湖北襄阳市第四中学2026-2027学年高三上学期8月质量检测数学试卷

襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学试卷评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D A B C D A ABD ACD ACD 5.C【详解】f(x)的定义域为(0，+o),f(=+a+x, 因为函数f(x)=lnx+ax+ 士为其定义域上的增函数， 所以f(x)=+a+x≥0，即-a≤+x在(0，+o)上恒成立， 1 因为x>0,二+x≥2，当且仅当x=1时取等号， 所以-a≤2，即a≥-2 6.【详解】根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有C2A；=36种不 同安排方法， 记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A, 则A为“甲、乙安排在同一个学校”，则有A=6种不同安排方法， 所以P0=1-川国=16-名板选：B 7.A【详解】第一步，从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个共有C种方法， 第二步，选出的5个数中，最小的为4，从剩下的4个数中选出2个分给a,42,由题意可知，选出后 a,a2,a4,a就确定了，共有C4种方法， 故满足条件的“五位凹数”CC2=126个，故选：A 8.C【详解】当f(x)=x时， f(x)=f6(x)=mm,此时b=l, (x)=f(x)=m(m-1)xm-2,此时b,=1, fm(x)=fm-2'(x)=m(m-l1)(m-2)…×2×x,此时bm1=1, 故存在(x),使bn为常数列；①正确： 设f6(x)=(x-1)(x-2)(x-m),则f6(x)有m个零点1,2,3，，m, 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第1页（共8页) 则(x)在(1,2)，(2,3)，…，（m-1,m)的每个区间内各至少一个零点，故f(x)至少有m-1个零点， 因为是一个m-1次函数，故最多有m-1个零点，因此f(x)有且仅有m-1个零点， 同理，(x)有且仅有m-2个零点，…，f(x)有且仅有m-k个零点， 故bn=m-n,所以{b}是公差为-1的等差数列，故②正确故选：C. 11.ACD 【详解】对于-，划e-+1-o水-三 e2x 当x<a时，f'(x)>0,函数f(x)在(-oo,a)上单调递增， 当x>a时，f'"(x)<0,函数f(x)在(a,+o)上单调递减， 因此f在x=a处取得最大值(o)=。, 对于A:若存在实数x使f>1,只需f(@=。>l,则e”<1,解得a<0,正确， 对于B:当a=3时，)=“4，设切点为告) t+4 切线过原点，则斜率为k=+4 te' 由k=了0=。，联立得43-1→++4=0→1=2， 因为存在实数t=-2,所以过原点的切线存在，错误， 对于C:方程f(x)=f(-x)等价于(x+1-a)ex=（-x+1-a)e,令F(x)=f(x)-f(-x), 由F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)且定义域为R,即F(x)为奇函数， 显然F0=0,即x=0是-个根，而F(=f+f八-=”。+，则F0=2a<0, 因此F(x)在x=0右侧附近小于0，在左侧附近大于0， 令y=e-x-1且x>0,则y'=e-1>0,故y=e-x-1在(0，+o)上单调递增， 所以y>e°-0-1=0，故在(0，+o)上e>x+1,而a<0, 因为F(-a)=f(-a)-ja)=1-2ae”<0,且x-→to时F)→tm, e-a 因此，在x>0上必有一个根，根据奇函数的对称性，在x<0上也必有一个根， 综上，共三个不相等的实数根，正确， 对于D:令到=因-a-.则-+fa--。+9-口-g。 当x>a时，a-x<0,且2a-x<a<x→e2a-x<e*→ 11 因此h'(x)>0,即h(x)在(a,+o)上单调递增， 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第2页（共8页) 因为h(a=0,所以x>a时h(x)>0,即f(x)>f(2a-x),正确. 12.351【详解】由表格中的数据可得x。1+2344+5-3,-2+5+9414+20-=10, 5 故样本中心点的坐标为(3,10)，将该点的坐标代入回归直线方程得4.5×3+ā=10， 解得a=-3.5 13.512/29 【详解1：f()在x=-1处有极值，且f(国=3x+6a+b,-)-0 .f'(-1)=0 3-6a+b=0 a=1 a=2 即 -1+3a-b+a2=0解得： (b=3或 b=9 a=1 当6-3时，f(=3x+6x+3=30x+≥0， ∴函数f(x)在R上为增函数，无极值，舍去： 鸟89时，f四3x+12x+9=3c+x+3 当xe(-3,-I)时，f'(x)<0,函数f(x)在(-3，-1)上单调递减， 当x∈(-山，+o)时，'(x)>0,函数f(x)在(-1，+o)上单调递增，故函数f(x)在x=-1处取得极小值， 所以a=2,b=9,.a=2°=512. 14.6-9 【详解】单次拍3个球时。某特定小球没被抽到的概率为”313， n n 因比两改布设按拍到的率为- 可得x-少=1-两次都设抽到装动=1-(-，即B0X)1-- 800-(K+名*+X)-n氏x)-a1--】9-6 15.01oa450.g 45 4 8256x2 【详解】(1) 2 的展开武道项为。-cC(i-c()宁， 因为第6项为常数项，所以，=5时，有”2=0，解得n=10. 3 4分 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第3页（共8页） (2)令"32r-2,得r=a-6-x0-6)=2, 3 所以含x的项的系数为C。 该项的二项式系数为C。=45, 7分 10-2reZ 3 (3)根据通项公式与题意得0≤，s10,令10,2”=kkEZ, 3 r∈Z 则0-2r=3k,即r=5-k,reZ,所以k应为偶数又0≤r≤10 所以k可取2,0，-2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为c(,c(c(,即，5 8’256x1 13分 16.【详解】(1)由题可知， n()=100,P(BA)=号，所以兰 n(4) =100=5得n(0)=80. ,n(AB)n(AB)4 n(AB)802 又P4@)子所以四9号得a(-120, 结合已知可得2×2列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设H。:阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为2 200(80×60-20×40)}2100 >10.828, 120×80×100×100 3 所以，依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断零假设不成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过0.001. 8分 (2)有固定阅读习惯中成绩优良的有80人，成绩一般的有40人， 所以组建的6人宜传小组中，成续优良的有6×80。=4人，成筑一般的有6x,40。-2人， 10分 80+40 80+40 则X的可能取值为：1,2,3， 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第4页（共8页) x-竖-”gx-竖-为x--答- Cg-205 C Cg205' 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 1-5 3 1-5 塑(x)-1兮23写2 15分 17.【详解】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，+o), 且fx)=k-1=c-1 当0时，(》时，了<0，f在03上单调递硬。 xe(食松时，>0，f6四在安o上单调莲增. 当k≤0时，∫'(x)<0,故f(x)在(0，+o)上单调递减， 综上所述，当k>0时，fx)在(0，之上单调递减，在(+o)上单调递增， 当k≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递减： 4分 (2)由(1)知， 当k≤令，则了)在L,8到上单调递减， 所以-f⑧)=8-h8=2,则k=2然h8>g矛后合去 8 当g<k<1,是，8，则f)在0中上单调递减，在公，8上单调递增， 所以(m=f份)1-22，得k=e1.矛盾舍去， 若k≥1，则f(x)在[山，8]上单调递增， 所以f(x)=f()=k-ln1=2,则k=2,符合题意， 综上k=2; 9分 (3)若f(x)+xe-1≥0恒成立， 即k≥1+nx-x ,x∈(0，+o）恒成立， 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第5页（共8页） 设p()1+血x-心_1+nx-c, x 则p--e-h4 x2 令g()=re+hx,则q(x)=(x2+2x)e+>0, 所以q(x)=xe+lhx在(0，+oo)上单调递增， q8)42+n[日<@g0)=e>0 所以g(x)=xe+lhx在(0，+o)上有唯一零点x,即xe+nx=0, 所以xe=-h五=-lne, Xo 令h(x)=xe,则h(x)=e(x+I), 当x∈(0，+oo)时，(x)>0,即h(x)在(0，+o)上单调递增， 所以由e=-血五=-1n无e,得A()=h(-n无)， 所以x。=-lnxo, 当x∈(0，x)时，q(x)<0,p'(x)>0,则p(x在(0，x)上单调递增， 当xe(,+o)时，q(x)>0,p'(x)<0,则p(x)在(x,+o)上单调递减， 所以p()sp(k)=h+1-c=+1-1-l, Xo 由k≥1+lhx=ex∈(0，o)恒成立， x 所以k≥1，即k的取值范围为[-1，+∞) 15分 18.【详解】(1)总共进行5局，X是甲乙赢局数之差的绝对值，X=1即为甲赢3局乙赢2局、甲赢2 局乙赢3局 所x-小-cc6-0立0 4分 328 (2②)当k≤m-2时，利会2局最多疯2局，总疯局数≤，无法获胜，其概率为：P8了4-0： 当k=n-1时，需要赢剩余2局，其概率为P(BA)= 4 当k=n时，需要赢至少1局，其概率P(B14,)-g: 8 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第6页（共8页) 当太之n1时，已满足获肚条件，概李为P241, k=ntl 故-0，e-号80-号@24 k=0 (3)由全概率公式得 P=Cp-pj°p2+Cnp'-p[--p门]+[B.-Cp'-p)] =n+Cmp"-(1-p)p2-Cnp(1-p)(（-p =P+Cp(1-p)"-C-p"(1-p) =Pn+Cm-p"1-p)”(2p-1) P4-Pn=C2np1-p)(2p-1) 因为p<1,所以1-p>0,2p->0所以-月>0 (2n+1)月 2-Pm_Cp"(1-pj"(2p-）_C2ap-p_（n+1m P-PCnp(1-p°(2p-1) 2n-pp(1-p) n!(n-1)! 0-n-ps9- 因为Pn1-Pn>0,所以P+2-Pn41<Pn41-Pn,即Pn+Pn+2<2Pn41 19.(1)不是，理由见解析(2)c(3)3,3+2√2) 【详解】(1)由于|f(①)-f(2)=1,lg(①-g(2)=3, 故|fI)-f(2)g(①)-g(2)1. 所以函数f(x)=x不是函数g(x)=x2在区间1,2]上的1级控制函数. (2）由函效四=血：是西函数g树=6在区间可[]上的加级控制函数。 得hx-ln≥mle-e, .<,..Inx<Inx,e >e, 从而lnx2-lnx≥m(e-e), 即lnx2+melhx+me在 ]上恒成立 令=hx+me,则4()2()在[c]上恒废立。 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第7页（共8页） 即y=h(x)在 小上为数 9分 故20在 上恒成立 即h树)=1-m:e≥0， 记p()=,x>0,则p=e(x-D e 3 14分 放0-g 上单调递减，在(L,©上单调递增， 从而p(x)mim=pI)=e,故实数的最大值为e. 9分 (3)因为函数y=f(x)在区间(1，+o)上存在两个零点a,b, 不妨设1<a<b,且f(a=f(b)=0, 因为函数y=f(x)是g(x)=x2-2.x-1在区间1，+o)上的2026级控制函数， 所以f(a)-f(b)≥2026g(a)-g(b),即0≥2026g(a)-g(b), 所以g(@=g(b), 13分 即a2-2a-1=b2-2b-1. 17分 又函数y=x2-2x-1在1，+o)上单调递增，故有a2-2a-1=-(b2-2b-1), 从而a2-2a-1+b2-2b-1=0,即(a-1)2+(b-02=4. 令0=1+2o6=1+2sm0c(倍周引} 4分 ab =(1+2cos0)(1+2sin0)=1+2(cos0+sin0)+4sin 0cos0. 令=o64n0.=2s如0+引e. 从而ab=1+21+2(t-1)=22+21-1∈(3,3+22)， 即ab的取值范围是 (3,3+2√2). 17分 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷评分细则第8页（共8页）襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 贴条形码区 班级： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 考证号填写清楚。 ===============-=======-=====- 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填 涂，修改时用橡皮擦干净。 正确填涂 缺考标记 □ 各，茶数数线内作 、 选择题：18为单选题；911为多选题，共58分。 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12. 13 14. 三、 解答题：本题共5小题，共计77分。 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 囚囚■ 17.(15分) ■ 囚■囚 0 0 0 (LD)81 ■ 囚■囚 (LI)6I ■ 口 ■襄阳四中2027届高三年级8月质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.样本数据7,8,14,16,20的平均数为（) A.8 B.9 C.12 D.13 2.已知(1+2x)的展开式的各项系数之和为81，则n=( A.4 B.5 C.6 D.7 3.函数/(y)-如在（元，0）处的切线方程为〈 ) A.y=-x+π B.y=-x+1 π C.y=-Ix-1. D.y=x+π. 4.某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为亏，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概 2 率为() 3 B.18 54 9 C. D. 125 125 25 5.若函数f(x)=hx+ar+ 。为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（） A.[0,+o) B.(0,+0) C.[-2,+o) D.(-2,+0) 6.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲、乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校 支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲、乙不安排在同一个学校的概 率为() B11 C.I D. 12 6 6 7.从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数aa4,a4a” (满足a>a,>a,<a4<a,),则这样的“五位凹数的个数为() A.126个 B.112个 C.98个 D.84个 8.设f()=anx”+am-xm++a.x+a(am≠0，m210,m∈Z),记fn(x)=f(x)(n=1,2,…,m-l), 令有穷数列b.为fn(x)零点的个数(n=1,2,…,m-1),则有以下两个结论：①存在f（x),使得bn为 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷第1页（共4页)07 常数列：②存在f(x),使得b.为公差不为零的等差数列那么() A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①②都正确 D.①②都错误 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是() A.A然=A(m,n为正整数且n>m>1) B.满足方程C6=C6-5的x值可能为x=1或x=3 C.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 D.把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分一个球的分法有10种 10.下列说法正确的是() A.若线性回归方程为少=3x-3,则样本数据(2,2.8)的残差为-0.2 B.已知随机变量5,1满足n=-5+8,若E(5)=6,D(5)=2.4,则E(n)=2,D(n)=10.4 C.已知随机事件A,B,且0<P(A)<1,0<P(B)<1,若P(A川B)+P(A=1,则事件A,B相互独立 D.已知随机变量5~N(山，o2),且函数f(x)=P(x<5<x+2)为偶函数，则4=1 1已知通数)=a,则《） A.若存在实数x,使得f(x)>1,则a<0 B.当a=-3时，过原点且与曲线y=f(x)相切的直线不存在 C.当a<0时，方程f(x)=f(-)有3个不相等的实数根 D.当x>a时，f(x)>f(2a-x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知变量x、y的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为y=4.5x+a,则a=一 5 2 5 9 14 20 13.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则a= 14.一个不透明的袋中有分别标有数字1,2，…，nn≥6，n∈N)的相同小球.规定每人每次从中随 机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中.现有两人依次各抽取1次，记X为这个小球中至 少被取出1次的小球的个数，则X的数学期望E(X)= 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷第2页（共4页)07 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知在 2 的展开式中，第6项为常数项， (1)求n: (2)求含x2的项的系数： (3)求展开式中所有的有理项. 16.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治 保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学 业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A= 成绩优食”，B-“有图定阀该习惯，据统计P(B-子，P八4)号 (1)补全2×2列联表，依据小概率=0.001的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有 关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 (2)为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯'的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6 人宣传小组每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为X, 求X的分布列与期望. 参考公式与数据：x n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷第3页（共4页）07 17.已知函数f(x)=kx-lnx (1)判断函数f(x)的单调性； (2)已知f(x)在1,8上的最小值为2，求k的值： (3)若f(x)+xe-1≥0恒成立，求k的取值范围. 18.在襄阳市第四中学举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比 赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是p(0<p<1),各局比赛之 间的结果互不影响，且没有平局. ()刀=】时，若两人共进行5局比赛。设两人所赢局数之差的绝对值为X,求X=1的概率： 2 ②p}时，若两人共进行2m+(nEN,n22)局比赛，记事件A表示在前2n-1局比春印 甲赢了kc《=0L2,2-1)局广、事件B表示甲最终获胜、.请写出PB4 P(BIA), 2一 P(BIA,),PBI∑A 的值（直接写出结果即可）： k+1 )若两人共进行了2n-1《ne心)局比赛，甲获胜的概率记为R.当)←n<1时，试判断 Pm+Pm+2与2m+的大小，并说明理由. 19.设m>0,若对任意的x,x2∈D,且x<x2,函数y=f(x)与y=8(x)满足关系 f(x)-f(x)≥mg(x)g(x2》,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在区间D上的m级控制函数. (1)判断函数f(x)=x是否是函数g(x)=x2在区间[1,2]上的1级控制函数，并说明理由： ②若函数/)=山x是函数g)三c在区间。©上的m级控制函数，求实数m的最大偷 (3)若函数y=f(x)是函数g(x)=x2-2x-1在区间(L,+o)上的2026级控制函数，且函数y=f(x) 在区间(L,+o)上存在两个零点a,b,求两零点之积ab的取值范围. 襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷第4页（共4页）07