专题03 抽象函数（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 高中数学抽象函数专项训练，聚焦定义域、解析式、奇偶性和单调性四大核心题型，通过题组训练强化抽象函数性质的理解与应用，培养抽象能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量|题型特征|知识逻辑| |----|----|----------|----------| |抽象函数定义域|8题|已知f(x)定义域求复合函数定义域|从基本定义出发，层层递进| |抽象函数解析式|6题|利用函数性质求解析式|从具体到抽象，培养抽象思维| |抽象函数奇偶性|11题|判断和应用函数奇偶性|性质探究，培养推理能力| |抽象函数单调性|4题|判断和应用函数单调性|性质应用，培养逻辑推理|

专题03抽象函数 题型一抽象函数定义域 题型二 抽象函数解析式 题型三 抽象函数奇偶性 题型四 抽象函数单调性 题型一抽象函数定义域 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域求法和偶次根式被开方数大于等于零可构造不等式组求得结果. 【详解】的定义域为，，解得：， 的定义域为. 故选：B. 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域结合具体函数的定义域计算即可. 【详解】由的定义域是，则，即的定义域为， 又，所以函数的定义域是. 故选：B 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的定义域求的定义域，再根据的定义域求的定义域. 【详解】函数的定义域为，又是增函数，当时，， 所以函数的定义域为， 由题意知，，即， 所以函数的定义域为， 故选：B. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的取值范围，再根据的取值范围与的取值范围相同以及分母不为，即可求解出的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以， 所以中，解得， 所以的定义域为， 故选：A. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 6．若函数的定义域是，则的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解. 【详解】由，得，所以的定义域是. 由，得，所以的定义域是. 故答案为： 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到中，解出的范围就是所求的函数的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求法可得答案. 【详解】，， 的定义域为． 故答案为： 题型二 抽象函数解析式 9．已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得. 【详解】令可得，所以， 再令可得， 即①， 将上式中的全部换成可得②， 联立①②可得, 所以， 故选：D 11．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】通过特殊值法，可判断AB选项，根据函数单调性定义即可判断C选项，根据函数单调性和抽象函数性质，即可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，因此，则，故A选项正确； 对于B选项，令，则，且定义域关于原点对称，故B选项正确； 对于C选项，设，则， 则，，所以， 由题意得，，即， 故函数单调递减，则C选项错误； 对于D选项，根据定义域要求，，解得， 对于原不等式， 因为函数为奇函数且单调递减，故，解得， 故D选项正确； 12．已知函数的定义域与值域均为，且，则（    ） A． B．函数的周期为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决. 【详解】令得，即①， 令，得②， 联立①②，故A正确； 令，得③， 由①，，， 将它们代入③整理可得，所以由，故D对； 当为正整数时，由可得， 累加可得，也符合该式， 故，其中为正整数; 对任意正有理数， 若，取，则， 故， 若，则总存在正整数，使得, 此时 , , , 综上，C成立，B错误， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法. 13．设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 【答案】ABC 【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】 对A：对原式令，则，即，故A正确； 对B： 对原式令，则，故， 对原式令，则，故非负； 对原式令，则，解得， 又非负，故可得，故B正确； 对C：由B分析可得：，故C正确； 对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题. 14．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用赋值法逐项判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误． 故选：ABC． 题型三 抽象函数奇偶性 15．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为，赋值法可求得的值，结合周期性可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以，用替换得. 又，所以，用替换得，所以，的一个周期为. 因为，在中令可得， 所以，因此. 16．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法确定的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定点的函数值，进而判断选项. 【详解】令，，则， 即，得或. 若，令，则， 即，与矛盾，故，A错误. 令，则，即， 得，故为偶函数，B错误. 令，则，即. 由此得， ， ，故是周期为6的周期函数，C正确. ，D错误. 故选：C 17．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】先用赋值法求特殊值，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性，最后利用奇偶性排除错误选项，利用中心对称性验证对称结论，利用周期性拆分求和项，最终确定正确选项即可. 【详解】对于A：令，可得，解得或， 令，， 又因为，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B：令，得，即， 又因为函数的定义域为，所以为偶函数．故B错误； 对于C：由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D：因为为偶函数，， 由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以． 所以，故D正确． 故选：ACD. 18．已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 【答案】ACD 【分析】通过赋值法求出及多个函数值，判断函数的奇偶性；通过计算周期内的函数值确定周期；利用周期性计算求和结果，进而判断各选项的正确性. 【详解】令，得（），得，选项A正确. 令，得，即，是偶函数，选项B错误. 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得， 以此类推，可知在整数点上是以6为周期的周期函数， 下面严格说明周期为6，由题设可得， 进而可得， 所以， 所以是以为周期的函数，选项C正确. 一个周期内和为； 余3， 故，选项D正确. 故选：ACD 19．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C．函数是奇函数 D．4是的周期 【答案】ABD 【分析】对于A，令可得，即可得解；对于B，以代可得，即可得证；对于C，先假设是奇函数，得出，与矛盾，即可判断；对于D，令，可得，，即可得证. 【详解】对于A：令，，整理得，由可知不恒为，故，故A正确； 对于B：以代，得， 又因为，故有， 整理得，由可知不恒为， 故，又因为的定义域是，故是偶函数，故B正确； 对于C：若函数是奇函数，则有，令，得，即，与矛盾，故函数不是奇函数，故C错误； 对于D：令，因为，故可得， 即，将替换为，则， 所以，故4是的周期. 故选：ABD. 20．已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法可判断AB；结合偶函数定义，举反例判断C；令，可推出，判断的奇偶性，即可判断D. 【详解】由题意知，， 令，则，A正确； 令，则，即得，B错误； 令，则， 令，取，则，取，则， 即，故不是偶函数，C错误； 由于，故， 令，则， 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，即为奇函数，D正确， 故选：AD 21．已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】令，得，因为，所以A正确． 令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误． 令，得，所以， 所以，即D正确． 故选：ABD 22．已知函数的定义域为，对任意的且，都满足，当时，，且，则下列判断正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．在单调递增 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】首先利用赋值法计算，判断A，再令，，则，根据单调性的定义，利用赋值法，即可判断函数的单调性，判断C，根据函数的奇偶性以及单调性，求解不等式，判断D，根据选项D，判断B. 【详解】A.令，则，得，故A正确； C.令，，则，， 设，， 所以，则 因为，所以，则，即，所以在单调递增，故C正确； D.条件等式中，令，得，即， 令，得 由C可知，当时，， 即，，所以函数是偶函数， 则不等式等价于，，且 根据函数是偶函数，且在区间单调递增，可知， 即，整理为，解得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. B.由D可知，是偶函数，且，所以函数不是奇函数，故B错误. 故选：AC 23．已知函数的定义域为，，满足，且，则下列结论正确的为（   ） A． B．是偶函数 C．，使得 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于选项A，令，结合已知即可判断；对于选项B，令，结合已知及奇偶性的定义即可判断；对于选项C，令及A结论得即可判断；对于选项D，根据已知及，依次代入，易得的值，从而可判断D． 【详解】选项A，令，由得：，又，所以，故A正确； 选项B， 令，由得： ，又， 故 恒成立，且函数的定义域为， 所以函数为偶函数，故B正确； 选项C， 令，由得： 即，所以不存在，使得，故C错误； 选项D， 由，由C分析有， 当时，， 当时，， 当时，， ，依次类推， 当时，，故D正确． 故选：ABD． 24．已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】BCD 【分析】即可判断A；令即可判断B；令，结合奇函数的定义即可判断C；令，令，利用作差法判断的大小，即可得出函数的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，令，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 所以 所以为奇函数，故C正确； 对于D，令，则为奇函数， 令， 则， 因为，所以， 所以，， 所以， 又因为当时，， 所以当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 又是奇函数，且， 所以函数为增函数，即函数是增函数，故D正确. 故选：BCD. 25．已知函数满足，，且当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．在R上单调递减 【答案】ABD 【分析】取及进行赋值可以判断A、B、C，再由单调性的定义可判定D． 【详解】对于A，取得，，，故A正确； 对于B，取得，，即，则是奇函数，故B正确； 对于C，由B知，所以，故C错误. 对于D，，则，所以， ，所以单调递减，故D正确. 故选：ABD. 题型四 抽象函数单调性 26．已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到为奇函数，由函数单调性的定义和判定方法，证得为单调递减函数，把不等式转化为，即可求得不等式的解集，得到答案. 【详解】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 27．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 28．已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明： 对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. (3)证明： 因为， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 【分析】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【详解】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）略； （3）略. 29．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03抽象函数 题型一抽象函数定义域 题型二 抽象函数解析式 题型三 抽象函数奇偶性 题型四 抽象函数单调性 题型一抽象函数定义域 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 6．若函数的定义域是，则的定义域是__________. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 题型二 抽象函数解析式 9．已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 11．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，，则下列说法错误的是（     ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 12．已知函数的定义域与值域均为，且，则（    ） A． B．函数的周期为4 C． D． 13．设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 14．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型三 抽象函数奇偶性 15．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D． 17．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 18．已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 19．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．是偶函数 C．函数是奇函数 D．4是的周期 20．已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 21．已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 22．已知函数的定义域为，对任意的且，都满足，当时，，且，则下列判断正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．在单调递增 D．不等式的解集为 23．已知函数的定义域为，，满足，且，则下列结论正确的为（   ） A． B．是偶函数 C．，使得 D．若，则 24．已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（　　） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 25．已知函数满足，，且当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C． D．在R上单调递减 题型四 抽象函数单调性 26．已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为 ______ . 27．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 28．已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 29．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明；(3)解不等式：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $