专题02 焦点三角形问题（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆与双曲线焦点三角形的周长、面积及焦半径问题，通过分层题型构建从定义应用到性质深化的逻辑训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |焦点三角形周长问题|8题|围绕椭圆/双曲线定义，考查周长计算及取值范围|以椭圆定义（|PF₁|+|PF₂|=2a）为核心，结合图形几何特征构建周长公式| |焦点三角形面积问题|12题|涉及角度、内切圆半径等，结合余弦定理与面积公式|融合三角形面积公式与圆锥曲线定义，深化边角关系推理| |焦点三角形焦半径问题|11题|考查焦半径长度、最值及与坐标关系|从焦半径定义延伸至坐标运算，体现几何直观与代数表达的转化|

专题02焦点三角形问题 题型一焦点三角形周长问题 题型二 焦点三角形面积问题 题型三 焦点三角形焦半径问题 题型一焦点三角形周长问题 1．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 3．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 5．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为________. 6．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________. 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 题型二 焦点三角形面积问题 1．已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 4．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 5．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则__________. 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为______． 7．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 8．已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为__________. 9．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，，求此三角形面积的最大值． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 11．如图所示，是双曲线右支上一点，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 12．已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 题型三 焦点三角形焦半径问题 1．已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为_____． 2．设是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则是________三角形. 3．已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 4．已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则______． 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则______． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 8．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（   ） A．30° B．60° C．90° D．120° 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 10．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02焦点三角形问题 题型一焦点三角形周长问题 题型二 焦点三角形面积问题 题型三 焦点三角形焦半径问题 题型一焦点三角形周长问题 1．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：D 3．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 5．椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为________. 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 6．已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________. 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为________. 【答案】24 【分析】由椭圆的定义与性质可知椭圆的焦点三角形的周长为，即可得到答案. 【详解】由可知，， ∴. 故答案为：24. 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 题型二 焦点三角形面积问题 1．已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上且，则三角形的面积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用椭圆定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】 由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：， 故选：A. 2．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 故选：A. 3．已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】设的中点为，结合椭圆定义及，确定为等边三角形即可求解； 【详解】由已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距， 所以， 设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即. 4．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 【答案】1 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 5．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则__________. 【答案】10 【分析】解法一：设（，）利用焦半径公式求出、，再由求出，可得答案； 解法二：设，，由双曲线定义可得，内切圆与轴切在双曲线的顶点处，则由求出，再由求出，可得答案； 解法三：设，，求出，由求出，由焦点三角形面积公式可得答案； 解法四：设，，，则得，由余弦定理②，设，求出可得答案. 【详解】解法一： ，所以， ， 设（，），， ， ， 又因为：，则，， ； 解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，， 双曲线内切圆的圆心为，连接， ， 设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接， 则， 即， 又因为，所以与重合，即， 所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，， 可得，可得 则， ， 所以，， 即：； 解法三：设，，， ，， 则 ，所以， 由焦点三角形面积公式； 解法四：设，，， 则， 即：①， 由余弦定理，得：， ②， 设，则， 得，，则. 故答案为：10. 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为______． 【答案】4 【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解. 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 7．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 8．已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理求得，然后由面积公式计算面积． 【详解】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 9．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，，求此三角形面积的最大值． 【答案】 【分析】方法一：以BC为x轴，BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据椭圆定义求得点A的轨迹方程，然后根据三角形面积求解最大值即可； 方法二：结合二次函数性质，利用海伦三角形面积公式求解最大值即可. 【详解】方法一：由题意，， 以BC为x轴，BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图． 则，设，根据及椭圆的定义， 可得点A的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉与B，C共线的点）， 设椭圆方程为，则，所以， 所以椭圆方程为，又三点不共线， 所以点A的轨迹方程为． 当点A为椭圆的短轴端点时，的面积最大，，此时． 方法二：因为，，所以， 由海伦公式得的面积， 此时符合题意． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解，（也可以用二级结论，其中求解）； （2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 11．如图所示，是双曲线右支上一点，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 【答案】存在 【分析】分轴、点在第一象限且与轴不垂直、点在第四象限且与轴不垂直、在轴上四种情况讨论，分别求出与的等式关系即可 【详解】当轴时，的坐标为，此时，，所以． 当点在第一象限且与轴不垂直时，设， ，， ． 又， 所以，所以． 当点在第四象限且与轴不垂直时，由对称性知也成立． 当在轴上时，，，所以还是成立． 综上，存在，使得恒成立． 12．已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题利用双曲线的定义求解线段长，进一步求焦点三角形的面积. 【详解】由，可知. 又，所以边上的高 所以. 题型三 焦点三角形焦半径问题 1．已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算可得. 【详解】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 故答案为： 2．设是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则是________三角形. 【答案】直角 【分析】由椭圆方程求出焦距，由椭圆的定义结合题意求出，通过勾股定理即可判断三角形形状. 【详解】因为椭圆的方程为：1，所以，， 由椭圆的定义，知， 因为点P到两个焦点的距离之差为1， 不妨设，由题意可得， 则，， 因为，所以， 所以为直角三角形. 故答案：直角 3．已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 【答案】 【分析】在焦点三角形中，先利用椭圆的定义、与内切圆半径有关的三角形的面积公式，求出的面积，然后借助余弦定理和三角形的面积公式建立关于和的方程组，求得的值，从而可求得的值． 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： 4．已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则______． 【答案】40 【分析】根据余弦定理，结合椭圆定义即可求解. 【详解】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 5．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则______． 【答案】9 【分析】不妨设在右支在左支上，设，，在、中，由余弦定理求出可得答案. 【详解】双曲线中，， 由于渐近线方程为,一三象限的渐近线倾斜角为，故直线与双曲线交于左右两支， 不妨设在右支在左支上，如图所示， 设，， 则，， 在中，由余弦定理得， 化简得， 在中， 由余弦定理得， 可得，所以． 故答案为：9.    6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 7．已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 8．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（   ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，判断焦点三角形形状即可得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 在中，，，则， 于是，所以. 故选：C 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可． 10．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】设P的坐标，根据平面向量的坐标表示可得，联立椭圆方程求出x即可. 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解． 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $