专题01 圆锥曲线离心率（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆与双曲线离心率，按“求值-取值范围”分层设计，覆盖核心考法的专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆离心率求值|5题|结合焦点、几何图形、周长面积考查|从椭圆到双曲线，先求值后范围，形成概念应用递进链| |椭圆离心率取值范围|6题|关联参数范围、离心率直接条件| |双曲线离心率求值|4题|涉及焦点、公共点、内切圆等几何关系| |双曲线离心率取值范围|9题|结合渐近线、参数条件、存在性问题|

专题01离心率 题型一 椭圆离心率求值 题型二 椭圆离心率取值范围 题型三 双曲线离心率求值 题型四 双曲线离心率取值范围 题型一 椭圆离心率求值 1．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A． B．1 C． D． 3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 椭圆离心率取值范围 1．记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 3．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是______． 4．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_________． 5．若椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是______． 6．已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，与分别为、的离心率，则的取值范围是__________. 题型三 双曲线离心率求值 1．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 题型四 双曲线离心率取值范围 1．设，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是_____. 3．若，则双曲线的离心率的取值范围是______. 4．已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________. 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 6．如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01离心率 题型一 椭圆离心率求值 题型二 椭圆离心率取值范围 题型三 双曲线离心率求值 题型四 双曲线离心率取值范围 题型一 椭圆离心率求值 1．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，设出，根据椭圆的定义可知，，在和中，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 2．已知正方形，则以点为焦点，且经过两点的椭圆的离心率为（） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则由题意可得，从而可求出椭圆的离心率． 【详解】设正方形的边长为，则， ∵椭圆过两点， ∴椭圆的离心率. 3．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 4．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 5．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 题型二 椭圆离心率取值范围 1．记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 【答案】 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和椭圆的定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 3．设e是椭圆的离心率，且，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】分焦点在x轴上和在y轴上两种情况求解即可. 【详解】当焦点在x轴上时，，且 所以，且，解得； 当焦点在y轴上时，，且，解得， 所以实数k的取值范围是． 故答案为： 4．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围． 【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的， 则椭圆与双曲线共焦点，设，则，， ，， ， ， 设，则， 解得，即， 又，且， ， 故的取值范围是． 故答案为： 5．若椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的性质写出和的表达式，由结合不等式求出的取值范围． 【详解】由椭圆与双曲线的性质可知，，， 而，于是． 故答案为：． 【点睛】本题以椭圆与双曲线为载体，主要考查二者的性质及均值公式的灵活应用，同时还考查了考生运用所学知识解决和处理问题的能力，属于中档题． 6．已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，与分别为、的离心率，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由两曲线焦点重合，得出的关系，再求出，由刚才求得的关系式消元后得，令，换元后利用函数的单调性可得范围．其中要注意变量的取值范围，否则会出错． 【详解】因为椭圆：与双曲线：的标准方程分别为：和，它们的焦点重合，则,所以，∴，，另一方面，令，则，，于是，所以 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率问题，利用焦点相同建立两曲线离心率的关系，再由函数的性质求得取值范围．为了研究函数的方便，可用换元法简化函数． 题型三 双曲线离心率求值 1．已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义推得，结合对称性得，设，分别利用三角函数定义和余弦定理列方程，消去，得关于的齐次方程，求解即得. 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 3．已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 4．已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段比例关系，双曲线定义，余弦定理可得方程，得到，求出离心率 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 题型四 双曲线离心率取值范围 1．设，则双曲线的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由双曲线方程得到，即可表示出离心率，再由的取值范围计算可得. 【详解】双曲线，则， 所以离心率， 因为，所以，所以，则， 所以， 即. 故答案为： 2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别表示出来，求乘积的范围即可． 【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则． 故答案为：. 3．若，则双曲线的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】运用双曲线的离心率公式和二次函数的单调性，计算可得的取值范围. 【详解】双曲线，可得， 由，可得，则，可得. 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围，考查不等式的性质和运用，运算能力，属于基础题. 4．已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆方程和题设条件得到将双曲线的离心率表达式整理成的形式，换元成，研究函数的单调性并求得其值域即可得到离心率的范围. 【详解】依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，. 不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增， 故，即，故双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得为中点，利用勾股定理建立关系式，依据与的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故， 于是，由相似比可得，又为的中点， 又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则， 所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形， 由勾股定理得， 在中有，将、代入， 整理得：， 当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增， 因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处， 此时，，则该式的最小值趋近于， 题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得， 故双曲线离心率的取值范围是. 6．如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的第二定义来转化原式为，进而可得，再由曲线是双曲线可得所求值的范围. 【详解】由曲线，变形为​， 由方程两边非负且表示双曲线（有解），所以. 将看成点到定点的距离， 再将看成点到直线的距离，且定点不在直线上， 由圆锥曲线的第二定义可知，离心率，即. 因为曲线为双曲线，所以，即，解得. 因此实数的取值范围为. 7．已知点为双曲线的右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，点为的内切圆圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆半径 表示三个三角形面积，约去公共因子，将面积不等式转化为焦半径差与焦距的关系，由双曲线定义得 ，结合离心率定义及 求范围. 【详解】设的内切圆半径为，根据三角形面积公式可得 ，，. 代入题设不等式，约去公共项后可得 . 根据双曲线的定义，右支上的点恒满足， 而双曲线焦距，代入上式得， 即离心率. 双曲线的离心率本身满足，因此最终离心率的取值范围是. 8．已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程，代入离心率公式，求解不等式. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以，且， 所以. 故选：D 9．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，， 所以 ，由，解得. 故选：A. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $