2.3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养.　3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的定义 问题1.如图所示，先将一把直尺固定在画板上，再把一个三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示：点P运动的过程中，始终有｜PF｜＝｜PB｜，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似. 抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M｜｜MF｜＝d}，d为点M到直线l的距离 [微提醒]　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. (1)在平面直角坐标系内，到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 (2)已知动点M(x，y)的坐标满足方程5＝，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)设到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点为P(x，y)，由题意得＝，两边平方化简得(x－1)2＝0，即x＝1，即到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹方程为x＝1，为一条直线.故选A. (2)等式5＝＝，因此该等式表示动点M(x，y)到原点O(0，0)的距离等于到定直线3x＋4y－12＝0的距离，而直线3x＋4y－12＝0不过原点O(0，0)，所以动点M的轨迹是抛物线.故选C. 利用抛物线的定义处理与之相关的轨迹或轨迹方程问题，处理过程中要注意定点是否在定直线上. 对点练1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 答案：A 解析：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A. 学生用书⬇第67页 任务二　抛物线的标准方程 问题2.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？ 提示：我们取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p＞0)，则｜KF｜＝p(p＞0)，焦点F，准线l的方程为x＝－.设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足｜MF｜＝d.因为｜MF｜＝，d＝，所以＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0). 抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ [微提醒]　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)及其系数的符号.(3)解题时首先把方程化为标准方程. 角度1　求抛物线的标准方程 (链教材P70例1)根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，所以抛物线焦点在y轴的正半轴上， 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0).又＝2，所以2p＝8， 所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0). 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 1.抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 2.求抛物线标准方程时应注意的问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系. (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数. (3)注意p与的几何意义. 对点练2.根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点为F(0，－4)； (2)焦点到准线的距离为. 解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且－＝－4，即p＝8. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－16y. (2)由焦点到准线的距离为，所以p＝， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y. 角度2　根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程 (链教材P71例2)求下列抛物线的焦点坐标、准线方程： (1)y2＝x；(2)x2＝－y； (3)x2＋12y＝0；(4)y2＝ax(a≠0). 解：(1)对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上， 焦点坐标为，准线方程为x＝－. (2)对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为，准线方程为y＝. (3)对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y， 焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为(0，－3)，准线方程为y＝3. (4)当a＞0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝a，所以p＝，＝，因此焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 当a＜0时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝－a，所以p＝－，＝－，因此焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 综上可得，当a≠0时，抛物线的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程的基本方法 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p＞0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数为负，焦点在负半轴. 对点练3.(双空题)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　　，准线方程为　　　　. 答案：2　x＝－1 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. 学生用书⬇第68页 任务三　抛物线定义的应用 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以距离之和的最小值为＝. [变式探究] 1.(变条件，变设问)若将本例中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线y2＝2x的内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知， 当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是. 即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. 2.(变条件，变设问)若将本例中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解：如图所示， 作PA1垂直于直线l1于点A1，作PQ垂直于准线l于点Q，｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜. ｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1. 1.抛物线定义的两种应用 实现距离转化 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 续表 解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 2.标准方程下的焦半径公式 抛物线 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦半径公式 x0＋ －x0 y0＋ －y0 由抛物线的焦半径公式可知，抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为，此时该点为坐标原点. 对点练4.已知抛物线的方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为　　　　. 答案：－1 解析：由抛物线的方程为y2＝－4x，得其焦点F(－1，0)，准线方程为x＝1.如图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则｜AH｜＝n.过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则｜AB｜＝m，｜AC｜＝m＋1.根据抛物线的定义可知，｜AF｜＝｜AC｜＝m＋1，所以m＋n＝｜AF｜＋｜AH｜－1.过点F作直线l的垂线，垂足为H1，则｜FH1｜＝＝.当点A为垂线段FH1与抛物线的交点时，｜AF｜＋｜AH｜最小，最小值为｜FH1｜＝，此时m＋n取得最小值－1. 任务再现 1.抛物线的定义.2.抛物线的标准方程.3.抛物线定义的应用 方法提炼 待定系数法、定义法、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 混淆抛物线的焦点位置和方程形式；错误理解p的含义 1.抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 答案：C 解析：将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.故选C. 2.已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A.x2＝－12y B.x2＝12y C.y2＝－12x D.y2＝12x 答案：A 解析：因为＝3，所以p＝6，所以x2＝－12y.故选A. 3.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为　　　　　　　　. 答案：(－9，6)或(－9，－6) 解析：设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6). 4.已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则｜MF｜＋｜MP｜的最小值为　　　　. 答案：7 解析：因为点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，所以＝4，解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2＝16y.由抛物线的定义知：点M到点F(0，4)的距离等于点M到准线y＝－4的距离，结合点P(2，3)与抛物线C的位置关系可知，｜MF｜＋｜MP｜的最小值是点P(2，3)到准线y＝－4的距离，故｜MF｜＋｜MP｜的最小值为7. 课时分层评价17　抛物线及其标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.若抛物线x2＝ay的焦点坐标为(0，1)，则其准线方程为(　　) A.x＝－1 B.x＝1 C.y＝－1 D.y＝1 答案：C 解析：由题意可知该抛物线开口向上，又焦点坐标为(0，1)，所以准线方程为y＝－1.故选C. 2.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案：D 解析：由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义. 3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为(　　) A.13 B.12 C.10 D.8 答案：A 解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d'，如图所示，则＋＋＝＋d＋≥d'＋5＝8＋5＝13.故选A. 4.(多选题)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A.y2＝x B.x2＝8y C.x2＝－8y D.y2＝－8x 答案：AC 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0).又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC. 5.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p＞0)上的三点，点F是抛物线y2＝2px的焦点，且｜P1F｜＋｜P3F｜＝2｜P2F｜，则(　　) A.x1＋x3＞2x2 B.x1＋x3＝2x2 C.x1＋x3＜2x2 D.x1＋x3与2x2的大小关系不确定 答案：B 解析：由｜P1F｜＋｜P3F｜＝2｜P2F｜，得＋＝2，即x1＋x3＝2x2.故选B. 6.(多选题)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长可以为(　　) A.8 B.9 C.10 D.12 答案：BC 解析：由题意知抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，根据抛物线的定义可得｜AF｜＝xA＋2.又圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长＝｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12).故选BC. 7.已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则｜AB｜的最大值为　　　　. 答案：6 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，那么｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2，由图可知｜AF｜＋｜BF｜≥｜AB｜⇒｜AB｜≤6，当AB过焦点F时取最大值为6. 8.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝　　　　. 答案：2 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝⇒p＝2. 9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－的最大值为　　　　. 答案： 解析：如图所示，F为抛物线C的焦点，F(1，0)，由抛物线的定义知，d＝｜PF｜，所以d－＝｜PF｜－≤＝＝，当点P为射线FA与抛物线C的交点时，取最大值. 10.(13分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 解：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则｜MN｜＝｜MF｜＝5， 而｜MN｜＝3＋＝5，即p＝4. 所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2距离之和的最小值是(　　) A.2 B.3 C. D.＋1 答案：B 解析：由题可知x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，如图所示，设抛物线的焦点为F，则F(1，0)，所以动点P到l2的距离等于P到x＝－1的距离加1，即动点P到l2的距离等于｜PF｜＋1.所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离加1，即其最小值是＋1＝3.故选B. 12.(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件，其中满足抛物线方程为y2＝10x的是(　　) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 答案：BD 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，故B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝≠6，故C不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，故D满足.故选BD. 13.(双空题)已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F相交，记上方的交点为B，则m＝　　　　；△FAB周长的取值范围为　　　　　　　. 答案：2　(4，6) 解析：如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，由 解得所以m＝2.由所以A， 由所以B(t，1＋)，由抛物线的定义得｜AF｜＝｜AC｜，所以△FAB周长＝｜FA｜＋｜FB｜＋｜AB｜＝｜AC｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝｜BC｜＋2＝＋4.因为t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6). 14.(15分)已知抛物线y2＝4ax(a＞0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点. (1)求｜AM｜＋｜AN｜的值； (2)是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以xM＋xN＝2(4－a)，所以｜AM｜＋｜AN｜＝8. (2)不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜. 过点P作PP'垂直于抛物线的准线，垂足为P'(图略). 因为｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，所以｜AP｜＝｜PP'｜. 由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，所以这样的a不存在. 15.(5分)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 答案：D 解析：连接PC1(图略)，因为几何体ABCD -A1B1C1D1是正方体，所以直线C1D1⊥侧面BB1C1C，所以C1D1⊥PC1，则｜PC1｜为点P到直线C1D1的距离.又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，所以动点P的轨迹所在的曲线是抛物线.故选D. 16.(17分)如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离.现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在的曲线方程； (2)变电房M应建在相对于A地的什么位置(方向和距离)才能使得架设电路所用电线长度最短？求出最短长度. 解：(1)如图所示，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，由｜BO｜＝2，知p＝4，故曲线形公路PQ所在的曲线方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即｜MA｜＋｜MB｜最小，如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H， 由抛物线定义得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜， 当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值. 即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M. 所以变电房M应建在A地正南方向，且与A地相距 km的位置上，才能使得所用电线长度最短，最短长度为6 km. 学生用书⬇第69页 学科网（北京）股份有限公司 $