第2章 周末练7 章末检测试卷二(第2章)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数核心概念与性质，通过基础巩固-性质应用-综合拓展的层级设计，以题载法强化数学思维与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题(1-3)|定义域、值域、奇偶性判断|从函数定义出发，构建概念生成链条| |性质应用|4题(4-7)|单调性、奇偶性综合应用|结合函数图象与代数推理，体现性质推导过程| |综合拓展|3题(8,11,18)|抽象函数、不等式求解|关联函数性质与逻辑推理，培养数学应用意识|

周末练7　章末检测试卷二(第二章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.[0，＋∞) B.(－∞，0] C.{0} D.{1} 答案　C 解析　要使函数有意义，则有解得x＝0， 所以函数f(x)的定义域为{0}. 2.若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3，0)，则f(x)的值域为(　　) A.[2，6] B.[2，6) C.[2，3] D.[3，6] 答案　B 解析　f(x)＝(x＋2)2＋2，当x＝－2时， f(x)min＝2， 又f(－3)＝3，f(0)＝6， 所以f(x)在[－3，0)上的值域为[2，6). 3.函数f(x)＝是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　若x是有理数，则－x也是有理数， ∴f(－x)＝f(x)＝1； 若x是无理数，则－x也是无理数， ∴f(－x)＝f(x)＝0，∴函数f(x)是偶函数. 4.已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　∵g(x)＝f(x)＋2， ∴g(－x)＝f(－x)＋2，又y＝f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0，∴g(x)＋g(－x)＝4， 故g(1)＋g(－1)＝4， 又g(1)＝1，∴g(－1)＝3. 5.若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.无最大值 答案　B 解析　(数形结合法)在同一坐标系中分别画出y＝2－x2和y＝x的图象， 由题意知f(x)的图象为图中实线部分. 由图易知f(x)的最大值为1. 6.已知图象开口向上的二次函数f(x)对任意x∈R都满足f(3－x)＝f(x)，若f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.(－∞，2] 答案　B 解析　由题意得函数f(x)的对称轴是直线x＝，图象开口向上，由f(x)在区间(a，2a－1)上单调递减可知≥2a－1， 又a<2a－1，解得1<a≤. 7.已知函数f(x)＝5x3＋x(x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥2恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(－2，－) B. C.(－∞，－)∪(，＋∞) D.(－∞，－) 答案　B 解析　因为函数f(x)＝5x3＋x的定义域为R， 且f(－x)＝5(－x)3＋(－x)＝－(5x3＋x) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数， 又y＝5x3与y＝x在定义域R上为增函数， 所以f(x)在定义域R上为增函数. 若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥2恒成立， 则f(2m＋mt2)<－f(4t)＝f(－4t)， 即2m＋mt2<－4t对任意实数t≥2恒成立， 所以m<－对任意实数t≥2恒成立， 即m<－对任意实数t≥2恒成立. 因为函数g(t)＝t＋在[2，＋∞)上单调递增， 所以g(t)min＝g(2)＝3， 则－有最小值－， 所以m<－，即m的取值范围为. 8.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 答案　B 解析　因为当x<3时，f(x)＝x， 所以f(1)＝1，f(2)＝2， 又因为f(x)>f(x－1)＋f(x－2)， 则f(3)>f(2)＋f(1)＝3， f(4)>f(3)＋f(2)>5， f(5)>f(4)＋f(3)>8， f(6)>f(5)＋f(4)>13， f(7)>f(6)＋f(5)>21， f(8)>f(7)＋f(6)>34， f(9)>f(8)＋f(7)>55， f(10)>f(9)＋f(8)>89， f(11)>f(10)＋f(9)>144， f(12)>f(11)＋f(10)>233， f(13)>f(12)＋f(11)>377， f(14)>f(13)＋f(12)>610， f(15)>f(14)＋f(13)>987， f(16)>f(15)＋f(14)>1 597>1 000， f(17)>f(16)＋f(15)>2 584， f(18)>f(17)＋f(16)>4 181， f(19)>f(18)＋f(17)>6 765， f(20)>f(19)＋f(18)>10 946>10 000>1 000， 则B正确，D错误； 且无证据表明A，C一定正确. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若幂函数y＝xm是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值不可能是(　　) A. B.－2 C.－ D.2 答案　ACD 解析　AC不满足函数是偶函数，D不满足在(0，＋∞)上单调递减. 10.函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，则实数a的取值可能是(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案　BC 解析　因为二次函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2的图象开口向上，对称轴的方程为x＝， 又因为函数f(x)在区间[－1，2]上不单调， 所以－1<<2， 解得－<a<， 即实数a的取值范围是. 结合选项可知，a的取值可能是0，1. 11.对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减； ②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　) A.函数y＝x是闭函数 B.函数y＝x2＋1是闭函数 C.函数y＝－x2(x≤0)是闭函数 D.函数f(x)＝(x>－1)是闭函数 答案　AC 解析　选项A，因为y＝x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确； 选项B，因为y＝x2＋1在定义域R上不是单调函数，所以B错误； 选项C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，令f(x)＝－x2， 若是闭函数，则一定有 即 解得满足新定义的闭区间是[－1，0]， 此时a＝－1，b＝0，所以C正确； 选项D，函数在(－1，＋∞)上单调递增，若满足新定义则有即 解得a＝b＝0， 又a<b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数f(x)满足f＝x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  答案　f(x)＝(x≠1) 解析　令＝t，则x＝，t≠1， ∴f(t)＝，t≠1， ∴f(x)＝(x≠1). 13.已知函数f(x)是偶函数，且其在(0，＋∞)上单调递增.请你写出一个符合以上条件的函数　　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)＝|x|(答案不唯一) 解析　因为函数f(x)＝|x|的定义域为R，且f(－x)＝|x|＝f(x)， 所以函数f(x)＝|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝|x|满足题意. 14.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x>1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为　　　　.  答案　5 解析　由于f(x＋1)为奇函数，因此其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，由f(x)在(1，＋∞)上的图象作f(x)的图象，如图所示，由对称性， 可得x2＋x3＝6， 易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域；(5分) (2)当a<0时，求f(a)，f(a－1)的值.(8分) 解　(1)由题意得 解得x≤3且x≠2， 故函数f(x)的定义域为{x|x≤3且x≠2}. (2)∵f(x)＝，x≤3且x≠2， ∴当a<0时，f(a)＝， f(a－1)＝ ＝. 16.(15分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数. (1)求函数f(x)的解析式；(7分) (2)判断并证明函数f(x)在区间(0，2)上的单调性.(8分) 解　(1)根据题意， 知f(0)＝＝0，则b＝0， 所以f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，满足函数f(x)为奇函数， 故f(x)＝. (2)函数f(x)在(0，2)上单调递增， 证明：任取0<x1<x2<2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝2× ＝2× ＝， 由0<x1<x2<2，知x1x2－4<0，x2－x1>0， 故有f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 因此函数f(x)在(0，2)上单调递增. 17.(15分)已知幂函数f(x)＝，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足： ①在区间(0，＋∞)上单调递增； ②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域. 解　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1，0，1.因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数. 当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足； 当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足. 因此f(x)＝x3，且f(x)在区间[0，3]上单调递增，所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0，27]. 18.(17分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且当x<0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)>0；(4分) (2)求证：f(x)为减函数；(6分) (3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.(7分) (1)证明　f(x)＝f＝f2≥0， 又f(x)≠0，∴f(x)>0. (2)证明　设任意x1，x2∈R，且x1<x2， 则x1－x2<0， 又∵f(x)为非零函数， ∴f(x1－x2)＝ ＝>1. 又f(x)>0，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)为减函数. (3)解　由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0， 得f(2)＝， 原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)， 即f(x＋2)≤f(2)， 结合(2)得x＋2≥2， ∴x≥0，故不等式的解集为{x|x≥0}. 19.(17分)已知函数y＝x＋有如下性质： 如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增. (1)已知f(x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(10分) (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值.(7分) 解　(1)y＝f(x)＝ ＝2x＋1＋－8， 设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3， 则y＝u＋－8，u∈[1，3]. 由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为； 由f(0)＝－3，f＝－4，f(1)＝－， 得f(x)的值域为[－4，－3]. (2)g(x)＝－x－2a为减函数， 故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0，1]. 由题意得，当x∈[0，1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集， 所以所以a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $