专题07 邂逅六大网红函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数 （专项训练6大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦六大特殊函数（V型、对勾、飘带、黎曼、高斯、狄利克雷），以题型为载体系统考查函数定义、性质及应用，强化数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |V型函数|5题|定义辨析、单调性、参数范围|从绝对值函数到“v型函数”抽象定义，递进考查函数对应关系| |对勾函数|5题|单调性证明、最值、恒成立|结合基本不等式，构建性质应用到综合问题的逻辑链| |飘带函数|5题|奇偶性、单调性、值域|分式函数变形与图像性质关联，深化函数性质理解| |黎曼函数|5题|定义理解、性质综合|特殊定义与奇偶性、周期性结合，提升抽象思维| |高斯函数|5题|取整运算、不等式、性质判断|从基础取整到综合应用，培养逻辑推理能力| |狄利克雷函数|5题|奇偶性、单调性、命题判断|特殊分段函数性质辨析，强化数学语言表达|

专题07 邂逅六大网红函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数 常考题型·精准突破 ◆题型1 V型函数 1．【答案】 否 【详解】是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. 由于是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 故答案为：否； 2．【答案】(1) (2)，理由见解析. 【详解】（1）函数的对称轴为：， 当函数在区间上单调递增时，有， 因为，所以此不等式的解集为空集， 当函数在区间上单调递减时，有，解得或， 综上所述：实数的取值范围为：； （2）因为，所以函数在上单调递减，因此此时函数的最小值为， 当时，即，此时显然不是“型函数”； 当时，所以，因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，因此， 要想是“型函数”，只需； 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，因此函数的最大值为，所以此时函数不可能是“型函数”， 综上所述：存在实数，使得是“型函数”. 3．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为在区间上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是； （2）解：因为函数图象的对称轴方程为， 所以函数在上递减， 当时，设函数的值域为，则， 当时，设函数的值域为， 因为函数是“型函数”， 由“型函数”的定义知： ①若，则存在唯一，使，所以在上单调且， ②若，则存在唯一，使，所以在上单调且， 所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，即且在上单调， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意； 当时，在上单调递增，， 所以，则舍去）， 综上， 则， 由方程， 当时，方程为， 因为， 所以方程有两个实数根，设为， 则， 所以方程有两个异号实数根， 故当时，方程有且仅有一个实数根， 当时，方程为， 又因方程存在两个不相等的实数， 所以， 即当时，方程一定有一个实数根，即，所以， 由，得，则， 由，得， 则 ， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 当时，， 当时，， 所以. 4．【答案】(1) 不是“型函数”，理由如下： 函数，当时，，当时，， 当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； (2)存在， (3)． 【详解】（1）略 （2）首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可，所以； （3）函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得，解得： 所以． 5．【答案】(1) 是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. (2)1 (3) 【详解】（1）略 （2）首先函数定义域为， 则，解得. 由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增. 所以只需对恒成立即可. 所以，即的最小值为1. （3）由题是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. ◆题型2对勾函数 1．【答案】/0.75 【解析】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 2．【答案】/0.75 【解析】因为，则，，即 当，因为，则，恒成立. 当因为,所以时， 因为恒成立，所以. 综上, 所以实数的最大值为. 3．【答案】(1) 的递减区间是，递增区间是，值域是. (2) 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 4．【答案】(1) 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 (2) 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 (3)不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型3飘带函数 1．【答案】AC 【解析】先整理函数，由函数的单调性，可知本题函数的单调性，利用单调性知函数没有最小值，在时，函数取得最大值，判断选项即可.因为，所以， 令，下面证明在单减，单增， 任取，且，则 ，，，， ，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数. 故知在上是减函数，在上是增函数. 所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为，没有最小值. 故选：AC 2．【答案】D 【详解】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 3．【答案】　C 【详解】　当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝ 易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝ 易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 4．【答案】(1)或 (2)和或和 【详解】（1）当时，是上的增函数， 所以，即，解得； 当时，是上的减函数， 所以，即，解得； 故或. （2）当时，，令， 所以的两个零点分别是和； 当时，，令， 所以的两个零点分别是和； 故的零点为和或和. 5．【答案】(1)和 (2)为奇函数． 因为且， 又因为 ， 所以是奇函数． (3)不存在. 假设存在实数，，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数，． 【详解】（1）当，时，，令， 解得，，所以的两个零点分别是和. （2）略. （3）略. ◆题型4黎曼函数 1．【答案】A 【详解】因为，即， 且函数是定义在上的奇函数，则，即， 由题意可得：，， 所以. 故选：A. 2．【答案】D 【详解】若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有， 可得，故偶函数是周期为4的周期函数， 由 ，当时，， ，由且为无理数，， ， 所以 故选：D． 3．【答案】/ 【详解】因为，所以，令得， 因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为4， 所以， 由题意得，此时，它是一个既约真分数，因此， 即，则． 4．【答案】 / 【详解】解：因为，所以； ∵是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，∴， ∴，即的周期为2， ∵当时，， 故. 故答案为：；. 5．【答案】(1)，， (2){为大于的正整数} (3) 【详解】（1）因为， 所以R=，， （2）依题意，， 当时，，则方程无解，     当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数.   则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为{为大于的正整数}. （3）若或或为内无理数时，， 而>0，此时，   若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以 综上，不等式的解为. ◆题型5高斯函数 1．【答案】D 【详解】由不等式，可得， 解得，则，根据取整函数定义可知． 故选：D. 2．【答案】B 【详解】作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 3．【答案】D 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故选：D 4．【答案】B 【详解】，则，故或，， 对比选项知：成立的一个充分必要条件是，其他选项不满足. 故选：B. 5．【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以①错误， 对于②，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 且可取遍任意整数，所以函数的值域为，所以②正确， 对于③，当时，设，，， ，，，则，， 则，则， 由，故，则恒成立，所以③正确， 对于④，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以④正确. 故答案为：②③④. ◆题型6狄利克雷函数 1．【答案】B 【详解】对①，当为无理数时，，所以， 当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误； 对②，当为无理数时，为无理数，所以， 当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确； 对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数， 所以， 当为有理数时，则为有理数，所以， 所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确； 对④，，，，得，，， 所以，，，此时为等边三边形，故④正确； 综上：命题②③④正确. 故选：. 2．【答案】C 【详解】对①：当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，故①错误； 对②：当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，故②正确； 对③：对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以； 当为有理数时，则也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，，对任意实数均成立，故③正确； 对④：取，，，得，，，所以，，，此时为等边三角形，故④正确. 综上所述：②③④为真命题，故C正确. 故选：C. 3．【答案】ACD 【详解】选项A，因为（其中，且），而， 所以的定义域为，所以A的说法正确； 选项B，根据函数的对应法则，是有理数时，是无理数时，所以的值域为，所以B的说法错误； 选项C，若，则，； 若，则，，综合可得，所以为偶函数，所以C的说法正确； 选项D，由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在和之间无间隙转换， 所以在实数集上不具有单调性，所以D的说法正确. 故选：ACD 4．【答案】ABD 【详解】对于A，，正确， 对于B，或，所以，，正确， 对于C，的值域为，错误， 对于D，当为有理数时，为有理数，则， 当为无理数时，为无理数，则， 故为偶函数，故D正确； 故选：ABD 5．【答案】AB 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 邂逅六大网红函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数 常考题型·精准突破 题型1 V型函数 题型2 对勾函数 题型3 飘带函数 题型4 黎曼函数 题型5高斯函数 题型6 狄利克雷函数 常考题型·精准突破 ◆题型1 V型函数 1．（24-25高一上·北京·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？_________；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是________． 2．（21-22高一上·江苏苏州·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，有成立，则称函数是“型函数”.已知函数，，. (1)若在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，是否存在实数，使得是“型函数”，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，． (1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围． 4．（24-25高一上·四川绵阳·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 5．（22-23高一上·浙江宁波·期末）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值； (3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围. ◆题型2对勾函数 1．（2026高三·全国·专题练习）若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 2．（25-26高三上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为__________. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. ◆题型3飘带函数 1．（多选）已知函数，则该函数（    ） A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为 2．（25-26高一上·安徽·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 3．函数的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·期中）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1. (1)确定a，b的值； (2)求的零点. 5．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． ◆题型4黎曼函数 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·辽宁·阶段检测）波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 4．（21-22高一上·山东德州·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义为：，则________；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则________. 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，. (1)求，，； (2)请用描述法写出满足方程的解集； (3)解不等式. ◆题型5高斯函数 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如，．若不等式成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． D 4．（24-25高一上·四川遂宁·阶段检测）对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． ◆题型6狄利克雷函数 1．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点、、，使得为等边三角形； 其中真命题的序号为（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③ 3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）（多选）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法正确的有（ ） A．定义域为 B．当时，的值域为 C．为偶函数 D．在实数集上不具有单调性 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A． B．， C．的值域为 D．为偶函数 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 邂逅六大网红函数：V型函数、对勾函数、飘带函数、黎曼函数、高斯函数、狄利克雷函数 常考题型·精准突破 题型1 V型函数 题型2 对勾函数 题型3 飘带函数 题型4 黎曼函数 题型5高斯函数 题型6 狄利克雷函数 常考题型·精准突破 ◆题型1 V型函数 1．（24-25高一上·北京·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？_________；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是________． 【答案】 否 【详解】是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. 由于是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 故答案为：否； 2．（21-22高一上·江苏苏州·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，有成立，则称函数是“型函数”.已知函数，，. (1)若在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (2)设函数，是否存在实数，使得是“型函数”，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析. 【详解】（1）函数的对称轴为：， 当函数在区间上单调递增时，有， 因为，所以此不等式的解集为空集， 当函数在区间上单调递减时，有，解得或， 综上所述：实数的取值范围为：； （2）因为，所以函数在上单调递减，因此此时函数的最小值为， 当时，即，此时显然不是“型函数”； 当时，所以，因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，因此， 要想是“型函数”，只需； 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，因此函数的最大值为，所以此时函数不可能是“型函数”， 综上所述：存在实数，使得是“型函数”. 3．（22-23高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，． (1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为在区间上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是； （2）解：因为函数图象的对称轴方程为， 所以函数在上递减， 当时，设函数的值域为，则， 当时，设函数的值域为， 因为函数是“型函数”， 由“型函数”的定义知： ①若，则存在唯一，使，所以在上单调且， ②若，则存在唯一，使，所以在上单调且， 所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，即且在上单调， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意； 当时，在上单调递增，， 所以，则舍去）， 综上， 则， 由方程， 当时，方程为， 因为， 所以方程有两个实数根，设为， 则， 所以方程有两个异号实数根， 故当时，方程有且仅有一个实数根， 当时，方程为， 又因方程存在两个不相等的实数， 所以， 即当时，方程一定有一个实数根，即，所以， 由，得，则， 由，得， 则 ， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 当时，， 当时，， 所以. 4．（24-25高一上·四川绵阳·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1) 不是“型函数”，理由如下： 函数，当时，，当时，， 当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； (2)存在， (3)． 【详解】（1）略 （2）首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可，所以； （3）函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得，解得： 所以． 5．（22-23高一上·浙江宁波·期末）定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值； (3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1) 是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. (2)1 (3) 【详解】（1）略 （2）首先函数定义域为， 则，解得. 由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增. 所以只需对恒成立即可. 所以，即的最小值为1. （3）由题是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. ◆题型2对勾函数 1．（2026高三·全国·专题练习）若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为______． 【答案】/0.75 【解析】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 2．（25-26高三上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为__________. 【答案】/0.75 【解析】因为，则，，即 当，因为，则，恒成立. 当因为,所以时， 因为恒成立，所以. 综上, 所以实数的最大值为. 3．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) 的递减区间是，递增区间是，值域是. (2) 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 (2) 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 (3)不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型3飘带函数 1．（多选）已知函数，则该函数（    ） A．最大值为 B．最小值为1 C．没有最小值 D．最小值为 【答案】AC 【解析】先整理函数，由函数的单调性，可知本题函数的单调性，利用单调性知函数没有最小值，在时，函数取得最大值，判断选项即可.因为，所以， 令，下面证明在单减，单增， 任取，且，则 ，，，， ，即，所以函数在上是减函数，同理可证函数在上是增函数. 故知在上是减函数，在上是增函数. 所以在上是增函数，在上是减函数，当时，函数取得最大值为，没有最小值. 故选：AC 2．（25-26高一上·安徽·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【详解】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 3．函数的图象不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】　C 【详解】　当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，选项A有可能； 当m＝1时，f(x)＝ 易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能； 当m＝－1时，f(x)＝ 易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 4．（24-25高一上·安徽·期中）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1. (1)确定a，b的值； (2)求的零点. 【答案】(1)或 (2)和或和 【详解】（1）当时，是上的增函数， 所以，即，解得； 当时，是上的减函数， 所以，即，解得； 故或. （2）当时，，令， 所以的两个零点分别是和； 当时，，令， 所以的两个零点分别是和； 故的零点为和或和. 5．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)为奇函数． 因为且， 又因为 ， 所以是奇函数． (3)不存在. 假设存在实数，，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数，． 【详解】（1）当，时，，令， 解得，，所以的两个零点分别是和. （2）略. （3）略. ◆题型4黎曼函数 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知定义在区间上的黎曼函数为：，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 且函数是定义在上的奇函数，则，即， 由题意可得：，， 所以. 故选：A. 2．（22-23高一下·辽宁·阶段检测）波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有， 可得，故偶函数是周期为4的周期函数， 由 ，当时，， ，由且为无理数，， ， 所以 故选：D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，令得， 因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为4， 所以， 由题意得，此时，它是一个既约真分数，因此， 即，则． 4．（21-22高一上·山东德州·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义为：，则________；若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则________. 【答案】 / 【详解】解：因为，所以； ∵是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，∴， ∴，即的周期为2， ∵当时，， 故. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·江苏盐城·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，. (1)求，，； (2)请用描述法写出满足方程的解集； (3)解不等式. 【答案】(1)，， (2){为大于的正整数} (3) 【详解】（1）因为， 所以R=，， （2）依题意，， 当时，，则方程无解，     当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数.   则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为{为大于的正整数}. （3）若或或为内无理数时，， 而>0，此时，   若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以 综上，不等式的解为. ◆题型5高斯函数 1．（23-24高一上·山东聊城·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如，．若不等式成立，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，可得， 解得，则，根据取整函数定义可知． 故选：D. 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 【答案】B 【详解】作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）高斯，著名的数学家､物理学家､天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故选：D 4．（24-25高一上·四川遂宁·阶段检测）对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl FriedriCh Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，故或，， 对比选项知：成立的一个充分必要条件是，其他选项不满足. 故选：B. 5．（25-26高一上·天津·阶段检测）对于任意的，表示不超过x的最大整数．18世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．给出下列四个结论： ①函数为奇函数； ②函数的值域为； ③对于任意的，不等式恒成立； ④不等式的解集为． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，，当，， 所以不是奇函数，所以①错误， 对于②，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 且可取遍任意整数，所以函数的值域为，所以②正确， 对于③，当时，设，，， ，，，则，， 则，则， 由，故，则恒成立，所以③正确， 对于④，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以④正确. 故答案为：②③④. ◆题型6狄利克雷函数 1．（23-24高一上·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点，，，使得为等边三角形； 其中正确的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②③ 【答案】B 【详解】对①，当为无理数时，，所以， 当为有理数时，，所以，所以对任意，恒由，所以①错误； 对②，当为无理数时，为无理数，所以， 当为有理数时，为有理数，所以 ，所以②正确； 对③，任取一个不为零的有理数，当为无理数时，则为无理数， 所以， 当为有理数时，则为有理数，所以， 所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确； 对④，，，，得，，， 所以，，，此时为等边三边形，故④正确； 综上：命题②③④正确. 故选：. 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点、、，使得为等边三角形； 其中真命题的序号为（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【详解】对①：当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，故①错误； 对②：当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，故②正确； 对③：对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以； 当为有理数时，则也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，，对任意实数均成立，故③正确； 对④：取，，，得，，，所以，，，此时为等边三角形，故④正确. 综上所述：②③④为真命题，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）（多选）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法正确的有（ ） A．定义域为 B．当时，的值域为 C．为偶函数 D．在实数集上不具有单调性 【答案】ACD 【详解】选项A，因为（其中，且），而， 所以的定义域为，所以A的说法正确； 选项B，根据函数的对应法则，是有理数时，是无理数时，所以的值域为，所以B的说法错误； 选项C，若，则，； 若，则，，综合可得，所以为偶函数，所以C的说法正确； 选项D，由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在和之间无间隙转换， 所以在实数集上不具有单调性，所以D的说法正确. 故选：ACD 4．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A． B．， C．的值域为 D．为偶函数 【答案】ABD 【详解】对于A，，正确， 对于B，或，所以，，正确， 对于C，的值域为，错误， 对于D，当为有理数时，为有理数，则， 当为无理数时，为无理数，则， 故为偶函数，故D正确； 故选：ABD 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $