高二数学上学期第一次月考（沪教版必修第三册第10章-第11章：空间直线与平面+简单几何体，高效培优·提升卷）

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦立体几何，以空间观念为核心，通过翻折问题、多面体离散曲率等设计，融合直观想象与逻辑推理，体现数学眼光与思维的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|基本事实、距离、表面积、外接球|基础巩固（如基本事实符号语言）与空间想象（如翻折距离）结合| |选择题|4/18|线面关系、几何体距离、动点轨迹|注重空间判断（如线面相交条件）与动态问题分析| |解答题|5/78|浮球体积表面积、圆柱截面、离散曲率|综合应用（如浮球实际问题）与创新探究（如离散曲率），梯度分明|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 3 .4. 4.7. 5. 6. 7. 8. . 9. 10. 11. ①③④ 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. C 14. D 15. D16.B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （7分） （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. （7分） 18．（14分）【详解】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面，所以； （5分） （2）由题意得四边形为边长为2的正方形，， 由已知，由勾股定理得， ，当且仅当时，等号成立， 则， 故当时，三棱锥的体积最大， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故即为二面角的平面角， 则，所以. （9分） 19．（14分）【详解】（1）证明：在正三棱柱中，取中点，连接， 由是中点，得，而是中点， 则，四边形是平行四边形，， 由平面平面，得，而， 又平面，于是平面， 因此平面，而平面，所以平面平面. （6分） （2）由（1）知，平面，平面，则平面， 取中点，连接，则，而平面，平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 由平面，平面，得， 则是平面与平面的夹角，，， 于是，而，则， 所以正三棱柱的体积. （8分） 20．（18分）【详解】（1）取BC中点为点D，连接AD、PD， 因为，所以， 因为，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD，又平面PAD，所以. （4分） （2）作于点E，连接PE， 由题意知平面ABC，则， 由三垂线定理知，在中，， 在中，，在中，， ，等式成立. 因为，所以， 又且在上单调递减，所以. （6分） （3）因为平面ABC，所以， 易知，则，又， 所以，则， 所以点H在直线AD上， 在，，同理， 是等边三角形，因为， 所以H是AD的中点，则，，， 因为为平面内一点，且，所以M点的轨迹是以H为圆心、为半径的圆， 设与的夹角为，， 因为， 所以， 当时，取得最大值. （8分） 21．（18分）【详解】（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为；（4分） （2）① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因 ，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 （6分） ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 【答案】 【分析】由平面基本事实二即可得答案. 【详解】因为一条直线上的两点在平面内，则这条直线就在平面内. 又因为，，，，与不重合， 所以. 2．直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 【答案】 【分析】作图，连接底面对角线，交点为.由直四棱柱得到侧棱垂直底面，从而得到线线垂直.由所有棱长均为2得到底面为菱形，从而得到对角线垂直，从而证明线面垂直.然后就可以得到直线到平面的距离对应的线段.在等边三角形中求得对应线段长即可. 【详解】如图，连接相交与点， 在直四棱柱中，平面，平面， ∴， 同理， ∵直四棱柱的所有棱长均为2， ∴四边形是菱形， ∴，平面，平面，， ∴平面， ∴为直线到平面的距离， 在中，，，为中点， ∴，∴， 故答案为：. 3．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 4．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要______铁板（精确到，）． 【答案】4.7 【分析】求六棱柱的表面积即可. 【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：， 棱柱的侧面积为：. 所以正六棱柱的表面积为：. 故答案为：4.7 5．已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同， 则外接球的直径为长方体的体对角线. 已知，， 则，则， 故三棱锥外接球的表面积为. 6．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 【答案】 【分析】取中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角（或其补角），根据题意可计算出各边长，由余弦定理得，然后利用平方关系即可求解. 【详解】取中点，连接，， 因为，，所以，， 所以， 因为是的中点，，，所以，， 所以， 因为是的中点，是的中点，，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 7．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中， ， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 8．圆台的上底面半径长为2，下底面半径长为3，侧面展开图的面积等于，则圆台的体积为________． 【答案】 【分析】利用圆台侧面展开图面积计算公式计算出母线长，再计算出高，最后求得圆台的体积. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，那么 ，， 如图所示，四边形为圆台轴截面，为上底面圆心，为下底面圆心，作于点，则, 所以, 故. 9．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______. 【答案】 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 10．已知四边形，，，，沿折叠，使，求此时三棱锥的体积为______. 【答案】 【分析】取中点，连接，，证明平面，过点作垂线，交于点，接着证明平面，通过已知长度算出，长度，再根据余弦定理，算出的正弦值，接着算出长度，最后算出体积. 【详解】取中点，连接，，过点作垂线，交于点，如图所示， 因为，，为AC中点， 所以，， 又因为平面，平面，且，所以平面. 因为平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面，即为到平面的高. 因为，，E为AC中点， 所以， 因为，所以， 因为， 由余弦定理可得，， 所以， ， 因为的面积， 由三棱锥体积公式得. 11．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 【答案】①③④ 【分析】利用正方体性质可得面面平行，进而判断线面平行，判断①选项，平移直线找异面直线所成角求正切值判断②选项，找出线面角分析变化可判断③选项，利用体对角线性质判断线线垂直，从而判断④选项. 【详解】如图， 在①选项中，因为为正方体，所以平面 平面，又平面，所以平面，故①正确； 在②选项中，当为线段的中点时，因为，所以就是直线与直线所成角. 连接，在中，，所以， 即直线与直线所成角的正切值为，故②错误； 在③选项中，因为平面，所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，③正确； 在④选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，④正确. 12．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________． 【答案】 【分析】设到底面的距离为，到底面的距离为，为球心，得到，取的中点，得到一定为球的直径，由，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得的值，进而得到答案. 【详解】正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球， 设到底面的距离为，到底面的距离为，为球心， 则，取的中点，连接，记与平面的交点为， 由两个正三棱锥和内接于同一个球，所以一定为球的直径， 根据题意，可得为正三角形的中心， 所以分别为正三棱锥和正三棱锥的高， 由，且为的中点， 可得， 则为正三棱锥的侧面与底面所成的角，即， 不妨设，所以， 即球的半径为，则， 在直角中，由勾股定理，可得， 解得，所以，即，所以. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系判断. 【详解】直线、和平面、，且、， 若与相交，记，由于、， 所以、，则与相交， 所以“与相交”能得到与相交， 但“与相交”，则与可能异面，如图， 平面为，平面为，， 、，， 若与不重合，则直线、为异面直线， 所以“与相交”是“与相交”的充分不必要条件. 故选：C. 14．桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（    ） A．棱长为1的正方体 B．表面积为的球 C．轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D．体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【分析】根据正方体、球、圆柱、圆锥的几何性质进行运算判断即可. 【详解】A：当点是棱长为1的正方体表面上的一点时， 因为棱长为1的正方体的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； B：当点是表面积为的球表面上的一点时， 设该球的半径为，所以有， 因此该球的直径为， 由球的性质可知点到桌面的最大距离为； C：当点是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时， 此时该正方形的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； D：当点是体积为且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时， 由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为， 所以该圆锥的底面的半径为，圆锥的高为， 所以有， 所以斜边长为， 因此点到桌面的最大距离为； 显然，即， 故选：D 15．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质确定点轨迹，再利用等腰三角形性质求出最小值. 【详解】在正四棱柱中，取中点，连接， 由四边形是矩形，为棱的中点，得，平面即平面， 取中点，连接，则，平面， 平面，则平面，而，， 于是四边形是平行四边形，，又平面， 平面，则平面，而平面， 因此平面平面，而平面，则平面，即平面， 又点为侧面内一动点，则点的轨迹为线段， 由，得，， ，因此等腰的腰上的高等于， 故线段的长度的最小值为. 故选：D 16．“卢水弯弯”在研究三棱锥时，发现下面一个真命题：“在三棱锥中（如图），已知，记二面角的大小为，则，其中是一个与有关的代数式，则可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出二面角，构造三角形，表示出各边长，利用余弦定理即可求解. 【详解】在上任取一点，过点分别作交于，交于， 则，即为二面角的平面角，如图，    在中，， 在中，， 在中， 在中 化简整理得 ，所以. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （7分） （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. （7分） 18．（14分）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小． 【详解】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面，所以； （5分） （2）由题意得四边形为边长为2的正方形，， 由已知，由勾股定理得， ，当且仅当时，等号成立， 则， 故当时，三棱锥的体积最大， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故即为二面角的平面角， 则，所以. （9分） 19．（14分）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积. 【详解】（1）证明：在正三棱柱中，取中点，连接， 由是中点，得，而是中点， 则，四边形是平行四边形，， 由平面平面，得，而， 又平面，于是平面， 因此平面，而平面，所以平面平面. （6分） （2）由（1）知，平面，平面，则平面， 取中点，连接，则，而平面，平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 由平面，平面，得， 则是平面与平面的夹角，，， 于是，而，则， 所以正三棱柱的体积. （8分） 20．（18分）在三棱锥中，，点在平面上的投影为，连接. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由； (3)如图3，已知，，，为平面内一点，且.记异面直线与所成角为，求的最大值. 【详解】（1）取BC中点为点D，连接AD、PD， 因为，所以， 因为，平面PAD，平面PAD， 所以平面PAD，又平面PAD，所以. （4分） （2）作于点E，连接PE， 由题意知平面ABC，则， 由三垂线定理知，在中，， 在中，，在中，， ，等式成立. 因为，所以， 又且在上单调递减，所以. （6分） （3）因为平面ABC，所以， 易知，则，又， 所以，则， 所以点H在直线AD上， 在，，同理， 是等边三角形，因为， 所以H是AD的中点，则，，， 因为为平面内一点，且，所以M点的轨迹是以H为圆心、为半径的圆， 设与的夹角为，， 因为， 所以， 当时，取得最大值. （8分） 21．（18分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且 ，将沿翻折到如图②，连接． (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【详解】（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为；（4分） （2）① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因 ，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 （6分） ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． （8分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设l表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“与不重合，，，，______．” 2．直四棱柱的所有棱长均为2，，则直线到平面的距离为_____________． 3．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 4．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要______铁板（精确到，）． 5．已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 6．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 7．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 8．圆台的上底面半径长为2，下底面半径长为3，侧面展开图的面积等于，则圆台的体积为________． 9．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为______. 10．已知四边形，，，，沿折叠，使，求此时三棱锥的体积为______. 11．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 12．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知直线、和平面、，且、，则“与相交”是“与相交”的（    ） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 14．桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（    ） A．棱长为1的正方体 B．表面积为的球 C．轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D．体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 15．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 16．“卢水弯弯”在研究三棱锥时，发现下面一个真命题：“在三棱锥中（如图），已知，记二面角的大小为，则，其中是一个与有关的代数式，则可以为（    ）    A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 18．（14分）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． (1)设平面平面，求证：； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小． 19．（14分）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积. 20．（18分）在三棱锥中，，点在平面上的投影为，连接. (1)如图1，证明：； (2)如图2，记，，直线与平面所成角为，求证：，比较与的大小并说明理由； (3)如图3，已知，，，为平面内一点，且.记异面直线与所成角为，求的最大值. 21．（18分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且 ，将沿翻折到如图②，连接． (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $