专题04 函数不等式恒成立问题（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦函数不等式恒成立与能成立问题，通过题型分类构建问题解决路径，强化函数性质与不等式转化的推理逻辑，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题|15题（单选/多选/填空）|以“对任意x”为标志，涉及参数范围、命题真假判断|基于函数单调性、最值构建“f(x)min≥a”转化模型，体现从具体函数到抽象推理的逻辑链条| |能成立问题|10题（填空/解答）|以“存在x”为核心，含存在性命题、跨区间参数问题|通过“f(x)max≥a”实现存在性与函数最值的关联，强化数学语言表达与问题转化能力|

专题04函数不等式恒成立问题 题型一 函数不等式恒成立问题 题型二 函数不等式能成立问题 题型一 函数不等式恒成立问题 1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 2．已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数方程推导的解析式，再结合时恒成立的约束，分情况求解参数的取值范围. 【详解】令，代入，得，故. 构造函数，则，故可设，其中. 因此，. 当时，，对任意，恒成立，符合要求； 当时，为开口向上的二次函数，零点为，，要使时恒成立，需零点，解得. 当时，为开口向下的二次函数，当时，不满足恒非负要求，舍去. 综上，的取值范围是. 3．命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为，转化为求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解. 【详解】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以， 在区间上单调递增，当时，函数取得最大值，则，又⫋， 所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：B 4．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，求出两个函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为函数，， 若，，使得，只需， 因为函数在时单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，，故； 因为函数在时单调递增，故. 由得，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 5．已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的解析式是 B．若不等式对任意的恒成立，则或 C．若关于的不等式的解集为空集，则 D．若存在使得不等式成立，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用配凑法求解；对BC，利用一元二次不等式解集的特征求解；对D，问题转化为存在，使得，利用函数单调性求出最值，得解. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，不等式对任意恒成立，即恒成立， 所以，得，故B错误； 对于C，不等式的解集为空集，即解集为空集， 所以，得，故C正确； 对于D，若存在使得不等式成立，即， 等价于存在，使得， 又易知在上单调递增，故， 所以，故D正确. 故选：ACD. 6．已知函数满足，当时，．则下列说法正确的是（   ） A． B．为增函数 C． D．若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【分析】先利用赋值法求得，再令代入化简求解判断A；结合赋值法根据函数单调性的定义判断B；根据题干法则化简得判断C；两边加1得到，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解判断D. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中， ， ， 故， C错误； D选项，两边加1得， 因为，所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故，在上有解， 在上有解，其中， ，故当，即时，取得最大值，最大值为， 所以，则取值范围是，D正确． 故选：ABD 三、填空题 7．已知集合，若命题“，一次函数的图象在x轴上方”是真命题，则实数的取值范围是　______. 【答案】 【详解】因为一次函数为单调递增函数， 且“，一次函数的图象在x轴上方”， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 8．若关于的不等式在上恒成立，则__________． 【答案】 【分析】不等式恒成立等价于且，分类讨论即可求出答案. 【详解】不等式在上恒成立等价于且， 当时，解得， 若，即，所以， 当时，解得， 若，即，所以， 综上. 9．已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 【答案】 【分析】以为主元，即恒成立，进行求解． 【详解】以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足，得， 由，得， 得，故m的最小值为. 10．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，由，可得， 即． 令，可得，可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，， 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 11．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 12．已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 13．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围. 【详解】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 14．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【分析】构造函数，由题意可得对任意恒成立，由于要求实数的最大值，可设，再利用单调性定义得到函数单调递增，即可得对任意恒成立，计算即可得解. 【详解】由题意可得，则或， 令，则， 由，故恒成立， 则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 由于要求实数的最大值，不妨设， 取，则 ， 由，同理， 故，即， 又，，则，故， 故在上单调递增， 又， 由，则，故， 即有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则有，解得，故实数的最大值是. 15．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二 函数不等式能成立问题 16．已知是实常数，设关于的不等式的解集为，若与区间的交集非空，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】将原题转化为不等式能成立问题，再设，分析函数单调性求出其最大值，即可得解. 【详解】关于的不等式的解集为，且与区间的交集非空， 等价于“存在，使得不等式成立”， 因此只需使即可. 设， 易知与在上均单调递减， 因此在上单调递减， 故，即， 因此. 故答案为：. 17．，使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 18．存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用分离参数法，结合函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】因为存在，所以， 又当，单调递减，所以的最大值为. 所以. 故答案为： 19．已知命题，，命题，使得成立，若是真命题，是假命题，求的取值范围? 【答案】 【分析】分别求命题为真命题和命题为真命题的的取值范围，再求交集，即可求解. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 令，即， 因为是开口向上的二次函数，对称轴为，所以的最小值为， 即，所以； 若是假命题，则，使得，是真命题， 即，得， 若是真命题，是假命题，则，即. 故. 20．已知多项式函数满足，，且对任意，． (1)求的解析式； (2)若，恒成立，求实数的最大值； (3)设函数，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数的对称性、等式条件和函数值条件确定各项系数；（2）将绝对值不等式转化为二次函数的取值限制；（3）换元求函数值域，再利用两个函数值之差的最大值确定参数范围． 【详解】（1）为一次式，故是二次函数． 由，得函数对称轴为． 设，对称轴，得． 解得，．结合题目条件，．． 检验：，对称轴； ，满足条件． （2）等价于． ，对称轴， ，恒成立．只需． 即. 解方程，根为． 不等式解集：． 结合区间，的最大值为． （3）． 令，，．． 对称轴在区间内． ，函数值域． 存在，，使得，等价于． ． 所以，的取值范围． 21．已知，存在使，，求范围. 【答案】 【分析】根据二次函数性质，采用数形结合，列不等式求解即可. 【详解】，则. 令，则， 如图，则有，即，解得. 22．已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由如下： 不等式可化为，即， 要使对于任意恒成立，等价于， 而，所以， 故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时需. (2) 【分析】（1）不等式对任意恒成立等价转化为，即可得实数的取值范围； （2）存在一个实数，使不等式成立等价转化为，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）不等式可化为． 若存在一个实数，使不等式成立，只需， 又，则，所以. 所以所求实数的取值范围是. 23．已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 24．已知函数与的定义域均为，其中． (1)当时，求函数的最值与单调区间； (2)若与的单调性相反，求的取值范围； (3)若，且存在，，使得，求的取值范围． 【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，最大值为，无最小值 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的解析式，利用复合函数的单调性可得出函数的增区间和减区间，进而可得出函数的最值； （2）对实数的取值进行分类讨论，化简两个函数的解析式，分析这两个函数的单调性，结合题意可得出实数的取值范围； （3）求得，记，即存在，，使得，求出的取值范围，可知，于是得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以， 令，则， 设，由对勾函数的单调性可知， 函数在上单调递增，在上单调递减， 内层函数在上单调递减， 由可得，由可得， 由复合函数的单调性可知函数的减区间为，增区间为， 故函数的最大值为. （2）当时，在上单调递增，在上单调递减，符合题意； 当时，，， 若时，即当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，符合题意； 若时，即当时，显然函数、在上均为增函数，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，所以，， 所以， 记，由题意即存在，，使得， 因为、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 又因为、，故函数在、上均为增函数， 所以，， 所以， 由题意可知， 所以，即，解得， 因此实数的取值范围是. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数不等式恒成立问题 题型一 函数不等式恒成立问题 题型二 函数不等式能成立问题 题型一 函数不等式恒成立问题 1．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 2．已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的解析式是 B．若不等式对任意的恒成立，则或 C．若关于的不等式的解集为空集，则 D．若存在使得不等式成立，则 6．已知函数满足，当时，．则下列说法正确的是（   ） A． B．为增函数 C． D．若，当时，有解，则取值范围是 三、填空题 7．已知集合，若命题“，一次函数的图象在x轴上方”是真命题，则实数的取值范围是　______. 8．若关于的不等式在上恒成立，则__________． 9．已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 10．已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 11．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 12．已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 13．若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 14．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______. 15．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 题型二 函数不等式能成立问题 16．已知是实常数，设关于的不等式的解集为，若与区间的交集非空，则的取值范围为_____． 17．，使得成立，则实数的取值范围为_______． 18．存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______. 19．已知命题，，命题，使得成立，若是真命题，是假命题，求的取值范围? 20．已知多项式函数满足，，且对任意，． (1)求的解析式； (2)若，恒成立，求实数的最大值； (3)设函数，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 21．已知，存在使，，求范围. 22．已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 23．已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 24．已知函数与的定义域均为，其中． (1)当时，求函数的最值与单调区间； (2)若与的单调性相反，求的取值范围； (3)若，且存在，，使得，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $