湖北襄阳市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试卷

2027届高三年级上学期数学9月阶段检测A+ 试卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A． B． C．3 D． 4．从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的概率是（ ） A． B． C． D． 5．已知命题：“，”，命题：“，”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知线段是圆的一条动弦，且．若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 8．函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知复数，则（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是纯虚数 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A． B．二面角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是 A．是偶函数 B． C． D．在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知实数，，且，则的最小值是__________． 13．若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________． 14．圆锥曲线具有奇妙的光学性质，例如：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点．某校科创小组设计了一个基于圆锥曲线光学性质的激光演示装置（如图所示）：由共焦点的椭圆和双曲线构成，其中与的离心率之比为．一束激光从焦点发出，依次经与反射后返回，历时秒；若将装置中的去掉，激光从发出经两次反射后返回，历时秒．则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： （1）直线与面所成的角； （2）平面与平面所成锐二面角的正切值． 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若，，求； （3）若，，是的中点，求的长． 17．2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的标准方程． （2）求面积取最大值时的直线方程； （3）若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 19．已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $