐标系， 则点A、M的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得：（舍去）或， 即； 【小问3详解】 解：设点， 由（2）知点， 设抛物线的表达式为：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即长为. 24. 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点， 为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转得，即可求解； （2）同理将绕B点逆时针旋转得到，当C、P、、四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵B、P、、四点在同一直线上， ∴， ， 由旋转得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，由【问题解决】同理将绕B点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得是等边三角形，则，， ∴, ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， 在中 ， 故最小值为； 【小问3详解】 解：如图，将绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E， ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴， 设正方形的边长为，则有， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 故正方形的边长为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $