第二章 几何图形的初步认识（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 本卷为七年级上册第二章几何图形初步单元能力提升卷，整合河北等地模拟题与期末真题，覆盖角、线段、图形旋转等核心知识点，通过生活情境与动态探究提升几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|角的度量、三角板互余、对顶角性质|结合簸箕旋转（题8）等生活情境，改编河北模拟题| |填空题|4/12|角平分线计算、量角器旋转、新定义“分余线”|动态几何（题15）与新定义（题16）考查创新思维| |解答题|8/72|线段中点探究、三角尺旋转综合、“多补角”定义|分层设问（题24），融合主题学习与推理表达，体现数学思维|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 几何图形的初步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A B C A C B C B B D D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．/39度 16． 或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等；··················4分 （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ．··················7分 18．（8分） 【答案】(1) 如图，射线、直线、线段即为所求； (2) 【分析】本题考查了基本作图，线段的和差． （1）按要求作出射线、直线、线段即可； （2）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）略··················3分 （2）解：因为点E是中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 又因为， 所以．··················8分 19．（8分） 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是9 (2) 【分析】本题主要考查了数轴的定义、线段的和差倍分、线段中点的定义等知识点，掌握理解各定义与运算法则是解题关键． （1）先求出和的长度，再根据数轴的定义求解即可； （2）先根据线段的中点求出和的长度，再根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，解得：，即， ∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴点A表示的数是，点B表示的数是9．··················2分 （2）解：∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴．··················8分 20．（8分） 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由“折中点”的定义判断即可． （2）根据题意可得，当点在上和点在上两种情况分别进行分析即可． 【详解】（1）解：∵是折线的“折中点”，且， ∴点在线段上． 故答案为：．··················2分 （2）解：为线段的中点，，     ， 当点在上时，如图所示： ， ， ； 当点在上时，如图所示： ， ， ； 综上分析可知：的长度为或．··················8分 21．（9分） 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：．··················2分 （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴．··················6分 （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒．··················9分 22．（9分） 【答案】(1) (2) (3) ①，理由如下： ， ． ， ． ②或 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）①，根据，，可得，即可求解； ②根据题意可得，设，则，，分射线在的内部，射线在的外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． 平分， ． ．··················2分 （2）解：当时，， ， ． ． ， ． 平分， ． ．··················4分 （3）解：①略··················7分 ②，， ． ． 设，则， ． 当射线在的内部时， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ，解得． ． 综上所述，的度数为或．··················9分 23．（11分） 【答案】(1)，不是 (2)的度数为或 (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出的度数，再由“多补角”的定义判断即可得出结果； （2）设，由角平分线的定义可得，，表示出，分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可得出结果； （3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，且， ∴和不是一对“多补角”；··················4分 （2）解：设， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时，符合题意； 当时，， 解得：，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或；··················7分 （3）解： 当在内部时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 当在外部时，设，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，的度数为或或或．··················11分 24．（12分） 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，；··················4分 （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴；··················8分 （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：.··················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 几何图形初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）将一副三角板按下列位置摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果两个角的和为，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与一定互余； B、，与不互余； C、，与不互余； D、，与不互余． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【答案】B 【分析】根据已知与互补，与互补，结合补角定义，判断与、与分别互为补角(和是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、等角的补角相等、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为”，本题是通过两个角与的和为推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； C、等角的补角相等是“若两个角均为相等角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，属于同角，不属于等角，此选项不符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，水平放置的长方体容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．在液面上方，光线与竖直方向的夹角，折射后的光线与竖线的夹角，则折射前与折射后的光线形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角的定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上，是的平分线，则与的数量关系一定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、余角和补角的计算，利用角的和差关系与角平分线的定义，建立与的数量关系． 【详解】解：设， ， ； 平分， ； ， ； 故选：A． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤，关键是辨别尺规作图步骤中的相等线段． 【详解】解：A选项：第一步里的是画弧的半径，只要能和、相交就行，不需要特定长度，所以A错误． B选项：第二步里的要和第一步的长度相等，这样才能保证和一样长，所以B错误． C选项：第三步里的需要和第一步中的长度相等，这样画出来的弧才能让，从而保证两个角的开口大小一致，所以C正确． D选项：是和相等，不是和相等，所以D错误． 故选：C． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点为圆心，长为半径画弧，弧与线段相交于点，则线段的长为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的和差，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，，找出旋转角即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，， ∴旋转角为． 故选：C． 9．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，结合线段之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，为的中点， ∴， ∴，故②错误； ∴；故①正确； ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 10．（25-26八年级上·河北张家口·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化与正方形的性质．由正方形有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形要绕五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图形． 【详解】解：∵正方形有4条边，分别记作：1号，2号，3号，4号边，且当1号边与五边形重合时，出现“苹果”的图形， ∵当滚动一周后，是2号边与五边形的边重合，当滚动二周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动三周后，是3号边与五边形的边重合，当滚动四周后，又是1号边与五边形的边重合， ∴要使第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕五边形转4圈． 故选：B． 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 12．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图1，把放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线、分别对准刻度和，将射线绕点O逆时针旋转得到射线．嘉嘉在图1的基础上，在内部任意做一条射线，并分别做出了和的平分线和，如图2，发现的度数与在内部的位置无关，则的度数为________． 【答案】/39度 【分析】本题考查角的计算，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：因为射线、分别对准刻度和， 所以， 又将射线绕点P逆时针旋转得到射线， ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等；··················4分 （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ．··················7分 18．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，点C是线段外任意一点，点E是中点． (1)在图中画出射线和直线；延长线段到点D，使； (2)求线段的长． 【答案】(1) 如图，射线、直线、线段即为所求； (2) 【分析】本题考查了基本作图，线段的和差． （1）按要求作出射线、直线、线段即可； （2）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）略··················3分 （2）解：因为点E是中点， 所以， 因为， 所以， 因为， 又因为， 所以．··················8分 19．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点A、B是数轴上两点，原点O位于A、B两点之间，且有，． (1)求出A、B两点对应的有理数分别为多少？ (2)若点M、N分别是、的中点，求线段的长． 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是9 (2) 【分析】本题主要考查了数轴的定义、线段的和差倍分、线段中点的定义等知识点，掌握理解各定义与运算法则是解题关键． （1）先求出和的长度，再根据数轴的定义求解即可； （2）先根据线段的中点求出和的长度，再根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，解得：，即， ∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴点A表示的数是，点B表示的数是9．··················2分 （2）解：∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴．··················8分 20．（8分）（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由“折中点”的定义判断即可． （2）根据题意可得，当点在上和点在上两种情况分别进行分析即可． 【详解】（1）解：∵是折线的“折中点”，且， ∴点在线段上． 故答案为：．··················2分 （2）解：为线段的中点，，     ， 当点在上时，如图所示： ， ， ； 当点在上时，如图所示： ， ， ； 综上分析可知：的长度为或．··················8分 21．（9分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：．··················2分 （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴．··················6分 （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒．··················9分 22．（9分）（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) ①，理由如下： ， ． ， ． ②或 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）①，根据，，可得，即可求解； ②根据题意可得，设，则，，分射线在的内部，射线在的外部，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． 平分， ． ．··················2分 （2）解：当时，， ， ． ． ， ． 平分， ． ．··················4分 （3）解：①略··················7分 ②，， ． ． 设，则， ． 当射线在的内部时， ，解得． ． 如图，当射线在的外部时， ，解得． ． 综上所述，的度数为或．··················9分 23．（11分）（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 【答案】(1)，不是 (2)的度数为或 (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出的度数，再由“多补角”的定义判断即可得出结果； （2）设，由角平分线的定义可得，，表示出，分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可得出结果； （3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，且， ∴和不是一对“多补角”；··················4分 （2）解：设， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时，符合题意； 当时，， 解得：，此时，符合题意； 综上所述，的度数为或；··················7分 （3）解： 当在内部时，设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 当在外部时，设，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵和是一对“多补角”， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，的度数为或或或．··················11分 24．（12分）（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，；··················4分 （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴；··················8分 （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：.··················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 几何图形初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）将一副三角板按下列位置摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 4．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，水平放置的长方体容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．在液面上方，光线与竖直方向的夹角，折射后的光线与竖线的夹角，则折射前与折射后的光线形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上，是的平分线，则与的数量关系一定是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点为圆心，长为半径画弧，弧与线段相交于点，则线段的长为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 10．（25-26八年级上·河北张家口·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为______． 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图1，把放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线、分别对准刻度和，将射线绕点O逆时针旋转得到射线．嘉嘉在图1的基础上，在内部任意做一条射线，并分别做出了和的平分线和，如图2，发现的度数与在内部的位置无关，则的度数为________． 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 18．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，点C是线段外任意一点，点E是中点． (1)在图中画出射线和直线；延长线段到点D，使； (2)求线段的长． 19．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点A、B是数轴上两点，原点O位于A、B两点之间，且有，． (1)求出A、B两点对应的有理数分别为多少？ (2)若点M、N分别是、的中点，求线段的长． 20．（8分）（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 21．（9分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 22．（9分）（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 23．（11分）（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 24．（12分）（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 几何图形初步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）将一副三角板按下列位置摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 4．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，水平放置的长方体容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．在液面上方，光线与竖直方向的夹角，折射后的光线与竖线的夹角，则折射前与折射后的光线形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上，是的平分线，则与的数量关系一定是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，画射线，在射线上依次截取，再以点为圆心，长为半径画弧，弧与线段相交于点，则线段的长为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②④ 10．（25-26八年级上·河北张家口·期中）一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方，有一个完整的“苹果”图案（如图）．如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边相接，那么第一次恢复“苹果”的图形时，正方形要绕正五边形滚动的圈数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·河北衡水·期中）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 14．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为______． 15．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图1，把放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线、分别对准刻度和，将射线绕点O逆时针旋转得到射线．嘉嘉在图1的基础上，在内部任意做一条射线，并分别做出了和的平分线和，如图2，发现的度数与在内部的位置无关，则的度数为________． 16．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则_____； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 18．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段，点C是线段外任意一点，点E是中点． (1)在图中画出射线和直线；延长线段到点D，使； (2)求线段的长． 19．（8分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点A、B是数轴上两点，原点O位于A、B两点之间，且有，． (1)求出A、B两点对应的有理数分别为多少？ (2)若点M、N分别是、的中点，求线段的长． 20．（8分）（25-26七年级上·河北邢台·期中）一个点在有公共端点的两条线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”． 请解答以下问题： (1)如图所示，当时，点在线段 上； (2)若为线段的中点，，求的长度． 21．（9分）（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 22．（9分）（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图1、图2和图3，，是内部的一条射线，且． (1)如图1，当时，平分，求的度数； (2)如图2，当时，是内的一条射线，满足．若平分，求的度数； (3)已知是内部的一条射线，射线在射线和射线的左侧，且． ①如图3，当射线在的内部时，判断和之间的数量关系，并说明理由； ②已知．当时，直接写出的度数． 23．（11分）（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）已知平分，平分，且、．如果与互补或与互补，则称、是一对“多补角”． (1)如图1，当在内部，若，，则________，和________一对“多补角”（填“是”或“不是”）． (2)若和是一对“多补角”，，是锐角，求的度数． (3)如图2，若，和是一对“多补角”，直接写出的度数． 24．（12分）（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $