第11章 简单几何体（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020必修第三册

第11章 简单几何体（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ． 【答案】6 【分析】由大球的体积等于三个铁球的体积和列式计算. 【详解】设大球的半径为，则， 解得. 所以大球的半径为6. 故答案为：6. 2．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 3．单位正方体的最大截面积是 ． 【答案】 【分析】根据正方体截面的性质结合条件即得. 【详解】当截面为对角面时，截面面积最大，该截面为长方形，其长为正方体的面对角线，长为，宽为正方体的棱长为1， 所以最大截面积为，即单位正方体的最大截面积是. 故答案为：. 4．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为 ． 【答案】 【分析】根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果. 【详解】设球的半径为， 则圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 球的体积为， 圆锥、圆柱、球的体积比为， 故答案为：. 5．如图所示，已知在水平放置的的斜二测直观图中，，，若该以为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧面积为 . 【答案】 【分析】由直观图得到平面图，即可求出所对应的线段，旋转后的图形为圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算可得. 【详解】如图， 在中，，，， 所以， 由题意绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥， 圆锥的底面半径，母线， 则圆锥的侧面积为. 故答案为： 6．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 【答案】 【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 7．随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是 . 【答案】 【分析】由题知该蒙古包由圆柱和圆锥构成，利用圆柱和圆锥体积公式计算即可. 【详解】根据题意该蒙古包由圆柱和圆锥构成， 则该几何体体积为. 故答案为：. 8．在三棱锥中，点到平面的距离为6，点D，E为边，的中点，且为正三角形，若，则点到平面的距离为 . 【答案】6 【分析】根据三棱锥的体积公式及求解即可. 【详解】因为点D，E为边，的中点，所以， 因此，故也为正三角形，且边长为的两倍，面积是四倍， 设的面积为S，则的面积为. 三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，三棱锥的体积为. 所以三棱锥的体积也为， 又因为点D，E为边，的中点，所以，相似比为，面积比为，故三棱锥与三棱锥的体积之比为， 所以，即. 故答案为： 9．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 . 【答案】 【分析】首先确定截面的位置和特征，然后根据已知条件中的线段和角的关系求截面的周长即可. 【详解】在正方体中，取的中点,的中点为,连接， 由是的中点，得，则四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ， 所以所求截面的周长是. 故答案为：. 10．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 【答案】/ 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 11．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为.分球心在如图，，可分别得关于R的方程，即可得答案. 【详解】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为. 若球心在如图，则， 整理得：，不合题意； 若球心在如图，则， 整理得：， 则，从而外接球面积为：. 故答案为： 12．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】D 【分析】我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 14．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】    由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 15．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 16．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（    ）（单位：立方厘米） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台体积公式直接求解即可. 【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，由题意，． 则该圆台的体积为立方厘米． 故选：D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证； （2）由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 18．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 19．如图，在边长为4的正方体中， 点在上. (1)当是中点时，证明平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积和体积； 【答案】(1)证明见详解 (2)， 【分析】（1）连接，交于，在正方体中，易得为中点，结合是中点，可得，然后可证的平面； （2）由题知，，利用三角形面积公式即可求表面积，又平面，再利用锥体体积公式即可三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：连接，交于，连接， 在正方体中，底面为正方形， 所以为中点，又是中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）当和重合时， 在正方体中，平面， ，， 所以三棱锥的表面积 ， 体积， 所以三棱锥的表面积为，体积为. 20．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：； (2)线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. (3)求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】(1)由面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的定义可知. (2)由已知可得平面,若线段上是否存在，使得平面，则平面平面.所以问题可转化为过直线作平面的平行平面，根据面面平行的性质定理，可得,问题转化为过点作的平行线，该平行线与的交点即为点,放入梯形分析，可得的值. (3)将多面体分割成三棱锥和三棱柱，分别求出三棱锥和三棱柱的体积，即可得到多面体的体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以. 平面平面，且平面平面，平面, 所以平面. 因为平面,所以. （2）设线段上存在，使得平面.显然点与点不重合. 所以不在平面中，平面, 因为四边形为正方形，所以. 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面, 所以 因为四边形为梯形，且. 如图，取BC的中点H，连接AH,则, 所以四边形为平行四边形，四边形是正方形. 所以,且与的交点即为点,点是的中点. 所以.    当点为的中点时，因为所以. 延长交于点.因为所以. 所以,所以,所以点是的中点.连接 因为四边形为正方形，所以.所以,所以四边形为平行四边形. 因为不在平面中，平面, 所以平面. 因此，线段上是否存在，使得平面，的值为. （3）多面体由三棱锥和三棱柱组成. 由(1)知平面,由已知，. 所以三棱锥的体积. 三棱柱体积. 所以多面体的体积为. 故答案为：. 21．如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，. (1)求证：平面； (2)设平面平面，判断并证明与平面的位置关系； (3)判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面平行，理由见解析； (3)四棱锥存在外接球，球心的位置为的中点，球的体积为. 【分析】（1）先得到，由勾股定理和等腰三角形三线合一得到⊥，从而得到线面垂直； （2）由余弦定理得到，，从而得到平面，由线面平行的性质得到，从而得到平面； （3）四棱锥是否存在外接球，取决于四边形是否有外接圆，由于⊥，，故的中点即为四边形的外接圆圆心，又面，从而确定球心的位置为的中点，并求出外接球半径和体积. 【详解】（1）面，平面，所以， 因为，，，由勾股定理得， 又，所以， 因为是的中点，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面； （2）与平面平行，理由如下： 因为，，由余弦定理得 ， 又，故，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面； （3）四棱锥是否存在外接球，取决于四边形是否有外接圆， 由于⊥，，故的中点即为四边形的外接圆圆心， 取的中点，连接，又面，则⊥平面， 且，所以球心的位置为的中点， 且半径为，球的体积为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 简单几何体（高效培优单元测试·强化卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ． 2．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为 ． 3．单位正方体的最大截面积是 ． 4．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为 ． 5．如图所示，已知在水平放置的的斜二测直观图中，，，若该以为旋转轴，旋转一周，则旋转形成几何体的侧面积为 . 6．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 7．随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是 . 8．在三棱锥中，点到平面的距离为6，点D，E为边，的中点，且为正三角形，若，则点到平面的距离为 . 9．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是 . 10．在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 11．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为 . 12．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 14．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 16．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（    ）（单位：立方厘米） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 18．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 19．如图，在边长为4的正方体中， 点在上. (1)当是中点时，证明平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积和体积； 20．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：； (2)线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. (3)求多面体的体积. 21．如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，. (1)求证：平面； (2)设平面平面，判断并证明与平面的位置关系； (3)判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $