培优课 圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值及探索性问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点、定值及探索性问题，通过“特殊到一般”“假设验证”等方法体系，培养推理能力与运算能力，构建“求方程→证性质”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|2（1、6题）|特殊位置探定点→代数推理证恒成立|曲线方程求解→直线与曲线位置关系→向量/斜率关系验证| |定值问题|1（4题）|参数表示坐标→斜率比化简得定值|抛物线定义→韦达定理应用→比例关系推导| |探索性问题|3（2、3、5题）|假设存在→列方程求解→回代验证|焦点/渐近线性质→几何条件转化→方程求解与检验|

第二课时　定点、定值及探索性问题 1.已知椭圆C：＋=1（a＞b≥1）的离心率为，上焦点到直线bx＋2ay－=0的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P（，0）的直线l交椭圆C于A，B两点．求证：以线段AB为直径的圆是否过定点． 2.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点P（4，4），其焦点为F． （1）求抛物线C的方程； （2）设点Q在抛物线C上，试问在直线2x－y＋6=0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 3.已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（4，0）到渐近线的距离为2． （1）求双曲线C的方程； （2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，求证：在x轴上存在点P（1，0），使得kPA＋kPB=0. 4.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴的交点为T，点G在E上且GF⊥x轴，△GTF的面积为． （1）求E的方程； （2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a＞0），点A是E上任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值． 5.已知双曲线C：－=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过点（，）． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM=2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6.已知A，B分别为椭圆E：＋y2=1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，•=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 第二课时　定点、定值及探索性问题 1.解：（1） 由题意，e＝＝，e2＝＝，所以a＝b，c＝b. 又＝，a＞b≥1，所以b＝1，a2＝2，故椭圆C的方程为＋x2＝1. （2）证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为（x－）2＋y2＝， 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.可得两圆交点为Q（－1，0）. 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（－1，0）. 下证Q（－1，0）符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝k（x－）， 代入＋x2＝1，并整理得（k2＋2）x2－k2x＋k2－2＝0，Δ＝k2＋16＞0恒成立. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝， x1x2＝， 所以·＝（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2（x1－）（x2－）＝（1＋k2）·x1x2＋（1－k2）（x1＋x2）＋1＋k2＝（1＋k2）·＋（1－k2）·＋1＋k2＝0， 故⊥，即Q（－1，0）在以AB为直径的圆上. 综上，以AB为直径的圆恒过定点（－1，0）. 2.解：（1）因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（4，4），所以16＝8p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. （2）假设存在满足题意的点N. 由（1）知F（1，0），设N（t，2t＋6），Q（x0，y0）. 因为四边形PQFN是平行四边形，所以＝，所以（4－t，－2t－2）＝（x0－1，y0）， 所以即Q（5－t，－2t－2）， 将点Q（5－t，－2t－2）代入抛物线C的方程，可得（－2t－2）2＝4（5－t），即t2＋3t－4＝0，解得t＝－4或t＝1， 所以Q（9，6）或Q（4，－4），经检验，满足四边形PQFN是平行四边形. 所以直线2x－y＋6＝0上存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时Q（9，6）或Q（4，－4）. 3.解：（1）依题意得a2＋b2＝16， 又bx＋ay＝0是双曲线C的一条渐近线， 所以＝2，解得b＝2， 所以a＝＝2， 所以双曲线C的方程为－＝1. （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：x＝my＋4（m≠0）， 由方程组 消去x得（3m2－1）y2＋24my＋36＝0， y1＋y2＝－，y1y2＝， kPA＋kPB＝＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝0， 所以在x轴上存在点P（1，0），使得kPA＋kPB＝0. 4.解：（1）由题意得｜TF｜＝p， 因为点G在E上且GF⊥x轴， 所以｜GF｜＝p， 则S△GTF＝p×p＝，解得p＝， 所以E的方程为y2＝x. （2）证明：设A（m2，m）（m≠0），直线AB的方程为x＝ty＋a， 代入E的方程，得y2－ty－a＝0， 所以myB＝－a，所以yB＝－，所以B， 同理可得C（4m2，2m），D， 所以kAB＝＝，kCD＝＝， 则＝2， 所以直线AB与CD的斜率之比为定值2. 5.解：（1）依题意结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，c＝2. 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. （2）假设存在点M（t，0）（t＜0）满足题设条件. 由（1）知双曲线C的右焦点为F（2，0）.设Q（x0，y0）（x0≥1）为双曲线C右支上一点. 当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是｜MF｜＝｜QF｜＝3， 所以t＝－1.即M（－1，0）. 当x0≠2时， tan∠QFM＝－kQF＝－， tan∠QMF＝kQM＝. 因为∠QFM＝2∠QMF， 所以－＝. 将＝3－3代入并整理得－2＋（4＋2t）x0－4t＝－2－2tx0＋t2＋3， 所以解得t＝－1.即M（－1，0）. 综上，满足条件的点M存在，其坐标为（－1，0）. 6.解：（1）由题意得A（－a，0），B（a，0），G（0，1）. 则＝（a，1），＝（a，－1）. 由·＝8得a2－1＝8，即a＝3. 所以E的方程为＋y2＝1. （2）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3＜n＜3. 由于直线PA的方程为y＝（x＋3），所以y1＝（x1＋3）. 直线PB的方程为y＝（x－3）， 所以y2＝（x2－3）. 可得3y1（x2－3）＝y2（x1＋3）. 由于＋＝1，故＝－，可得27y1y2＝－（x1＋3）（x2＋3），即（27＋m2）y1y2＋m（n＋3）（y1＋y2）＋（n＋3）2＝0. ① 将x＝my＋n代入＋y2＝1得 （m2＋9）y2＋2mny＋n2－9＝0. 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 代入①式得（27＋m2）（n2－9）－2m（n＋3）mn＋（n＋3）2（m2＋9）＝0. 解得n＝－3（舍去）或n＝. 故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点. 若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点. 综上，直线CD过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $