第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学直线和圆的方程单元拔尖卷，题型全面（单选8/40、多选3/18、填空3/15、解答5/77），覆盖直线斜率、圆的方程等核心知识，梯度合理，适配单元复习，可检测学生数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜率比较、充要条件、距离公式|基础巩固，如第1题结合图像考斜率，体现几何直观| |多选|3/18|直线位置关系、阿波罗尼斯圆|能力提升，第11题以古希腊数学文化为情境，培养创新意识| |填空|3/15|直线方程、区域问题、台风模型|应用导向，第14题台风侵袭时长问题，体现数学语言表达现实世界| |解答|5/77|轨迹方程、公共弦长、定值探究|综合拓展，第19题直线与圆相切及斜率定值，考查推理能力与逻辑思维|

第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【解答过程】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】根据两平行线之间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为，即， 所以与之间的距离为， 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 【答案】D 【解题思路】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D. 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率， 则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得，故C错误； 对于D，，当时， 所以直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A. 6．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 7．（5分）（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围即可. 【解答过程】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【解题思路】先求出两圆的圆心和半径，对A，判断出两圆的位置关系，即可求解；对B，两圆相减，即可求解；对C，利用圆的弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对D，连接，从而得，即可求解. 【解答过程】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 【答案】AD 【解题思路】根据截距的含义、两直线平行、垂直与斜率的关系进行逐项判断计算即可. 【解答过程】对于A：直线，令，则， 所以在轴上的截距为-1，A正确； 对于B：直线，将点代入方程中发现等式左边不为0， 所以该点不在直线上，B错误； 对于C：因为，所以，化简得， 解得或，当时，直线，直线， 两直线重合，C错误； 对于D：因为，所以，即，解得，D正确. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【解题思路】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【解答过程】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高二上·四川·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆的方程是 B．若，满足圆的方程，则的最大值是 C．若圆上存在个点到直线的距离为，则 D．过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【解题思路】A：根据定义化简方程可得圆的方程；B：设，根据直线与圆有交点列出不等式可求结果；C：根据条件判断出圆心到直线的距离所满足的不等关系即可求解出结果；D：根据面积公式判断出取最小值时四边形的面积取最小值，由此可计算出结果. 【解答过程】对于A：由题意可得，化简可得，故错误； 对于B：设，则直线与有公共点， 所以，解得，所以的最大值是，故正确； 对于C：圆的圆心为，半径为，因为圆上存在个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离小于，所以，解得，故正确； 对于D：如图所示，设，    因为， 当取最小值时，取最小值，即有最小值， 当时，此时取最小值， 所以，所以，故正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是__________. 【答案】 【解题思路】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【解答过程】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为__________小时. 【答案】10 【解题思路】建立平面直角坐标系，小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，则台风侵袭轮船等价于，建立不等式求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 16．（15分）（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 17．（15分）（25-26高二上·山西·阶段检测）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程为，将点的坐标代入方程求解方程组，再化为标准方程即可； （2）两圆相减得直线的方程，然后利用垂径定理求解弦长即可. 【解答过程】（1）设圆的一般方程为， 由题意得，，解得， 所以圆的一般方程为， 故圆的标准方程为. （2）由圆与圆， 两式相减得， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径为5，故. 18．（17分）（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3), ． 【解题思路】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）解：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 19．（17分）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)或 (3)为定值， 【解题思路】（1）直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标； （2）设直线方程，利用几何法直接求出直线与圆相切时直线方程； （3）设直线方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数关系即可证明为定值. 【解答过程】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； （2）由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（5分）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 5．（5分）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 10．（6分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 11．（6分）（25-26高二上·四川·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆的方程是 B．若，满足圆的方程，则的最大值是 C．若圆上存在个点到直线的距离为，则 D．过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是__________. 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是__________． 14．（5分）（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为__________小时. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 16．（15分）（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 17．（15分）（25-26高二上·山西·阶段检测）已知圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相交于，两点，求公共弦的长度． 18．（17分）（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（17分）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $