第2章 3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质(二)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦抛物线的轨迹问题、定义应用及实际应用三大核心知识点，从抛物线定义出发，通过轨迹问题巩固概念，再利用定义转化解决最值问题，最后结合实际情境应用，构建“定义-轨迹-应用-实践”的学习支架。 该资料突出数学思维转化与数学眼光观察现实世界，如例3通过隧道问题引导学生用抛物线模型解决实际问题，跟踪训练2利用定义转化求最值培养逻辑推理能力。课时对点练分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第2课时　抛物线的简单几何性质(二) 学习目标　1.掌握与抛物线有关的轨迹问题.2.会利用抛物线定义求解相关的最值问题.3.能利用抛物线方程解决一些实际问题. 一、与抛物线有关的轨迹问题 例1　(课本例4)　已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x+6＝0的距离小2，求点M的轨迹方程. 解　如图，点M到点F(4，0)的距离比它到直线l：x+6＝0的距离小2，即“点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l'：x+4＝0的距离”.由此可知，点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，以直线l'：x＝－4为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是 y2＝16x. 例1　已知点A(1，0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是　　　　. 答案　y2＝4x 解析　设点M的坐标为(a，0)，点N的坐标为(0，b)，点P的坐标为(x，y)，则＝(－1，b)，＝(－a，b)， ∴·＝a＋b2＝0⇒a＝－b2， 而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)， ∴＝2⇒⇒ 代入a＝－b2可得y2＝4x. 反思感悟　求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程. 跟踪训练1　平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 解　方法一　设点P的坐标为(x，y)， 则有＝|x|＋1. 两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|. 即y2＝ 故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 方法二　由题意知动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点符合题意； 当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 二、抛物线定义的应用 例2　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标. 解　如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时取等号. 所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2， 所以P点坐标为(2，2). 反思感悟　解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2　若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离. 解　设抛物线焦点为F，连接AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA'，BB'，MM'垂直于l，垂足分别为A'，B'，M'. 由抛物线定义，知|AA'|＝|FA|，|BB'|＝|FB|. 又M为AB中点，由梯形中位线定理， 得|MM'|＝(|AA'|＋|BB'|) ＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝. 则x≥＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1， 即M点到y轴的最短距离为1. 三、抛物线方程的实际应用 例3　(课本例6)　某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图(单位：m).某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由. 解　如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3). 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0). 将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3. 所以抛物线的标准方程为x2＝－3y. 将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5. 这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道. 例3　如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，求水面的宽度. 解　建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 则A(2，－2)， 将其坐标代入x2＝－2py得p＝1. 所以x2＝－2y. 当水位下降1 m时， 得D(x0，－3)(x0>0)， 将其坐标代入x2＝－2y得＝6， 所以x0＝，所以水面宽|CD|＝2(m). 反思感悟　解决抛物线实际应用问题的五个步骤 跟踪训练3　某桥的桥形可近似地看成抛物线(如图所示)，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线为x2＝－2py(p>0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝. 1.知识清单： (1)轨迹问题. (2)抛物线定义的应用. (3)抛物线的实际应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致误. 1.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 答案　B 解析　由抛物线的方程得准线方程为x＝－2，根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6. 2.已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A.x2＝－y B.x2＝y C.x2＝4y D.x2＝－4y 答案　B 解析　设M的坐标为(x，y)， 由题意可知B(2x，2y＋1)， 动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动， 所以2y＋1＝2(2x)2＋1，所以x2＝y. 所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2＝y. 3.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是(　　) A. B.2 C. D. 答案　D 解析　依题意设P在抛物线准线上的投影为P'，抛物线的焦点为F，则F(1，0).由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|＝|PF|，则点P到点A(0，－1)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝. 4.苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，与门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米，则“东方之门”的高度约为(　　) A.150米 B.200米 C.250米 D.300米 答案　B 解析　以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－8)在抛物线上，所以82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，将x＝40代入抛物线的方程可得y＝＝－200.故“东方之门”的高度均为200米. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，∴y0＋4＝3y0，解得y0＝2. 2.在平面直角坐标系中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是(　　) A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 答案　A 解析　设P(x，y)，M(－1，2)，N(1，0)， ＝(－1－x，2－y)，＝(1，0)， ＝(1－x，－y)，因为|·|＝||， 所以|1＋x|＝， 整理得y2＝4x. 3.(多选)已知平面内到定点F(0，1)比它到定直线l：y＝－2的距离小1的动点的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是(　　) A.曲线C的方程为x2＝4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2 D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d>2 答案　AB 解析　由题意可知，动点到定点F(0，1)与它到定直线l1：y＝－1的距离相等，由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，所以A，B正确；由x2＝4y知y≥0，点P到直线l的距离d≥2，所以C，D错误. 4.已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设点P到准线y＝－的距离为d， 则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离， 故最小值为2＋. 当PB垂直于准线时取最小值. 5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该卫星接收天线的口径|AB|＝6，深度|MO|＝2，信号处理中心F位于焦点处，若P是该拋物线上一点，抛物线开口内有一点Q，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　B 解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，因为|AB|＝6，|MO|＝2，所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－，如图，过点P作PP'垂直于准线，垂足为P'，过点Q作QQ'垂直于准线，垂足为Q'，则|PF|＝|PP'|，所以|PF|＋|PQ|＝|PP'|＋|PQ|≥|QQ'|＝＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3. 6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 答案　B 解析　若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)， 代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2， 所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1). 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 7.(5分)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝　　　　. 答案　1 解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. 8.(5分)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－6)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是　　　　，此时点M的坐标为　　　　. 答案　6　 解析　设M在直线y＝－1上的射影为P，因为|MF|等于M到直线y＝－1的距离，连接MC，AC(图略)，则有|MC|－1≤|MA|≤|MC|＋1，所以|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MP|≥|MC|－1＋|MP|≥|PC|－1，所以当M，P，C(A在线段MC上)三点共线时，|MA|＋|MF|有最小值，此时|MA|＋|MF|＝|PC|－1＝6＋1－1＝6，xM＝xC＝－1， 所以yM＝，所以M. 9.(10分)某花卉博览会的主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度. 解　如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A(－6，－6)， B(6，－6)， 设该抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 代入A点，得36＝－2p·(－6)， 解得p＝3， 故该抛物线方程为x2＝－6y， 令x＝4，y＝－，∴E， ∴|EF|＝6－2－， 故所搭建舞台的最大高度为米. 10.(10分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程.(6分) 解　(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5， 所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 则 即 而点P(x0，y0)在抛物线C上， 所以＝8x0， 所以(2y)2＝8(2x－2)， 即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). 11.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是(　　) A.2 B.－1 C. D.－1 答案　D 解析　设圆心(－1，4)关于直线对称的点为C(x，y)， 则解得 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)， 故|MC|＝ ＝， 当a2＝时，|MC|有最小值为， 故|MN|的最小值为－1. 12.(多选)抛物线y2＝6x的焦点为F，P为抛物线上的动点，若点A在抛物线内，且满足|PA|＋|PF|的最小值为，则|AF|的值可以为(　　) A. B.3 C. D. 答案　BC 解析　如图所示，易知F，抛物线的准线为x＝－， 过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于P'， 由抛物线的定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AB|，当且仅当A，P，B三点共线，即P，P'重合时取得最小值，此时|AB|＝xA－，解得xA＝3， 又A在抛物线内，故<3×6＝18， 所以xA－≤|AF|＝<，即|AF|∈. 13.(5分)如图所示，一辆卡车高|EE'|＝3 m，宽|EF|＝1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口|AB|恰好是拱高|CD|的4倍，若拱口宽为a m，则能使卡车通过的a的最小整数值为　　　　. 答案　13 解析　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为. 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， ∵点B在抛物线上，∴＝－2p·， 解得p＝，∴抛物线方程为x2＝－ay. 将点(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－. ∴点E到拱口AB的距离3<－|y|＝. 当a＝12时，<3；当a＝13时，>3， 且随a的增大而增大， ∴a的最小整数值为13. 14.(5分)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，定点A(1，2)和动点P都在抛物线C上，点B(2，0)，则的最大值为　　　　. 答案　 解析　因为点A(1，2)在抛物线上， 所以4＝2p，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1，0). 设动点P(x，y)(x≥0)，则y＝±2， 不妨令P(x，2)，结合抛物线的定义可知x＝|PF|－1， 当x＝0时，P(0，0)，＝0； 当x>0时，≤，当且仅当x＝2时取等号. 综上可知，的最大值为. 15.(多选)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长可以为(　　) A.8 B.9 C.10 D.12 答案　BC 解析　由题意知抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，根据抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2.又圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12).故选B，C. 16.(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程. 解　抛物线的准线为l：x＝－. ①当点A在抛物线内部时，42<2p·， 即p>，过M作MM'⊥l，垂足为M'， 则|MF|＋|MA|＝|MM'|＋|MA|. 当A，M，M'共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5， 即＝5， 所以p＝3，满足p>， 所以抛物线方程为y2＝6x. ②当点A在抛物线外部时，42>2p·， 即p<，|MF|＋|MA|≥|AF|， 当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5， 即＝5， 所以p＝1或p＝13(舍)， 所以抛物线方程为y2＝2x. ③当点A在抛物线上， 即p＝时，结合②明显不成立. 综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x. 学科网（北京）股份有限公司 $