专题02 分段函数（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦分段函数核心概念与性质，以题型为载体构建从解析式、定义域到单调性、最值的递进式训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段函数解析式|4题|含函数比较（较小者/较大者）及求值|概念生成基础，构建分段函数表达形式| |分段函数定义域|4题|直接求解与结合值域综合考查|深化对函数定义域的理解，为性质研究奠基| |分段函数不等式|7题|含参数讨论与二次函数综合|应用拓展，需分段转化不等式，体现数学推理| |分段函数单调性|10题|以任意性条件考查单调性判定|性质核心，需分析各段单调性及分段点衔接，培养逻辑思维| |分段函数最值|3题|含参数最值存在性问题|性质延伸，综合应用单调性求最值，强化模型意识|

专题02分段函数 题型一分段函数解析式 题型二 分段函数定义域 题型三 分段函数不等式 题型四 分段函数单调性 题型五 分段函数最值 题型一分段函数解析式 1．已知函数，若，求的值． 2．给定函数，，，用表示中的较小者，记为，则________． 3．已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 题型二 分段函数定义域 5．函数的定义域为_______________________． 6．函数的定义域是________. 7．函数的定义域为______________________． 8．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 题型三 分段函数不等式 9．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 10．已知函数，求使得的自变量的取值范围． 11．已知函数，若，求的取值范围. 12．已知函数解不等式． 13．已知二次函数满足，且的解集为，若函数. (1)求的解析式； (2)若实数满足，求的取值范围. 14．已知函数求使成立的x值组成的集合. 15．已知函数. (1)解方程：=3； (2)解不等式：8. 题型四 分段函数单调性 16．已知函数，对任意，则实数的取位范围是（    ） A． B． C．或 D． 17．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数满足：对任意的，均有，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 21．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数对任意的，，且，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A．(0，3) B． C．(0，2] D．(0，2) 题型五 分段函数最值 27．设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 28．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 29．已知函数则__________；若当时，，则的最大值为__________. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02分段函数 题型一分段函数解析式 题型二 分段函数定义域 题型三 分段函数不等式 题型四 分段函数单调性 题型五 分段函数最值 题型一分段函数解析式 1．已知函数，若，求的值． 【答案】或 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，令，可得，符合题意； 当时，令，可得，符合题意； 当时，令，可得，不符合题意； 综上可知，或. 故答案为：或. 2．给定函数，，，用表示中的较小者，记为，则________． 【答案】 【分析】分别令和，解不等式，结合题意即可得结果. 【详解】令，即，整理可得，解得； 令，即，整理可得，解得或； 所以. 故答案为：. 3．已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 4．表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】通过对题目的分析，将函数分情况讨论，转化为分段函数后求解最小值即可. 【详解】令得或，则， 所以函数在上单调递减，当时，， 当时，，此时， 函数在上单调递增，当时，， 故， 故选：C. 题型二 分段函数定义域 5．函数的定义域为_______________________． 【答案】 【分析】由分段函数的定义域为各段的并集进行求解． 【详解】分段函数定义域为各段定义域的并集，即． 故答案为：． 6．函数的定义域是________. 【答案】[0，＋∞) 【分析】分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集 【详解】解：因为 所以定义域为[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞). 故答案为：[0，＋∞) 【点睛】此题考查求分段函数的定义域，分段函数的定义域为每段函数的定义域的并集，属于基础题. 7．函数的定义域为______________________． 【答案】 【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域． 【详解】因为函数， 所以的定义域为 ，即函数定义域为， 故答案为： 8．已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】 【详解】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 作出图象如图所示． 利用数形结合易知的定义域为，值域为． 题型三 分段函数不等式 9．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据，分，和三种情况讨论即可得出答案； （2）分，和三种情况讨论，解不等式即可. 【详解】（1）解：①当时，， 解得，不合题意，舍去； ②当时，，即， 解得或， 因为，，所以符合题意； ③当时，， 解得，符合题意； 综合①②③知，当时，或； （2）解：由， 得或或， 解得或， 故所求m的取值范围是. 10．已知函数，求使得的自变量的取值范围． 【答案】 【分析】分别讨论和两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，解得或（舍），所以， 当时，，解得，所以， 综上：自变量的取值范围为 11．已知函数，若，求的取值范围. 【答案】 【解析】分、、三种情况解不等式，综合可求得的取值范围. 【详解】当时，可化为，即，所以； 当时，可化为，即，所以； 当时，可化为，则. 综上可得，的取值范围是. 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，要注意对的取值范围进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题. 12．已知函数解不等式． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式分段代入即可解得结果. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得或，又，所以； 当时，，解得，所以， 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式，属于基础题. 13．已知二次函数满足，且的解集为，若函数. (1)求的解析式； (2)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上，由此设的解析式，代入，可得的解析式； （2）结合（1）求得的解析式，分析其单调性，分和两种情况解，取其并集，即为的取值范围. 【详解】（1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上. 由此，可设. 因为，所以，所以. 所以的解析式为. （2）由（1）知，. 当时，单调递减； 若，则，即，解得； 当时，单调递增. 若，则，解得. 由 综上所述，的取值范围是. 14．已知函数求使成立的x值组成的集合. 【答案】{或}. 【解析】分别解得或，求并集即可. 【详解】解：由题意可得或 由得； 由得或. 综上所述，使成立的x值组成的集合为{或}. 【点睛】本题考查分段函数不等式，关键是分段求解并求并集，是基础题. 15．已知函数. (1)解方程：=3； (2)解不等式：8. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； （2）根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； 【详解】（1）解：因为，且，所以或，解得或 （2）解：因为，且，所以或， 解得，解得，综上可得原不等式的解集为 题型四 分段函数单调性 16．已知函数，对任意，则实数的取位范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，解得. 故选：A. 17．函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用分段函数单调递增列式计算求参即可. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以是上的增函数， 则， 解得. 故选：C. 18．函数，满足：对任意都有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数为增函数且的函数值不大于时的函数值列不等式组求解即可； 【详解】因为对任意都有成立， 所以在定义域上为递增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 19．已知函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对任意，都有，得在上单调递减，进而得，解出即可求解． 【详解】由对任意，都有， 所以在上单调递减， 所以， 解得，也即． 故选：D． 20．已知函数满足：对任意的，均有，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过判断出在上单调递增，则分段函数每一段都单调递增，并且左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点，列不等式组即可得出结果． 【详解】， 在上单调递增， 解得：，故选C． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，要特别注意，分段函数的单调性各段之间的最值关系，如果单调递减，左边一段的最低点不能低于右边一段的最高点，如果单调递增，左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点． 21．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题目中的不等式可得函数的单调性，利用一次函数与二次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，不妨设，则， 由，则，即， 所以函数是减函数，可得，解得. 故选：C. 22．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得函数在定义域内为减函数，根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】恒成立， 所以函数在定义域内为减函数， . 故选：A． 23．已知函数对任意的，，且，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析分段函数各段的单调性及分段点处的函数值关系，求出的取值范围. 【详解】依题意，对任意的，，且，满足， 所以函数在上单调递增， 需满足： 当时，单调递增，故对称轴； 当时，单调递增，故，即； 分段点处，解得. 综上，的取值范围为. 故选：C 24．已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义得到在上是单调递减函数，从而得到，计算得到的取值范围. 【详解】不妨设，则，，， ，在上是单调递减函数， ，， ，的取值范围是. 故选：A. 25．已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 26．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ） A．(0，3) B． C．(0，2] D．(0，2) 【答案】C 【分析】根据对任意，都有成立，得到函数在R上是减函数求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以函数在R上是减函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是 (0，2]. 故选：C 题型五 分段函数最值 27．设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围. 【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为； 第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求； 当时，函数右段最小值，则， 综上所述，. 28．已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 29．已知函数则__________；若当时，，则的最大值为__________. 【答案】 1 8 【分析】①根据分段函数的解析式计算函数值即可；②根据函数的值域和分段函数的性质计算即可. 【详解】因为函数则， 所以. 当时，由解得； 当时，由解得. 综上，满足的的取值范围是. 为使最大，应取，故的最大值为. 故答案为：①1；②8. 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $