第11章 简单几何体（单元分层自测·基础通关卷）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 本卷为高二数学第11章简单几何体单元自测卷，以基础通关为目标，通过饮料杯剩余高度比较、啤酒瓶容积计算等生活情境及折叠形成三棱锥、平面截正方体等空间问题，考查体积表面积计算与空间想象能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|圆柱体积、正四棱台高、圆锥高、球表面积等|第6题结合生活情境比较剩余饮料高度，第12题折叠问题考查空间想象| |选择题|4题/18分|正四棱柱与长方体关系、圆台表面积计算|第13题辨析几何体集合关系，强化概念理解| |解答题|5题/78分|四棱台与棱柱组合体体积（17题）、圆台体积与圆锥表面积（18题）|17题结合金属容器制作考查实际应用，20题圆锥与圆台内切球综合应用提升能力|

2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、3 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、或 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B B D D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）有体积公式得， 1分 又 3分 所以 5分 所以容器的体积． 6分 （2）由题意知， 8分 又四棱台的侧面梯形的高为， 10分 所以． 又 所以金属容器的表面积为． 13分 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）圆锥的轴截面示意图如下图所示： 2分 因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径， 因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径， 4分 所以，所以圆台的高； 故圆台的体积为 6分 （2） 设圆锥的母线长为，圆台的母线长为， （3） 由上图可知：，所以， 9分 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 12分 所以圆锥的表面积为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1) 由已知，又平面，平面， 所以面. 2分 又平面平面，平面， 所以. 4分 又平面，平面， 所以面. 6分 （2）因为，，， 所以，因此为中点， 所以为梯形中位线，因此， 则， 8分 又平面与平面的距离为1， 所以到面的距离为2， 过作，分别交于，交于， 则平面平面， 10分 多面体被分成三棱柱和四棱锥， 由（1）知，则四边形为平行四边形， 所以，所以，因此， ， 12分 点到面的距离与点到面的距离之比为3， 因此，因为， 所以， 所以， 所以，由于是的中点， 所以， 又， 所以该六面体的体积为. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．） 【详解】（1）设底面圆心为O，半径为， 在中，，由，则， 则由正弦定理有，即， 2分 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以， 所以圆锥的高 ． 4分 （2）由，是定值，则当是等腰三角形，边上的高最大，此时的面积最大， 所以作弦的垂线，垂足为，且为弦的中点，该垂线过圆心， 6分 则， 则底面面积的最大值为， 8分 所以三棱锥的最大值为． 10分 （3）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为， 结合（1），由图根据三角形相似，得，解得， 13分 则，解得，所以圆台的高为 15分 所以圆台的体积为 ． 18分 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．） 【详解】（1）连接， 由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面，又平面， 所以， 2分 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； 4分 (2) 当时，， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 6分 在长方体中，平面，又平面， 所以，因为平面， 所以平面， 8分 又平面， 所以， 同理，又平面， 所以直线平面； 10分 （3）设与平面的斜足为， 因为， 所以， 13分 所以，则，故， 15分 所以在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即． 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为____________． 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，体积为，则该正四棱台的高为_____． 3．已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 4．若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 5．已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 6．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是______. 7．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 8．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为_____.（瓶底的厚度不计） 第8题 第9题 9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的体积为______． 10．某建筑零件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该零件的体积为______.      11．在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为______． 第11题 第12题 12．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（     ） A． B． C． D． 14．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 16．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的体积；(2)圆台所在圆锥的表面积； 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在六面体中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于，两点. (1)证明：平面； (2)若，，，，平面与平面的距离为1，求六面体的体积. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．） 20．如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，圆锥底面半径为，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积． 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．） 如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为____________． 【答案】 【详解】由圆柱底面圆周长为，得该圆柱底面圆半径为1， 由圆柱的侧面展开图的矩形面积为，得母线长， 所以该圆柱的体积为. 故答案为： 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，体积为，则该正四棱台的高为_____． 【答案】 【详解】设正四棱台的高为，则其体积，解得． 3．已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 【答案】 【详解】设圆锥母线长，半径为，高为， 因为侧面展开图是半径为的半圆，半圆的弧长等于圆锥底面圆周长， 所以，即，得， 所以. 4．若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 【答案】 【详解】设球的半径为， 则，解得, 所以球的表面积. 5．已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 【答案】 【详解】由正四棱锥的性质可知，顶点在底面的投影为底面中心，故平面，因此， 底面为正方形，其面积为3，设正方形边长为， 则，正方形对角线， 因O为底面正方形ABCD的中心，故O为的中点， 因此为等腰三角形，底边上的高为， 由三角形面积公式得：. 6．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是______. 【答案】 【详解】圆锥、圆柱是圆台的特例，它们上底面积、高相同， 所以各自饮杯中饮料一半后，所剩饮料最大，最小（为原来的一半），介于之间， 所以. 故答案为： 7．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 【答案】 【详解】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. 8．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为_____.（瓶底的厚度不计） 【答案】 【详解】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积不变， 瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积， 用右图上部分规则的空气体积来代替． 设瓶的底面积为，则，，， 所以. 故答案为： 9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的体积为______． 【答案】 【详解】作出圆台的示意图如图所示： 两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9， 则，解得，同理求得， 又圆台母线长，所以圆台的高， 所以该圆台的体积为. 10．某建筑零件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该零件的体积为______.      【答案】 【详解】由五面体可知，四边形与四边形都为平面四边形. 如图所示，分别取，的中点，连接.    因为面为正方形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 又平面平面，平面， 所以. 因为分别为，的中点，，， 所以. 则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形. 则，平面，平面， 所以平面. 同理平面，又， 且平面，平面， 所以平面平面. 又四边形也是平行四边形，所以几何体为三棱柱. 已知与面的距离为，即点到平面的距离. 由题意，. 因为为，的中点，四边形为正方形， 所以. 所以； 所以该五面体的体积． 11．在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为______． 【答案】或 【详解】如图，连接并延长至与交于，连接，，， 由平面平面及平面与这两个平面分别交于，， 则，同理，可得，所以多边形为平行四边形， 过点作，垂足为，易得，则， 所以，则，， 设几何体的体积为， 则， 余下另一部分的体积， 则. 所以将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为或. 12．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 【答案】 【详解】由题意可知，折叠前， 折叠后、、三点重合于点， 所以，，， 即、、两两互相垂直， 由正方形边长为，、分别为中点，可得： ，，， 三棱锥的体积为： ， 在中，，，， 所以为等腰三角形，底边上的高， 所以，又 ， ， ， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可知， 即，解得， 所以内切球的体积为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】底面是正方形的直棱柱是正四棱柱，底面是长方形的直棱柱是长方体， 底面是四边形的直棱柱是直四棱柱，底面是正方形的直棱柱，且侧面也是正方形的是正方体， 所以 . 14．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作出符合题意的图形，作， 由题意得， 则在直角三角形中，有，，解得，即圆台的母线长. 可得圆台的表面积. 15．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且， 由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为， 则，解得， 故答案为：D. 16．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形， 得该三角形面积为，解得，圆锥的母线， 所以该圆锥的侧面积为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 【详解】（1）有体积公式得， 1分 又 3分 所以 5分 所以容器的体积． 6分 （2）由题意知， 8分 又四棱台的侧面梯形的高为， 10分 所以． 又 所以金属容器的表面积为． 13分 又金属容器的费用为80元/平方米， 所以制作一个这样的金属容器需要元． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的体积； (2)圆台所在圆锥的表面积； 【详解】（1）圆锥的轴截面示意图如下图所示： 2分 因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径， 因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径， 4分 所以，所以圆台的高； 故圆台的体积为 6分 （2） 设圆锥的母线长为，圆台的母线长为， （3） 由上图可知：，所以， 9分 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 12分 所以圆锥的表面积为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在六面体中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于，两点. (1)证明：平面； (2)若，，，，平面与平面的距离为1，求六面体的体积. 【详解】(1) 由已知，又平面，平面， 所以面. 2分 又平面平面，平面， 所以. 4分 又平面，平面， 所以面. 6分 （2）因为，，， 所以，因此为中点， 所以为梯形中位线，因此， 则， 8分 又平面与平面的距离为1， 所以到面的距离为2， 过作，分别交于，交于， 则平面平面， 10分 多面体被分成三棱柱和四棱锥， 由（1）知，则四边形为平行四边形， 所以，所以，因此， ， 12分 点到面的距离与点到面的距离之比为3， 因此，因为， 所以， 所以， 所以，由于是的中点， 所以， 又， 所以该六面体的体积为. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．） 20．如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，圆锥底面半径为，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积． 【详解】（1）设底面圆心为O，半径为， 在中，，由，则， 则由正弦定理有，即， 2分 又圆锥的侧面展开图是半圆，所以，所以， 所以圆锥的高 ． 4分 （2）由，是定值，则当是等腰三角形，边上的高最大，此时的面积最大， 所以作弦的垂线，垂足为，且为弦的中点，该垂线过圆心， 6分 则， 则底面面积的最大值为， 8分 所以三棱锥的最大值为． 10分 （3）设圆台的上底面半径为，内切球的半径为， 结合（1），由图根据三角形相似，得，解得， 13分 则，解得，所以圆台的高为 15分 所以圆台的体积为 ． 18分 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．） 如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【详解】（1）连接， 由四边形为正方形，可得， 在长方体中，平面，又平面， 所以， 2分 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 即异面直线与所成的角的大小为； 4分 (2) 当时，， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 6分 在长方体中，平面，又平面， 所以，因为平面， 所以平面， 8分 又平面， 所以， 同理，又平面， 所以直线平面； 10分 （3）设与平面的斜足为， 因为， 所以， 13分 所以，则，故， 15分 所以在线段上取一点，要使三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即． 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为____________． 2．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，体积为，则该正四棱台的高为_____． 3．已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 4．若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 5．已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 6．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是______. 7．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 8．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为_____.（瓶底的厚度不计） 第8题 第9题 9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的体积为______． 10．某建筑零件可视为一个五面体，其中面为正方形．若，，且与面的距离为，则该零件的体积为______.      11．在棱长为的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，平面截该正方体所得到的多边形为，且交于，将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为______． 第11题 第12题 12．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的内切球的体积是_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设集合正四棱柱，长方体，直四棱柱，正方体，则这四个集合之间的关系是（     ） A． B． C． D． 14．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 16．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：） (1)求金属容器的体积； (2)若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？ 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的体积；(2)圆台所在圆锥的表面积； 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在六面体中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于，两点. (1)证明：平面； (2)若，，，，平面与平面的距离为1，求六面体的体积. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．） 20．如图，是圆锥底面圆的内接三角形，，，圆锥底面半径为，PA为圆锥的母线，且圆锥的侧面展开图是一个半圆． (1)求圆锥的高； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)用平行于底面的平面截去圆锥的上半部分，截得圆台的上底面半径为，若剩下的圆台有内切球，求圆台的体积． 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．） 如图，长方体中，，，点是棱的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)当实数，证明：直线与平面垂直； (3)若．设是线段上的一点（不含端点），满足，求的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $