湖北随州市曾都区第一高级中学2027届高三上学期8月月考数学试卷

**基本信息** 以网购消费统计、5局3胜制比赛等现实情境为载体，综合考查统计概率、数列、立体几何等主干知识，注重数学思维与实际应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|数据统计、三角、集合、复数、函数性质|基础题与中档题结合，如第6题以摸球模型考查条件概率| |填空题|3题/15分|函数切线、不等式最值、概率结论判断|第14题结合比赛情境分析概率大小，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|统计概率（15题）、数列（16题）、立体几何（17题）、解析几何（18题）、函数导数（19题）|15题用频率分布直方图求中位数及二项分布期望，18题双曲线综合证明定值，19题导数极值点与零点分析，注重数学思维与语言表达|

曾都一中2027届高三8月月考数学试卷 （考试时间：2026-08-25 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据3，a，1，6，4，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．5.5 2．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠A=（     ） A． B． C． D． 3．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 4.若Z为复数， =1+i,则z= (　　) A.-1-i　　B. 1-i 　　C.-1+i　　D.1+i 5.已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab　　 B.+≥　　C.a+b>　　D.+≤ 6．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是 （    ） A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 7.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　　) A.是偶函数,且在单调递增 B.是奇函数,且在单调递减 C.是偶函数,且在单调递增 D.是奇函数,且在单调递减 8.设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　 　) A.　　B. 　　C.　　D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（     ） A．0 B． C．2 D．4 10.若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　D.x2+y2≥1 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　 　) A. f(0)=0　　 B.当x<0时, f(x)= -(x2-3)e-x-2 C. f(x)≥2当且仅当x≥　 　D.x= -1是f(x)的极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 在处的切线与直线垂直，则____． 13. 若a>0,b>0,则++b的最小值为　　.  14．甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设各局比赛的结果相互独立．给出下列四个结论： ①甲队以比分最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ②甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分最终获胜的概率相同； ③甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ④整场比赛甲队最终获胜的概率超过． 其中正确结论的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 16．（15分） 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17．（15分） 如图,三棱锥A-BCD中,点E在BD上,AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (1)证明:CD⊥AB; (2)若DE=2, BE=1, AE=, CD=2,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值. 18．（17分） 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值； (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 2026年秋季高三八月月考数学·答案及评分参考 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A C B C D D D AB BC ABD 12．-1 13. 2 14．②③④ 15．（1）依题意，因为， 而，（3分） 所以中位数位于内，所以中位数为；（5分） （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， .（10分） 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望.（13分） 16．【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，∴当时，，当时，，满足上式，∴． （7分） （2）由（1）得，∴， ∴，∵，∴，又，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1．（15分） 17．（15分）解析　(1)证明:∵AE⊥CE,AE⊥DE, CE∩DE=E,CE,DE⊂平面BCD,∴AE⊥平面BCD, (2分) ∵CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD, (3分) 又∵CD⊥AD,AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD, (5分) ∵AB⊂平面ABD,∴CD⊥AB. (6分) (2)过点E作EF∥CD交BC于点F,由(1)知CD⊥平面ABD,∴EF⊥平面ABD, 又∵AE,ED⊂平面ABD,∴EF⊥AE,EF⊥ED,又AE⊥ED, ∴AE,EF,ED两两垂直,故以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. (8分) 则A(0,0,),D(0,2,0),B(0,-1,0),C(2,2,0),∴=(0,2,-),=(0,-1,-),=(2,2,-). (10分) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), (11分) 则即 令z=1,则n=. (13分) 设直线AD与平面ABC所成角为θ,则sin θ=|cos<n,>|====, ∴直线AD与平面ABC所成角的正弦值为. (15分) 18．（17分）（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （5分） （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾.所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为 （10分） （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立.综上，为定值. （17分） 19．【详解】（1）当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：.（4分） （2）①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点.（7分） ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. （10分） （3），证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则，由于在上单调递增， 又，，所以. （17分） 1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $