第11章 简单几何体（单元分层自测·能力提升卷）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 高二数学第11章简单几何体单元卷，聚焦表面积、体积等核心知识，通过基础计算与综合应用梯度设计，培养空间观念与运算能力，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|球表面积、三棱柱体积、圆锥侧底面积比|如第4题圆柱容球水面升高，体现应用意识| |选择题|4/18|旋转体体积、三棱柱侧面积、降雨量计算|如第16题圆台铁桶测降雨量，结合生活情境| |解答题|5/78|三棱柱体积、圆锥与圆柱综合、四棱锥面面垂直|如18题圆锥挖圆柱求最值，考查空间想象与推理能力|

2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 2．已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 3．已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 4．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 5．四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 6．四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________. 7．如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 8．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 9．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 10．如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 11．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______________． 12．在体积为1的三棱锥侧棱，，上分别取点，，，使，记为三平面，，的交点，则三棱锥的体积等于______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 14．三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 15．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（     ） A． B． C． D． 16．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 0.1~9.9 10~24.9 25~49.9 50~99.9 100~249.9 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台形铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24h的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：直线与没有交点； (2)若三棱柱的体积为24，求四棱锥的体积． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. (1)若，求剩下几何体的表面积； (2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且． (1)若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四面体中，，P为OA的中点，Q为BC的中点． (1)证明：． (2)设二面角的大小为，四面体的体积为V． （i）若，求V的值； （ii）当V最大时，求异面直线PQ与OB所成角的余弦值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 2．已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 3．已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 4．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 5．四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 6．四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________. 7．如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 8．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 9．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 10．如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 11．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______________． 12．在体积为1的三棱锥侧棱，，上分别取点，，，使，记为三平面，，的交点，则三棱锥的体积等于______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 14．三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 15．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（     ） A． B． C． D． 16．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 0.1~9.9 10~24.9 25~49.9 50~99.9 100~249.9 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台形铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24h的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：直线与没有交点； (2)若三棱柱的体积为24，求四棱锥的体积． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. (1)若，求剩下几何体的表面积； (2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且． (1)若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四面体中，，P为OA的中点，Q为BC的中点． (1)证明：． (2)设二面角的大小为，四面体的体积为V． （i）若，求V的值； （ii）当V最大时，求异面直线PQ与OB所成角的余弦值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、4 3、 4、 5、/ 6、 7、/ 8、 9、 10、 11、/ 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B A C D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)证明：连接， 由图可知，平面与平面相交于直线， 且平面，， 平面， 3分 平面，且点不在直线上， 直线与直线没有交点． 6分 （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 9分 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得， 2分 则圆锥的高， 若，则，， 4分 所以剩下几何体的表面积为. 6分 （2）因为，即，则，， 9分 可得圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 12分 所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】(1)因为，设，，， 因为为正方形，则圆柱的底面半径， 则圆柱的侧面积为，解得，即，， 连接， 因为，且，可知为平行四边形，则， 又因为平面平面，平面平面，平面平面， 可得，则，可得； 3分 连接， 因为，且为矩形，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. 6分 （2）由题意可知：，，， 设的中点为，连接，， 则，，且，， 又因为，平面，可得平面， 9分 在中，由余弦定理可得， 则为锐角，且， 12分 可得的面积， 所以三棱锥的体积. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】(1)由， 得， 2分 取的中点，连接，则， 而平面，则平面，又平面， 所以. 4分 （2）（i）在平面内过点作交延长线于点，连接， 由（1）知，而，则≌， ，于是，是二面角的平面角，， 6分 在平面内过作于点，由平面，得， 而平面，则平面， 8分 ，又， 所以. 10分 （ii）由（i）知， 当且仅当时取等号，此时平面， 12分 取中点， 连接，由分别为的中点，得， 因此是异面直线与所成的角或其补角，平面， 14分 ，，在中，， ，由余弦定理得， 而，则， 16分 在中，由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 2分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 4分 （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 6分 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 8分 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， 10分 ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 13分 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 15分 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第11章 简单几何体·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．直径为的球的表面积为______．（计算结果保留） 【答案】 【详解】由题意知球的半径， 所以球的表面积. 2．已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________． 【答案】4 【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为. 3．已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，则其母线长， 该圆锥的底面积为，侧面积为， 所以其侧面积与底面积的比值为． 4．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 5．四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 【答案】/ 【详解】，设与的夹角为， 则， ，解得，则， 过点作， 易得，则平面， 作交于点，易得， 且，所以平面． 则有，， 则， 故答案为：. 6．四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________. 【答案】 【详解】如图： 形成的几何体是下方为圆柱，上方为圆锥的组合体. 因为，，所以圆柱的底面半径为1，高为1，圆锥的底面半径为1，母线长为. 所以，，， 所以该几何体的表面积为. 故答案为： 7．如图，在边长为2的正方体中，点到平面的距离为______________. 【答案】/ 【详解】由题意，，则为等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 则，即， 所以，解得. 8．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 【答案】 【详解】在图1的中： 由​，，可得， 即是等腰直角三角形， 又因为是中点，因此，且. 因为翻折后长度不变：，仍满足，. 因为，即，结合，， 可知、、三条线段两两垂直，长度均为. 因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体， 该正方体的外接球与三棱锥的外接球完全相同，如图： 正方体的体对角线就是外接球的直径： ​，得外接球半径. 由球体积公式， 因此三棱锥外接球的体积为. 9．某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 【答案】 【详解】设的交点为，则， 因为是正八面体，所以， 所以到所有顶点的距离相等，因此为正八面体外接球的球心， 外接球的半径为， 显然也是正八面体内切球的球心，设内切球半径为， 则， 即，解得， 所以该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为 10．如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 【答案】 【详解】设直三棱柱的高为，易知， ， 所以水的体积为 ， 在图1中，水体呈柱体状，则水的体积为， 故，解得. 11．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______________． 【答案】/ 【详解】如图，连接，设，再连接， 因为四棱锥为正四棱锥，则四边形为正方形， 又因为，则为的中点． 因为平面，平面，平面平面， 所以，则为中点， 所以， 又因为，则， 所以． 因为，则， 故． 12．在体积为1的三棱锥侧棱，，上分别取点，，，使，记为三平面，，的交点，则三棱锥的体积等于______． 【答案】 【详解】连接,则交于点，交于点，交于点. 因为平面，平面，，平面，平面， 所以平面平面； 同理可得：平面平面，平面平面； 又因为为三平面的交点，所以为三线段的交点. 连接，因为， 所以，， 所以, 又因为与的高相同，所以； 同理可得：； 在中，连接， 则有， 因为与的高相同，所以； 因为三棱锥底面积相同； 所以 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积. 14．三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，连接，，． 因为平面，平面，所以，，． 因为三棱柱底面是等腰直角三角形，为的中点，所以． 又因为,平面，所以平面． 又因为平面，所以，则，四边形为矩形． 因为在该等腰直角三角形中，，为的中点， 所以，，则． 故矩形的面积为． 因为为中点，为的中点，所以，则． 由三垂线定理，可得，且, 故平行四边形的面积为，同理可得，平行四边形的面积也为． 故该三棱柱的侧面积为． 15．《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 取的中点为，因为，，所以点到的距离相等，即为鳖臑外接球的球心. 设外接球半径为，则. 设鳖臑内切球半径为，则. 因为， ， 所以. 所以. 16．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发、渗漏、流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 0.1~9.9 10~24.9 25~49.9 50~99.9 100~249.9 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台形铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24h的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 【答案】D 【详解】设水面半径为，因桶内水深是桶的高度的一半，由梯形中位线得． 则雨水的体积． 又接雨面积为桶的开口面积， 根据降雨量定义，． 结合24h降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是小雨． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在三棱柱中，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：直线与没有交点； (2)若三棱柱的体积为24，求四棱锥的体积． 【详解】(1)证明：连接， 由图可知，平面与平面相交于直线， 且平面，， 平面， 3分 平面，且点不在直线上， 直线与直线没有交点． 6分 （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 9分 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 18．如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱. (1)若，求剩下几何体的表面积； (2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积. 【详解】（1）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为， 因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得， 2分 则圆锥的高， 若，则，， 4分 所以剩下几何体的表面积为. 6分 （2）因为，即，则，， 9分 可得圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 12分 所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 19．如图，正四棱柱内接于圆柱，，圆柱的侧面积为．点E是棱上的点，点F是棱上的点，且． (1)若直线与平面的交点为G，求的值，并证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【详解】(1)因为，设，，， 因为为正方形，则圆柱的底面半径， 则圆柱的侧面积为，解得，即，， 连接， 因为，且，可知为平行四边形，则， 又因为平面平面，平面平面，平面平面， 可得，则，可得； 3分 连接， 因为，且为矩形，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. 6分 （2）由题意可知：，，， 设的中点为，连接，， 则，，且，， 又因为，平面，可得平面， 9分 在中，由余弦定理可得， 则为锐角，且， 12分 可得的面积， 所以三棱锥的体积. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 如图，在四面体中，，P为OA的中点，Q为BC的中点． (1)证明：． (2)设二面角的大小为，四面体的体积为V． （i）若，求V的值； （ii）当V最大时，求异面直线PQ与OB所成角的余弦值． 【详解】(1)由， 得， 2分 取的中点，连接，则， 而平面，则平面，又平面， 所以. 4分 （2）（i）在平面内过点作交延长线于点，连接， 由（1）知，而，则≌， ，于是，是二面角的平面角，， 6分 在平面内过作于点，由平面，得， 而平面，则平面， 8分 ，又， 所以. 10分 （ii）由（i）知， 当且仅当时取等号，此时平面， 12分 取中点， 连接，由分别为的中点，得， 因此是异面直线与所成的角或其补角，平面， 14分 ，，在中，， ，由余弦定理得， 而，则， 16分 在中，由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 2分 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 4分 （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 6分 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 8分 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， 10分 ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 13分 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 15分 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $