专题02 充分必要条件与集合范围转化、含参条件求解（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦充分必要条件与集合转化的专项训练，通过四类题型系统覆盖条件判断与含参求解，培养推理能力与抽象思维，构建概念-转化-应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |充分必要条件与集合范围转化|7题|选择填空题为主，判断条件与集合关系|从充分必要条件概念出发，建立集合包含与条件关系的对应| |根据充分不必要条件求参|7题|结合集合运算求参，强调“小推大”原则|深化集合真包含关系在参数问题中的应用| |根据必要不充分条件求参|6题|逆向运用集合包含关系推导参数范围|强化必要条件与集合包含的逆向思维| |根据充要条件求参|8题|综合方程根分布等知识，实现条件与参数等价转化|整合充要条件与集合相等关系，提升综合应用能力|

专题02 充分必要条件与集合范围转化、含参求解问题 题型一 充分必要条件与集合范围转化 题型二 根据充分不必要条件求参 题型三 根据必要不充分条件求参 题型四 根据充要条件求参 题型一：充分必要条件与集合范围转化 1．，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知是实数，则使成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题，则是的 A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 5．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“”的_______________条件． 题型二：根据充分不必要条件求参 1．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 2．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 3．设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 4．已知，，若p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 5．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 6．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型三：根据必要不充分条件求参 1．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 2．设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 3．已知，，若p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 4．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 6．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型四 根据充要条件求参 1．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是（    ） A．a＜0 B．a＜－1 C．－1＜a＜0 D． 4．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 5．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．关于的方程的解为的充要条件是_________． 8．已知，，若是的充要条件，则实数______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 充分必要条件与集合范围转化、含参求解问题 题型一 充分必要条件与集合范围转化 题型二 根据充分不必要条件求参 题型三 根据必要不充分条件求参 题型四 根据充要条件求参 题型一：充分必要条件与集合范围转化 1．，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据充分不必要条件的定义，即可得出． 【详解】根据充分不必要条件的定义，得的一个充分不必要条件是. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件定义的应用，属于基础题. 2．已知是实数，则使成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据命题和集合的关系，若要求成立的一个必要不充分条件，只要求真包含集合的集合，即可得解. 【详解】由，可得：， 根据题意，若要求成立的一个必要不充分条件， 只要求真包含的集合， A选项表达错误；B选项的范围包含，正确； C选项的范围就是，是充要条件，错误； D选项的范围是的子集，是充分不必要条件，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了必要充分条件的判断，考查了集合语言和命题语言之间的关系，考查了转化思想，属于基础题. 3．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解析过程略 4．已知命题，则是的 A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【详解】试题分析：化简不等式得，，所以是的充分不必要条件 考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 5．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，，充分性不成立； 必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立. 6．“”是“”成立的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得或，即或， 则“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：B 7．“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 题型二：根据充分不必要条件求参 1．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意，结合是的充分不必要条件，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 2．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，，综上可得. 3．设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件得集合A是的真子集，由此可得答案； （2）由于，故是的子集，分两种情况，分别列不等式求得的取值范围. 【详解】(1) 由是的充分不必要条件，所以， 等号不同时成立得 ∴实数的取值范围为   （2）由题意知         当， 当，，     综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的运算，根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 4．已知，，若p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】因为p是q的充分条件，但不是必要条件， 所以集合是的真子集， 所以 解得： ， 即实数m的取值范围是. 5．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 6．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件以及对是否为空集进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的, 若，即，，满足是真子集的. 若，即，，要使是的真子集， 则需（且等号不同时成立），解得. 综上所述，的取值范围是. 7．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 题型三：根据必要不充分条件求参 1．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，，综上可得. 2．设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件得集合A是的真子集，由此可得答案； （2）由于，故是的子集，分两种情况，分别列不等式求得的取值范围. 【详解】(1) 由是的充分不必要条件，所以， 等号不同时成立得 ∴实数的取值范围为   （2）由题意知         当， 当，，     综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的运算，根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 3．已知，，若p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】因为p是q的充分条件，但不是必要条件， 所以集合是的真子集， 所以 解得： ， 即实数m的取值范围是. 4．已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 5．已知集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件以及对是否为空集进行分类讨论，从而求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的, 若，即，，满足是真子集的. 若，即，，要使是的真子集， 则需（且等号不同时成立），解得. 综上所述，的取值范围是. 6．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 题型四 根据充要条件求参 1．“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 2．关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有两个不相等正根的充要条件是：，解不等式组即可求出a的取值范围. 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是： ，解得， 故选：B. 3．方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是（    ） A．a＜0 B．a＜－1 C．－1＜a＜0 D． 【答案】B 【分析】方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是满足判别式且，解出的范围即可. 【详解】设方程的两个根为， ∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根， ， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次根的情况，是一道基础题，求充要条件一般直接求出条件所得出的结论即可. 4．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 5．若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 6．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 7．关于的方程的解为的充要条件是_________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得， 当时，方程为，解得，充分性成立， 所以方程的解为的充要条件为. 故答案为：. 8．已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $