专题06 圆锥曲线中必考七类参数范围及最值问题（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06 圆锥曲线中必考七类参数范围及最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 弦长的最值及范围问题】 2 【类型2 求圆锥曲线的离心率的取值范围】 2 【类型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 3 【类型4 长度（距离）的最值及范围问题】 4 【类型5 斜率的最值及范围问题】 5 【类型6 圆锥曲线中向量的最值（范围）问题】 7 【类型7 参数的取值范围问题】 8 知识点1 圆锥曲线中的最值问题 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围. 【类型1 弦长的最值及范围问题】 1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 2．（25-26高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为__________. 4．（2026·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 5．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的离心率; (2)求的取值范围. 【类型2 求圆锥曲线的离心率的取值范围】 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．16 C．7 D．8 9．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 10．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________. 【类型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 11．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 13．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为__________. 14．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 15．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【类型4 长度（距离）的最值及范围问题】 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为___________． 19．（25-26高二上·河南南阳·期末）过平面内的动点分别作直线和的垂线，交轴于两点，若（为坐标原点）． (1)求动点的轨迹的方程； (2)曲线，直线与和的交点从左到右依次为． ①证明：； ②若，求的最小值． 20．（2026·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【类型5 斜率的最值及范围问题】 21．（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是__________． 24．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 25．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【类型6 圆锥曲线中向量的最值（范围）问题】 26．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 28．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为___________. 29．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 30．（25-26高二下·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【类型7 参数的取值范围问题】 31．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·江西萍乡·一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是___________． 34．（25-26高二上·天津和平·期末）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 35．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线中必考七类参数范围及最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 弦长的最值及范围问题】 2 【类型2 求圆锥曲线的离心率的取值范围】 6 【类型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 10 【类型4 长度（距离）的最值及范围问题】 16 【类型5 斜率的最值及范围问题】 22 【类型6 圆锥曲线中向量的最值（范围）问题】 27 【类型7 参数的取值范围问题】 31 知识点1 圆锥曲线中的最值问题 1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题 1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略： 结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围. 【类型1 弦长的最值及范围问题】 1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解题思路】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【解答过程】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C. 2．（25-26高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二下·云南·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为__________. 【答案】10 【解题思路】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可. 【解答过程】由题意知，抛物线的准线方程为.设的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足分别为.因为到轴的距离为2，所以. 由抛物线的定义知，所以. 因为，所以. 故答案为：10. 4．（2026·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 5．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的离心率; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点的坐标代入椭圆方程即可联立方程求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而由弦长公式，结合不等式的性质即可求解. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距. 由题意可得，解得. 因为，所以， 则椭圆C的离心率为. （2）由椭圆的对称性不妨设点，，直线的方程为，. 由得，则，， 故. 因为，所以，所以， 所以，所以， 则，即的取值范围为. 【类型2 求圆锥曲线的离心率的取值范围】 6．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【解答过程】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知双曲线，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，代入可得，由题意，点P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案. 【解答过程】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 得到，解得. 故的离心率的取值范围为. 故选：B. 8．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，A为曲线在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B．16 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】先分别设出椭圆和双曲线的基本量，再分别由椭圆和双曲线的定义及焦点三角形的面积综合可得进而再由基本不等式可得所求和式的最小值. 【解答过程】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为，所以. 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，如图： 设，则由椭圆和双曲线定义可得——①，——②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得——③， ③得——④，由面积公式可得， 即，代入④整理得，即，所以， 即，因为，所以， 所以，得，所以， 即，所以， 即 ， 当且仅当时等号成立，即，再代入 解得，故的最小值为. 故选：A. 9．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】由题意画出图形,分别求出与的值,结合，可得，得到离心率的取值范围即可. 【解答过程】如图，作出符合题意的图形， 在双曲线中，取，可得， 分别在双曲线的渐近线与中，取，求得， 由，得，即， ，解得，即，故. 故答案为：. 10．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是__________. 【答案】 【解题思路】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得. 【解答过程】∵，若在O在同侧， 则，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 若在O在异侧，则，，， 则，得，所以，得，且， ∴椭圆离心率的范围是； 综上，椭圆离心率的范围是. 故答案为：. 【类型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 11．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值. 【解答过程】设椭圆的方程为，直线的方程为， ， 联立整理得： ， 由椭圆的离心率，得， 带入上式并整理得： ， 则， 由与的面积之比为，则， 则， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为 故选：. 12．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 13．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】根据抛物线方程，写出焦点坐标，设出直线方程，联立方程写出韦达定理，表示出弦长，利用向量，设出动点坐标，结合点到直线距离公式，可得答案. 【解答过程】    由，则，设，， 联立可得，消去可得：，显然， 由韦达定理可得：，， 由弦长公式可得： ， 设，由在直线上，则， 设，取，，由题意可知，则， 易知底上的高为到直线的距离，， 所以， 显然当时，取得最小值为. 故答案为：. 14．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解答过程】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 15．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：； （2）证明：直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 【类型4 长度（距离）的最值及范围问题】 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【解答过程】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B. 17．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 18．（25-26高二上·山西长治·期末）过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】求出直线方程，再与抛物线联立，利用弦长公式分别求出弦，再利用基本不等式即可得出答案. 【解答过程】抛物线的焦点， 则直线的方程为， 联立，消得， 设， 则， 则， 所以， 同理可得， 所以， 由， 得， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·河南南阳·期末）过平面内的动点分别作直线和的垂线，交轴于两点，若（为坐标原点）． (1)求动点的轨迹的方程； (2)曲线，直线与和的交点从左到右依次为． ①证明：； ②若，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ② 【解题思路】（1）设，求出 ， ，再利用距离公式结合 即可求解； （2）①联立方程利用韦达定理得到，，所以，得到线段与线段的中点重合，所以，②利用弦长公式得到，，则，再利用函数的单调性求其最小值即可. 【解答过程】（1）设，则由题知直线方程为，令得，， 直线方程为，令得，， 由得，化简得， 故动点的轨迹的方程为； （2）①证明：由得， ∴， ∴， ， 由得 ∴， ∴， ， ∵，故线段与线段的中点重合， ∴； ②由①得， ∴， 同理， ， ∴， ∴，， 设， ∴， 令，则在上单调递减， 故当即时取最小值． 20．（2026·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【解答过程】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【类型5 斜率的最值及范围问题】 21．（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可. 【解答过程】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且， 由题意知：，两式相减得： ， 即， 又， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即， 所以， 即， 故选：D. 22．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【解答过程】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C. 23．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】先求出抛物线方程，将其与直线方程联立写出韦达定理，由题意求出点的坐标，推理计算出，从而将求的范围问题转化成求的取值范围即得. 【解答过程】 如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即． 把代入的方程整理得：，设，则，， 于是，，故得：， 则 ， ，所以，由，得． 故答案为: . 24．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【解题思路】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【解答过程】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则 ， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 25．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【解答过程】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）证明：设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内， 故，，当且仅当在时取等号， 则的最大值为． 【类型6 圆锥曲线中向量的最值（范围）问题】 26．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】画出图形，由，然后根据题意分析最小值的位置即可得出结论. 【解答过程】如图所示： 由 ， 由题意知， 所以， 由图可知当为椭圆短轴的顶点时， 取最小值，所以的最小值为． 故选：B． 27．（2026高三·全国·专题练习）已知为双曲线上经过原点的一动弦，为圆上一动点，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解题思路】根据题设画出双曲线和圆，数形结合得，并确定，，即可得最大值. 【解答过程】如下图示，，，， 所以，    由图知：，且可以同时取到， 所以的最大值为. 故选：D. 28．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【解答过程】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 29．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由渐近线设双曲线方程为，代入已知点坐标求出值，即得其方程； （2）设，用坐标表示并求出，然后利用二次函数的图像性质即得其最小值． 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 30．（25-26高二下·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； ②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【解答过程】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 【类型7 参数的取值范围问题】 31．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【解答过程】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 32．（2026·江西萍乡·一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，由题坐标化可得点坐标，代入椭圆方程可得，同理由可得，进而求得直线的方程，求出直线的纵截距，利用函数单调性求出值域，得解. 【解答过程】设，，由，，易得， 所以，， 所以，代入， 得：，即①， 同理得：②， 由①②得，直线的方程为：， 令，直线纵截距为：， 又，可得， 因为在上单调递增，可得. 故选：A. 33．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】将直线方程与抛物线的方程联立，可得出，可得出，由以及，，可求出实数的取值范围. 【解答过程】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 34．（25-26高二上·天津和平·期末）已知椭圆C：的左，右顶点分别为，，左焦点为F，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线，与y轴交于点，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件先求出，进而求出，从而得到椭圆的方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的纵坐标的取值范围. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c， 由已知可得解得，， 由有， 所以椭圆C的方程为. （2）设直线的方程为，，，的中点，如下图： 由联立得， 由题意有，即，整理得①， 由韦达定理可得，故，， 所以， 因为线段的垂直平分线与y轴交于点，所以， 整理得②， 因为，由②式有，所以， 将②式代入①式得， 解得，所以. 易知， 综上可得. 35．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点． (1)求双曲线的方程； (2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可. （2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果. 【解答过程】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为， 则右焦点到渐近线的距离， 又，则， ∴双曲线的方程为 ； （2）由上可知，双曲线的渐近线方程为， 由题意可设直线的方程为，， 联立方程得 ， 所以， ，整理得，所以， 因为即，则A到两条渐近线的距离满足 联立方程，故 同理，联立方程则 ， ， 所以 . 又恒成立 即恒成立， 由可得， ∴所求的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $