1.5 全称量词与存在量词 讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词（所有、任意等，符号∀）与存在量词（存在、至少等，符号∃）的概念、命题形式（∀x∈M,p(x)和∃x∈M,p(x)）、真假判断方法及否定规则（改变量词否定结论），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以考向为纲设计内容，涵盖命题判断、改写、真假分析及参数求解等题型，通过例题与对点练习结合，培养学生数学眼光（抽象量词符号）、数学思维（推理命题真假）和数学语言（符号表达命题）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.5全称量词与存在量词 知识归纳与题型总结 考点01 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 考向01 判断命题是否为全称命题 【例1】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】直接根据是否含有全称量词判断可得. 【详解】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 考向02 用全称命题改写命题 【例2】全称量词命题 语句中变量的取值范围为集合，则语句“对的任一个元素，有成立”是命题，叫作全称量词命题.可用符号简记为“________”. 【答案】 【详解】略 考向03 判断命题是否为特称（存在性）命题 【例3】下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 考向04 用存在命题改写命题 【例4】存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”． 【答案】， 【解析】略 【对点1】全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”． 【答案】， 【详解】略 【对点2】（多选）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，命题，存在量词以及全称量词的定义求解即可. 【详解】因为，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 【对点3】下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 【对点4】用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 【答案】(1)，； (2)，，，使得； (3)，则． 【详解】（1），； （2），，，使得； （3），则． 考点02 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 注：常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 考向01 判断全称命题的真假 【例1】对于全称量词命题“，”： (1)要证明它是真命题，需对集合中的____，证明成立； (2)要判断它是假命题，只要在集合中找到____，使不成立即可.(通常举反例) 【答案】 任意一个元素 一个元素 【详解】略 考向02 根据全称命题的真假求参数 【例2】已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 考向03 判断特称（存在性）命题的真假 【例3】判断下列命题的真假： (1)； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P. 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)真命题 【详解】（1）因为－1∈Z，且(－1)3＝－11，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． （2）存在一个四边形不是平行四边形是真命题，如梯形． （3）在平面直角坐标系中，有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知， 任意有序实数对都对应一点P是真命题． 考向04 根据特称（存在性）命题的真假求参数 【例4】若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 【对点1】下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 【对点2】若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 【对点3】对于存在量词命题“”： (1)要证明它是真命题，只需在集合中找到____，使成立即可.(通常举正例) (2)要判断它是假命题，需对集合中____，证明不成立. 【答案】 一个元素 任意一个元素 【详解】略 【对点4】已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 考点03 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 注：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 考向01 全称命题的否定及其真假判断 【例1】命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定为“”. 考向02 特称命题的否定及其真假判断 【例2】命题“”的否定是________. 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定形式求解即可. 【详解】命题“”的否定形式为“”. 考向03 含有一个量词的命题的否定的应用 【例3】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义直接得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 【对点1】写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)； (2)所有的正方形都是矩形； (3)对任意，的个位数字不等于3； (4)正数的绝对值是它本身． 【答案】(1)，假命题. (2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)至少存在一个，的个位数等于3，假命题. (4)有的正数的绝对值不是它本身，假命题. 【详解】（1）命题“”的否定是“”， 由于，则，所以原命题的否定是假命题. （2）命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“至少存在一个正方形不是矩形”， 由于所有的正方形都是矩形，所以原命题的否定是假命题. （3）命题“对任意，的个位数字不等于3”的否定是“至少存在一个，的个位数等于3”， 由于整数平方的个位数字只能是，不可能为，所以原命题的否定是假命题. （4）命题“正数的绝对值是它本身”的否定是“有的正数的绝对值不是它本身”， 由于所有正数的绝对值都等于它本身，所以原命题的否定是假命题. 【对点2】写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些分数不是有理数． (2)，. (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． (4)有些梯形的对角线相等． 【答案】(1)任意分数都是有理数，真命题 (2)，，假命题 (3)在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，假命题 (4)所有梯形的对角线不相等，假命题． 【详解】（1）该命题的否定：任意分数都是有理数，这是一个真命题． （2）该命题的否定：，，当时，.因此这是一个假命题． （3）该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，比如没有实数解，这是一个假命题． （4）该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯形的对角线相等，因此这是一个假命题． 【对点3】已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题否定的定义改变量词，否定结论即可. 【详解】命题p：的否定为：， 故选：C. 考点04 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 注：命题p与p的否定的真假性相反. 一、选择题 1．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 2．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 3．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 4．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 5．已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】利用作差法可判断命题，解方程可判断命题，即可得出合适的选项. 【详解】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 6．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 7．已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析可得命题为真命题，命题为真命题，再由逻辑联结词“且”可得，两个命题同为真时，复合命题才能为真. 【详解】由题可知若，解得，即当时，，， 故命题为真命题，为假命题； 对于，，故，， 故命题为真命题，为假命题； 再根据逻辑联结词且联结的两个命题同真为真，有假则假，故为真命题. 故选：A. 8．使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 9．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 10．如果函数的定义域为R，且满足对任意的，均有，则称这样的函数具有“性质P”.有如下两个命题： 命题α：若函数具有“性质P”，且，则； 命题β：“函数对任意的，，均有”是“具有性质P”的充要条件． 关于两个命题的真假判断正确的是（     ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 【答案】D 【分析】先根据性质推出，进而判断命题真假，再通过性质证明必要性成立，结合满足该式的函数形式判断充分性成立，从而确定命题真假. 【详解】 由题意可知，性质：对任意，， 所以对任意实数和整数，， 因为，则：， 所以，因此命题为假， 若具有性质，令，则， 又因为，所以， 因此：， 两边取绝对值得，必要性成立， 满足对任意，，则， 无法保证符号始终为正，也就无法推出可加性， 构造符号函数，使得对任意， 始终满足，同时存在使得： ， 即满足对任意a,b成立，但不满足性质， 因此，由无法推出具有性质， 充分性不成立，命题为假命题. 二、填空题 11．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 12．已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 13．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 14．若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由对任意恒成立，变换，根据三角函数的值域即可得到答案. 【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 15．设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③ 【详解】1.当时，恒成立，与条件矛盾， 解得或，所以不在中； 2. 当，即时 有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 3. 当，即时，有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 综上所述 是开口向上的二次函数，在上不可能恒为负，所以， 对于①，且 ，①错误； 对于②，且 ，②正确； 对于③，若，则且，③正确； 对于④，若且，则或，④错误． 三、解答题 16．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 【答案】(1)全称量词命题，是真命题．命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)全称量词命题，是假命题， 命题的否定： (3)存在量词命题，是真命题，命题的否定： (4)全称量词命题，是假命题，命题的否定：，方程无解或至少有两解 【详解】（1）该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． （2）该命题是全称量词命题，是假命题． 因为， 所以当时，， 该命题的否定：． （3）该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当时，， 该命题的否定：． （4）该命题是全称量词命题，是假命题． 当时，方程才恰有一解． 该命题的否定：，方程无解或至少有两解． 17．（1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 18．若命题“，使得方程成立”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由题意，分和两种情况讨论 【详解】由题意得，关于x的方程有实数根， 当时，方程为，显然有实数根，满足题意； 当时，，解得，且. 综上知，实数a的取值范围是． 19．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 20．已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.5全称量词与存在量词知识归纳与题型总结 思 图 全称量词与全称量词命题 全称量词与存在量词 存在量词与存在量词命题 全称量词命题的真假判断 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 存在量词命题的真假判断 全称量词与存在量词 全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题与存在量词命题的否定 对全称量词命题否定的两个步骤 对存在量词命题否定的两个步骤 命题的否定与原命题的真假 命题的否定与原命题的真假 命题否定的真假判断 培 优 考点01全称量词与存在量词 考点梳理 1. 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词 含有全称量词的命题 命题 形式 “对M中任意一个x,有p)成立”，可用符号简记为 x∈M,px 1/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 3 存在量词 命题 含有存在量词的命题 “存在M中的一个x,使px)成立”可用符号简记为 形式 “3x∈M,p 典例引领 考向01判断命题是否为全称命题 【例1】下列命题中，不是全称量词命题的是() A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.一定存在没有最大值的二次函数 考向02用全称命题改写命题 【例2】全称量词命题 语句P( 中变是”的取值范围为集合M,则语句“对M的任一个元素x,有P( 成立” 是命题，叫作全称量词命题可用符号简记为“ 考向03判断命题是否为特称（存在性）命题 【例3】下列命题中，是存在量词命题的是() A.正方形的四条边相等 B.有三个角是60°的三角形是等边三 角形 C.正数的平方根不等于0 D.至少有一个正整数是奇数 2/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向04用存在命题改写命题 【例4】存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“3”表示 (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. (3)存在量词命题的表述形式：存在M中的一个，使P(,） 成立，可简记为： p(xo) 读作“存在M中的元素，使 成立” 一对点提升 【对点1】全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“廿”表示 (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. (3)全称量词命思的表述形式：对M中任意一个，有() 成立，可简记为： 读作“对任意属于M,有P() 成立” 【对点2】（多选）已知集合1={x≥，B=x>2 则() A.3x∈A,x∈B B.3x∈B,xA C.x∈A,xEB D.x∈B,x∈A 【对点3】下列是存在量词命题且是真命题的是() x∈R,x2≥0 B. 3x∈Z,x2>0 A. c.reN,x∈N D.3xy∈R,x2+y2<0 【对点4】用符号“廿”与“3”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0： 3/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 (2)存在一对实数对，使2x+3y+3<0成立： (3)勾股定理. 考点02全称量词命题与存在量词命题的真假判断 考点梳理 1.全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成 立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x,使得其不成立即可， 这就是通常所说的举一个反例. 2.存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个使之成立即 可，否则这个存在量词命题就是假命题 注：常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任 给”、“全部”，表示整体或全部的含义， 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或 一部分的含义， 典例引领 考向01判断全称命题的真假 【例1)对于全称量词命题“xM,p(),: (a要证明它是真命题，需对集合M中的一，证明P() 成立： 2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一，使 p(xo). 不成立即可（通常举反例） 考向02根据全称命题的真假求参数 【例2】己知命题P:“x之3，使得2x-1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是 4/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向03判断特称（存在性）命题的真假 【例3】判断下列命题的真假： (1)ezx<1 (2)存在一个四边形不是平行四边形： 3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,)都对应一点卫 考向04根据特称（存在性）命题的真假求参数 【例4)若命题“0≤x≤1，使得3x-a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是一， 对点提升 【对点1】下列全称命题中是真命题的个数是() ①所有偶数都能被2整除； ②所有的奇数都能被3整除； ③任意实数的平方都不小于零， A.0 B.1 C.2 D.3 【对点2】若命慰“已知”=-1次R,有m≤y”是真命题，则实数m的取值范国是 () A.m≥1 B.m≥-1 C.m≤-1 D.（∞，-) 【对点3】对于存在量词命题。式M,p(）, (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一，使P( 成立即可（通常举正例） 2)要判断它是假命题，需对集合M中一，证明P() 不成立 5/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 P:3x∈R,ax2+2x-1=0 【对点4】已知命题 为真命题设实数”的取值集合为A, (1)求实数a的取值集合A: (2)设集合B={x3m<x<m+2),若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值 范围。 考点03全称量词命题与存在量词命题的否定 考点梳理 1.全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p:x∈Mpx)的否定：3x∈M,p(x);全称量词命题的否定是在在量 词命题 (2)存在量词命题p:3x∈M,p(x)的否定：Vx∈M,一pw);存在量词命题的否定是全称量 词命题 2.对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.即：全称量词()一一→存在量词(). ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。 3.对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.即：存在量词()一一→全称量词(). ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等， 注：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”· 典例引领 考向01全称命题的否定及其真假判断 【例1】命题“r>0,lhx>0”的否定为() A.x>0,lnx≤0 B.x≤0，nx≤0 C.3x>0,lnx≤0 0 3x≤0，lnx≤0 6/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向02特称命题的否定及其真假判断 【例2】命盟。6∈R,元++1<0”的否定是 考向3含有一个量词的命题的否定的应用 【例3】命题.r<0,k+2≥2 的否定为() 3x<0,x+2<2 8 3x≥0，x+2<2 A. x<0,x+2<2 x≥0，x+2<2 对点提升 【对点1】写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： -2 (2)所有的正方形都是矩形： (3)对任意x∈Z,x的个位数字不等于3： (4)正数的绝对值是它本身 【对点2】写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些分数不是有理数. 3x,y∈Z3x-4y=20 (2） (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解。 (4)有些梯形的对角线相等. 【对点3】已知命题p:x>2,x2-1≥0，则P是() A.3x≤2，x2-1>0 B.3x≤2，x2-1<0 7/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.3x>2,x2-1<0 D.x≤2，x2-1≤0 考点04命题的否定与原命题的真假 考点梳理 1.命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假 2.命题否定的真假判断 (I)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提： (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命 题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真 注：命题p与p的否定的真假性相区 能力提升 一、选择题 1.若命题“x∈R,都有x2+4x-1≠0”为假命题，则实数m的取值范围为() A.（-4,0) c.[-4,+o） D.[4,0] 2.金思3xG23),-2x-a≤0”为真命题的个充分不必要条件是（) A.a>0 B.a>-1 c.a20 D.a2-1 3.若命题“3xeR,使得mx2-2mx-320”是假命题，则实数m的取值范围是（) A.[-3,0) B.(-3,0) c.[-3,0] D.(-3,0] 8/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.若命题P,“x,2,m≤+1”为假命题，实数m的取值范围() A.[1,+0) B.（-∞，2] c.(L,+∞) D.（∞，5] 5.已知命题p:x∈R,x2>x-1,命题9：3x<0,x3=-x则(） A.P和9都是真命题 B.一P和9都是真命题 C.P和一9都是真命题 D.一P和一g都是真命题 6,若命题：∈R.+6+m<0 为假命题，则m的取值范围是() a。〔 0. 7.已知命题P,6∈6<，命题9，reR,-+1>0, 则下列命题中为真命题 的是() A.pAq B.PA-g C.-p∧9 D.pΛ9 8.使命题P:。1x,2),m5+1,为假奋题的一个必变不充分条件是（) A.m≥4 B.m>5 C.m≤2 D.m≤5 9.已知柴合4=5≥x2-2斗，集合 ,B={x2m-1≥x2m+1,m∈R ,若命题：reA,使 得x∈B”为真命题，命题“x∈B,都有x∈A”为假命题，则实数m的取值范围是 () A.34 8.(3,4) C.(2,4] D.(2,4) 10,如果西数”=f的定义域为R,且满足对任意的？，b∈R均有 f代a+）=/()f(b),则称这样的函数”=/（四具有“性质P严有如下两个命题： 9/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 命题a:若函数y=f()具有“性质P,且(6)=2026，则6 2026」 命慰R:“函数y=/(四对在意的a,beR,均有r(a-bH/(a)-J,是y=f() 具有性质P"的充要条件. 关于两个命题的真假判断正确的是() Aa真B真 B.a真B假 c.a假P真 D.a假B 假 二、填空题 x∈R,x2-2x+a≥0 3x∈R,x2+x+2a-1=0 11.已知命题p: 命题4： 若卫为真命题， q为假命题，则实数a的取值范围为： 5 12.已知命题“3比，∈R,使得-m,+4m<0”为真命题，则实数m的取值范围为一 13.己知命题p:3x∈R,m-x2+2x-5>0,若p的否定为假命题，则实数m的取值范围 为 14.若“3r∈(0，)，sin2x-msinx<0”是假命题，则m的取值范围为， 15.设集合1=m3r<4(x-2mx-m)k0.B=mx<4,-2mx-m)大0，给 出下列四个结论： ①0∈A且0∈B: ②1∈A且1EB: ③若m<0,则m∈A且mB: ④若m生A且mEB,则m≥2. 其中正确结论的序号是一 三、解答题 16.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集： 10/11 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 x∈R,4x2>2x-1+3x2 (2) a3re{-2,-10,12-2<2 Va,b∈R (4) 方程+b=0 恰有一解. 17.1)已知类柴合1=2≤x≤}集合B=m+1≤x≤2m-,是否存在实数m使 得A≤B,若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. (2)若(1)中的条件不变，是否存在实数m使得B三A,若存在，求实数m的取值范围： 若不存在，请说明理由。 (3)若()中的条件。4=闪-2≤x≤5}”改为：A=树-2<x<5》且BcA”,其他条 件不变，求实数m的取值范围. (4)若(1)中条件不变，命题“x∈A,使得x∈B”为真命题，求实数m的取值范围. 18.若命题“3x∈R,使得方程ar2+2x-1=0成立”是真命题，求实数a的取值范围. 19,已知集合4=r-3x+2=0,B={r2-x+a-1=0).C={mx+2=0 (1)若A∩C=C,求实数m的取值范围： (2)命题P:“x∈B,都有x∈A”,若命题P为真命题，求实数a的值. 20.已知P:3xeR,ar2+ax+1=0,9:a≤t-2或a≥t. (1)若命题一P是真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 11/11