专题2.3.1 抛物线及其标准方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线及其标准方程核心知识点，从定义出发梳理定点与定直线位置关系对轨迹的影响，推导四种开口方向的标准方程，明确参数p的几何意义及焦半径公式，对比椭圆双曲线定义形成完整知识支架。 资料含思维导图辅助知识结构化，通过即学即练与典例变式强化定义辨析和转化思想，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）与数学语言（应用意识）。课中助力分层教学，课后便于查漏补缺，提升知识应用能力。

专题2.3.1抛物线及其标准方程 教学目标 理解抛物线的定义，掌握焦点、准线的概念， 理解抛物线上点满足的几何条件：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等。 掌握抛物线四种形式的标准方程，能区分开口向右、向左、向上、向下对应的方程、焦点坐标、准线方程。 理解参数p的几何意义：焦点到准线的距离。 能根据条件求抛物线标准方程，已知标准方程写出焦点与准线。 教学重难点 1.重点 抛物线的定义； 四种抛物线标准方程； 参数p的几何意义，焦点坐标、准线方程。 2.难点 抛物线定义条件辨析：定点不在定直线上；若定点在定直线上，轨迹是一条直线。 区分四种开口方向对应的标准方程、焦点、准线，避免符号混淆。 利用抛物线定义实现 “点到焦点距离” 与 “点到准线距离” 的相互转化。 知识点 1：抛物线的定义 平面内，与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F：抛物线的焦点； 定直线l：抛物线的准线； p：焦点到准线的距离，。 ⚠易错辨析 若定点F落在定直线l上，满足条件的点轨迹不是抛物线，而是过该点垂直于直线l的一条直线。 抛物线上任意一点P，满足：（d为P到准线的距离，抛物线定义转化，即焦半径）。 【即学即练】 已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 知识点 2：抛物线四种标准方程 表格 开口方向 标准方程(p>0) 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 记忆要点： 一次项决定对称轴：y是一次项对称轴为x轴；x是一次项对称轴为y轴。 一次项系数正负决定开口方向。 焦点永远在对称轴上；焦点坐标、准线到原点距离都是。 【即学即练】 若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 知识点 3：焦半径（定义转化） 设是抛物线上一点： ，焦半径； ，焦半径； ，焦半径； ，焦半径。 本质：利用定义，抛物线上点到焦点距离等价于到准线距离。 【即学即练】 已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 知识点 4：椭圆、双曲线、抛物线定义对比 表格 曲线 几何条件 椭圆 到两定点距离之和为定值 双曲线 到两定点距离差的绝对值为定值 抛物线 到定点与定直线距离相等（定点不在定直线） 【即学即练】 已知，曲线，则（   ） A．当，时，曲线C表示两条直线 B．当，时，曲线C表示圆 C．，曲线C过原点 D．，曲线C不能表示抛物线 题型 01抛物线定义辨析 【典例1】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1】已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型 02由标准方程求焦点、准线、参数p 【典例1】已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【变式1】点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】  已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． 题型 03：利用条件求抛物线标准方程（高频） 【典例1】抛物线的对称轴为轴，顶点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点.求的方程. 【变式1】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【变式2】分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程.    【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 题型 04：焦半径公式的应用（定义转化） 【典例1】过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】  已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 题型 05：轨迹问题（利用抛物线定义求轨迹方程） 【典例1】当参数随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为_____. 【变式1】若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 题型 06：抛物线定义的最值问题 【典例1】抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【变式1】已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 【变式2】已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 1．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 2．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 3．已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 6．已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点集.若中的个不同的点满足：为的中点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C不可能表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 10．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 2．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 3．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 4．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 6．已知抛物线与的公共点为.若两条抛物线的焦点到直线的距离相等，且两焦点之间的距离为，则________，________. 7．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 8．已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 9．设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． 10．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 12．已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.1抛物线及其标准方程 教学目标 理解抛物线的定义，掌握焦点、准线的概念， 理解抛物线上点满足的几何条件：到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等。 掌握抛物线四种形式的标准方程，能区分开口向右、向左、向上、向下对应的方程、焦点坐标、准线方程。 理解参数p的几何意义：焦点到准线的距离。 能根据条件求抛物线标准方程，已知标准方程写出焦点与准线。 教学重难点 1.重点 抛物线的定义； 四种抛物线标准方程； 参数p的几何意义，焦点坐标、准线方程。 2.难点 抛物线定义条件辨析：定点不在定直线上；若定点在定直线上，轨迹是一条直线。 区分四种开口方向对应的标准方程、焦点、准线，避免符号混淆。 利用抛物线定义实现 “点到焦点距离” 与 “点到准线距离” 的相互转化。 知识点 1：抛物线的定义 平面内，与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F：抛物线的焦点； 定直线l：抛物线的准线； p：焦点到准线的距离，。 ⚠易错辨析 若定点F落在定直线l上，满足条件的点轨迹不是抛物线，而是过该点垂直于直线l的一条直线。 抛物线上任意一点P，满足：（d为P到准线的距离，抛物线定义转化，即焦半径）。 【即学即练】 已知抛物线方程为，则它的焦点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 知识点 2：抛物线四种标准方程 表格 开口方向 标准方程(p>0) 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 记忆要点： 一次项决定对称轴：y是一次项对称轴为x轴；x是一次项对称轴为y轴。 一次项系数正负决定开口方向。 焦点永远在对称轴上；焦点坐标、准线到原点距离都是。 【即学即练】 若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 知识点 3：焦半径（定义转化） 设是抛物线上一点： ，焦半径； ，焦半径； ，焦半径； ，焦半径。 本质：利用定义，抛物线上点到焦点距离等价于到准线距离。 【即学即练】 已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 知识点 4：椭圆、双曲线、抛物线定义对比 表格 曲线 几何条件 椭圆 到两定点距离之和为定值 双曲线 到两定点距离差的绝对值为定值 抛物线 到定点与定直线距离相等（定点不在定直线） 【即学即练】 已知，曲线，则（   ） A．当，时，曲线C表示两条直线 B．当，时，曲线C表示圆 C．，曲线C过原点 D．，曲线C不能表示抛物线 【答案】D 【分析】对于A，B选项，讨论为奇数和偶数的不同情况，来判断正误；利用反证法判断C选项；根据抛物线的方程特征来判断D选项. 【详解】A选项：当时，当为偶数时，，方程化为，即，确实是两条直线； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示两条直线， 因此A错误； B选项：当时，当为偶数时，，方程化为，表示圆； 当为奇数时，，方程化为，无实轨迹，不表示圆，故B错误； C选项：若曲线过原点，代入方程得，即，矛盾，不存在这样的，故C错误； 抛物线的方程特征是：仅含一个二次项，另一变量为一次项， 而本题方程中，和都是二次项，若要表示抛物线，必须有一个二次项系数为0， 若，则，方程为，仅能表示两条直线或无实轨迹； 若，则，方程为，也仅能表示两条直线或无实轨迹， 因此对任意，曲线都不能表示抛物线，故 D正确. 题型 01抛物线定义辨析 【典例1】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 【变式1】已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 【变式2】已知点满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解． 【详解】因为表示点到点的距离，表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立． 故选：B． 【变式3】若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 题型 02由标准方程求焦点、准线、参数p 【典例1】已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】由抛物线顶点到准线距离等于，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的顶点到其准线的距离与抛物线的顶点到其准线的距离相等，即． 抛物线的顶点为坐标原点， 准线方程为， ，解得． 【变式1】点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解. 【详解】点在抛物线上，代入可得：， 解得：，所以焦点到准线的距离为. 【变式2】  已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 【变式3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（     ） A． B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程为 D． 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式和中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；由，在直线上及中点坐标公式得到，从而得到，利用抛物线的定义求出，从而得到，判断D正确. 【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线的方程为，抛物线准线方程为，故B错误； 则，． 又是的中点，则，所以， 即，所以直线的方程为．故C正确； ，在直线上，，， ，， ，， ．故D正确. 故选：ACD． 题型 03：利用条件求抛物线标准方程（高频） 【典例1】抛物线的对称轴为轴，顶点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点.求的方程. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点与系数的关系求解即可. 【详解】因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上， 又直线与轴的交点为，所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为：. 【变式1】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 【变式2】分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解. （2）由已知, 设出圆C方程，代入原点和，可得的值,即可求得圆C的方程. 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为， 故，则， 故抛物线标准方程为. （2）因为圆C的圆心在轴上， 则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和， 由已知，解得， 所以圆C方程为.    【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线C的焦点为F，A，为抛物线C上两个不同的动点.当时，.求抛物线C的方程. 【答案】 【详解】由抛物线的定义知：， 因为，，则，即，所以抛物线的方程为. 题型 04：焦半径公式的应用（定义转化） 【典例1】过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 【变式1】设抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线的方程为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】对于直线的方程为，令，则， ，， 即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得， . 【变式2】  已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 题型 05：轨迹问题（利用抛物线定义求轨迹方程） 【典例1】当参数随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】配方得顶点坐标，消参即可得解. 【详解】抛物线方程可化为， 它的顶点坐标为， 消去参数得：. 故答案为：. 【变式1】若动点到轴的距离比到点的距离小1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题干信息，写出点到轴的距离和两点间的距离，化简求得轨迹方程； 【详解】由于到轴的距离比到点的距离小1，则， 当时，，化简得； 当时，，化简得； 故选：AC. 【变式2】 若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式3】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 题型 06：抛物线定义的最值问题 【典例1】抛物线上有一动点P，其焦点为，，则的最小值为________． 【答案】16 【分析】由抛物线的定义将转化为，则有三点共线时取最小值. 【详解】由题意得，准线为，过向准线作垂线，垂足为，且有， 因为，则， 所以当三点共线时，最小，如图： 即. 【变式1】已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 【答案】8 【分析】结合抛物线的定义将抛物线上动点到焦点的距离转换成到准线的距离，进而可求解. 【详解】对于抛物线，得，即，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ， 因此 ， 又，点在抛物线内部， 的最小值为点到准线的距离， 计算得， 故的最小值是8. 【变式2】已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知抛物线，其焦点为，定点，动点在抛物线上，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线， 点为准线与轴的交点，作于点， 则．， 则 ，当且仅当，即时取等号. 则的最大值为. 1．已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解. 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 2．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 3．已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，根据抛物线的定义求出，则，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值． 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为，所以，则， 因为，所以的最小值为1． 故选：D. 4．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 5．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 6．已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 7．已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 8．在平面直角坐标系中，点集.若中的个不同的点满足：为的中点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出的图象，且分析出大致位置，则可设出，，结合，且中点的坐标也符合方程，联立后即可求出，进而求出点的坐标. 【详解】设集合的方程可写成， 由题意，点应在负半轴上，点应该在抛物线上，如图所示： 不妨设，，则中点， 因为，得， 因为点是集合内一点，则有，即， 两边同时平方得， 联立，解得，，则有点， 故选：B. 9．已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．曲线C可以是圆 B．若，则曲线C为椭圆 C．曲线C不可能表示抛物线 D．若曲线C为双曲线，则或 【答案】B 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解． 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误： 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确． 对于C，当且时，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：B 10．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 1．设曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1，且是该曲线上一动点，点，则的最小值为___________. 【答案】8 【分析】根据抛物线的定义求得曲线的轨迹方程为，再结合抛物线的定义求解最值即可. 【详解】因为曲线C上任意一点到直线的距离比它到点的距离大1， 所以曲线C上任意一点到直线的距离等于它到点的距离， 所以，根据抛物线定义可知曲线的轨迹为抛物线，焦点为，准线方程为， 所以曲线的轨迹方程为， 过作于，则，所以， 当且仅当三点共线，且时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 2．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 3．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 【答案】 【详解】 如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时，取得最小值，所以，则， 此时点的坐标为． 4．已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】/ 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 6．已知抛物线与的公共点为.若两条抛物线的焦点到直线的距离相等，且两焦点之间的距离为，则________，________. 【答案】 【分析】根据条件，建立关于的方程组，求出，再联立抛物线方程，求出交点坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 由题有，又，解得，所以， 由，解得或，所以，则. 7．已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 8．已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案. 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8， 因为点A到y轴的距离为6，所以，即. 故答案为： 9．设（分别是x、y轴正方向上的单位向量），且． (1)求点的轨迹C的方程； (2)过点作直线l交曲线C于A、B两点，若，求证：四边形OAPB为矩形． 【答案】(1) (2)证明：由可知四边形为平行四边形，要证其为矩形，只需证即可，即证. 设， 当轴时，， ，即； 当不与轴垂直时， 设的斜率为，易知，且方程为，② 将②代入轨迹的方程得：. 由根与系数关系得，， 所以， 所以，所以，故得证． 【分析】(1)先计算向量和的模长，因为，所以对模长平方后化简，得到的关系式，即为轨迹的方程. (2)设直线的方程，分斜率存在和不存在两种情况，将直线方程与曲线的方程联立，得到关于或的一元二次方程，利用韦达定理得到交点坐标的和与积.计算向量，如果，那么，结合可知四边形是平行四边形，即可证明其为矩形. 【详解】（1）由已知，即， 整理得. （2）略 10．已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）略 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求； （2）设的坐标，利用对称性得出，，结合韦达定理求范围. 【详解】（1）由题意可设点，则，得， 因为，所以，得，解得或， 故抛物线的方程为或. （2）若 ，则抛物线的方程为，设，， 若，则，此时不合题意； 若，由于，两点关于直线对称， 故，可得， 则线段中点的纵坐标为，将其代入 中，可得， 又，可得， 则， 则为方程的两个不相等的实数根， 故，所以或， 即的取值范围为. 12．已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 【答案】 【分析】首先设，，再根据中点坐标公式，找到两点坐标的关系，利用代入法，即可求轨迹方程. 【详解】设，，因为点P在抛物线上，所以①. 因为，所以P为RQ的中点，即②，将②代入①中可得C的方程为. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $