专题08 直线与抛物线的位置关系十一种考法（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题08 直线与抛物线的位置关系十一种考法 题型一：直线与抛物线的位置关系的判定 题型二：利用直线与抛物线的位置关系求参数（值）范围 题型三：抛物线的弦长问题 题型四：抛物线中的切点弦问题 题型五：抛物线的“中点弦”和”焦点弦问题”问题 题型六：抛物线中的三角形（四边形）面积问题 题型七：抛物线中的定点问题 题型八：抛物线中的定值问题 题型九：抛物线中的定直线问题 题型十：抛物线中的存在性问题 题型十一：与其他章节的融合 题型一：直线与抛物线的位置关系的判定 1.直线与抛物线的位置关系为（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 3.抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 4.直线与抛物线的公共点的个数为________个 5.已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有______条 题型二：利用直线与抛物线的位置关系求参数（值）范围 6.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（　 ） A． B．， C．， D．或 8.写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 9.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是________________ 10.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_______________ 题型三：抛物线的弦长问题 11.已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（　 ） A． B． C． D．2 12.已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（　 ） A．16 B．6 C． D．4 13.已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若，则（　 ） A． B． C．8 D．16 14.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则___________ 15.已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ． 16.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且. (1)求抛物线C的方程. (2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 题型四：抛物线中的切点弦问题 17.已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为（　 ） A． B． C． D． 18.已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（　 ） A． B． C． D．1 19.已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（　 ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 20.设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（　 ） A． B． C． D．直线与抛物线相切 21.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 22.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，过的直线交于两点. (1)求抛物线的方程： (2)求证：抛物线在两点处的切线互相垂直； (3)设为线段的中点，以线段为直径的圆交抛物线在处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论. 23.已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 24.已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 题型五：抛物线的“中点弦”和”焦点弦问题”问题 25.抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（　 ） A． B． C． D． 26.过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（　 ） A． B． C． D． 27.过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 28.已知椭圆的焦距为，抛物线的焦点是的一个顶点. (1)求抛物线的标准方程： (2)若直线与交于两点，且点为线段的中点. （i）求直线的方程； （ii）若为坐标原点，求的面积. 29.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 题型六：抛物线中的三角形（四边形）面积问题 30.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（　 ） A． B． C． D． 31.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（　 ） A．12 B．8 C．6 D．7 32.（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（　 ） A． B． C． D．与的面积之比为 33.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为_____ 34.已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为的直线与抛物线交于、两点(在轴上方)，过点、作准线的垂线，垂足分别为、 线段中点为， 四边形和四边形的面积分别记为，则_____________ 35.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则____________ 36.如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 题型七：抛物线中的定点问题 37.已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（　 ） A． B． C． D． 38.已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 39.设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 40.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 41.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明：直线轴； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 题型八：抛物线中的定值问题 42.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 43.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 44.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 45.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明：直线轴； （2）四边形的面积为定值； 46.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； 题型九：抛物线中的定直线问题 47.已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 48.已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 49.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 50.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 题型十：抛物线中的存在性问题 51.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 52.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 53.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 54.在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 题型十一：与向量融合 55.已知O为坐标原点，抛物线上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（　 ） A． B． C． D． 56.抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（　 ） A．1 B．2 C．3 D． 57.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（　 ） A． B． C． D． 58.已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（　 ） A． B． C． D．3 59.已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与抛物线的位置关系十一种考法 题型一：直线与抛物线的位置关系的判定 题型二：利用直线与抛物线的位置关系求参数（值）范围 题型三：抛物线的弦长问题 题型四：抛物线中的切点弦问题 题型五：抛物线的“中点弦”和”焦点弦问题”问题 题型六：抛物线中的三角形（四边形）面积问题 题型七：抛物线中的定点问题 题型八：抛物线中的定值问题 题型九：抛物线中的定直线问题 题型十：抛物线中的存在性问题 题型十一：与其他章节的融合 题型一：直线与抛物线的位置关系的判定 1.直线与抛物线的位置关系为（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解析】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 2.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 3.抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　 ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解析】设，，则的中点坐标为，， 所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 4.直线与抛物线的公共点的个数为________个 【答案】1 【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故答案为：1. 5.已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有______条 【答案】3 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故答案为：3 题型二：利用直线与抛物线的位置关系求参数（值）范围 6.“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 7.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（　 ） A． B．， C．， D．或 【答案】D 【分析】当时，直线符合题意；当时，联立直线与抛物线方程消去，得关于的一元二次方程，由即可得 ，的关系，进而可得正确答案. 【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 当时，由可得：， 若直线与抛物线有且只有一个公共点， 则，整理可得：，所以， 综上所述：或， 故选：D. 8.写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或. 【分析】设出公切线方程并分别于椭圆和抛物线联立，解方程组即可得出切线方程. 【解析】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 故答案为：或. 9.设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是________________ 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据方程有根，判别式大于等于0即可求解. 【解析】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 故答案为： 10.已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_______________ 【答案】 【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故答案为： 题型三：抛物线的弦长问题 11.已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（　 ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设直线l的方程为，将其代入抛物线方程，设，由韦达定理得，写出线段的垂直平分线方程，代入，化简得，结合可求得，从而可得，利用求出结果. 【解析】抛物线焦点为，准线，点， 由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，， 将其代入抛物线方程，得：， 则， 设，由韦达定理得：， 线段的中点坐标为，垂直平分线的斜率为． 线段的垂直平分线方程为：，即， 代入，化简得：， 结合，得：， 则， 则， . 故选：A． 12.已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（　 ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【解析】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 13.已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若，则（　 ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】令，设，若，即，联立抛物线与直线，并应用韦达定理及已知得，进而确定坐标，结合得，即可求弦长. 【解析】令，则，可设，若，即， 联立抛物线和直线，可得，则，， 而，即，故，， 所以，则，可得，故，， 所以，则，， 由上，联立，可得，即， 所以，可得，故， 所以. 故选：B. 14.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则___________ 【答案】 【分析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出，最后再利用焦半径公式求值即可. 【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故答案为：. 15.已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求得表达式，进而求得其取值范围. 【解析】圆的圆心为，半径为， 所以，抛物线方程为， 设直线的方程为， 由，消去并化简得， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 16.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且. (1)求抛物线C的方程. (2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1);(2)或 【分析】（1）根据抛物线定义列式求出，得解； （2）法1，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，得，求得，根据三角形的面积列方程，求得，也即求得直线的方程，法2，前面同法1，由，求得，得解. 【解析】（1）依题意，点在抛物线上，且， 所以， 所以抛物线方程为. （2）法1：抛物线方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为，， 由，消去并化简整理得， ，则，， 则， 所以. 原点到直线的距离为， 所以， 解得， 所以直线的方程为或，即或. 法2： 解得， 所以直线的方程为或，即或. 题型四：抛物线中的切点弦问题 17.已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设，，可设，联立抛物线得，从而将代入直线与抛物线，即可得的值. 【解析】 由题意可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上， 设， 因为为正三角形，不妨取，则， 联立，可得， 则，可得， 所以，代入，可得， 又，联立解得. 故选：C. 18.已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（　 ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解析】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 19.已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（　 ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【解析】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D. 20.设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（　 ） A． B． C． D．直线与抛物线相切 【答案】BCD 【分析】对A：借助斜率公式可表示出直线的斜率，即可表示直线的方程，联立曲线，结合相切的性质与根的判别式计算即可得；对B：同A可得，结合因式分解计算即可得；对C：将B中所得代入A中所得即可得；对D：将直线的方程与抛物线联立，可得其根的判别式，即可得解. 【解析】对A：∵直线的斜率为， ∴直线的方程为， 即， ∵，∴直线的方程为， 联立，消得：， ∵直线与抛物线相切，∴， ∴，∴选项A错误； 对B：同理可得，∴， ∵，∴ 整理得， ∵，∴，∴选项B正确； 对C：由可得， 代入得，∴选项C正确； 对D：将直线的方程与抛物线联立， 同理可得， ∴直线与抛物线相切，∴选项D正确. 故选：BCD. 21.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线方程，利用韦达定理可求两条切线的交点的轨迹方程. 【解析】设的方程为，代入中，整理得， 设，则， 由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为， 联立，得，由可得，即， 所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为. 联立解得消去，得， 所以两条切线交点的轨迹方程为． 故答案为：. 22.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，过的直线交于两点. (1)求抛物线的方程： (2)求证：抛物线在两点处的切线互相垂直； (3)设为线段的中点，以线段为直径的圆交抛物线在处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论. 【答案】(1);(2)证明见解析;(3)为定值，证明见解析 【分析】（1）根据抛物线和椭圆焦点坐标的求法列出方程求解； （2）设直线的方程和，然与抛物线联立，韦达定理，得出.然后求二次函数的导数，把切线的斜率表示出来即可得出答案； （3）得出两条切线方程，然后结合题意和几何性质将需要求解的代数式表达出来，即可得出结论. 【解析】（1）易知，抛物线开口向上，且焦点坐标为， 所以椭圆的焦点也在轴上，则 由，解得：， 所以抛物线的方程为. （2）因为直线与抛物线有两个交点，所以其斜率必存在， 设直线的方程为 由，则 对求导得， 设抛物线在两点处的切线斜率分别为， 则， 即抛物线在两点处的切线互相垂直. （3） 解法1：由（2）可知即， 则与轴的交点坐标为， 于是 于是， 所以为定值. 解法2：设抛物线在两点的切线，切线交点为， 故， 联立解得点坐标为， 由（2）知点坐标为，且，所以 ， 故，即， 因为，所以 ， 即，故在中，， 所以，即， 所以为定值. 解法3：因为， 故 ， 又，所以， ， 即， 由（2）知，所以， 故，即， 所以为定值. 23.已知抛物线的焦点为，点在上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求.面积； （ⅱ）证明：直线过定点. 【答案】(1);(2)；证明见解析. 【分析（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）（ⅰ）设，再根据，得出k，再联立方程得出点A,B的坐标计算得出面积；（ⅱ）设直线联立得出，根据可得，由此可证直线过定点. 【解析】（1）点在上，且. 由题意得：，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）（ⅰ）因为，设， 设圆心O到直线的距离为， 又因为，所以，所以，化简得出， 所以或； 联立直线与，得出， 所以； 联立直线与，得出， 所以； 所以 所以； （ⅱ）设直线， 联立得，得，则， 的切线斜率为， 是切线，所以 即，计算得， 所以，化简得， 直线，过定点. 24.已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． (1)求抛物线的方程； (2)若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由题意知，、两点关于轴对称，设点在轴右侧，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用导数的几何意义求出直线、的方程，求出点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，可得出，然后利用两角和的正切公式结合换元法、二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】（1）由题意知，、两点关于轴对称， 设点在轴右侧，则，即点， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 故抛物线的方程为. （2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为， 设点、， 联立得，， 由韦达定理可得，， 由得，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 同理可知，直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线、的方程得， 解得，则，故点， 因为点在圆上，所以，且，显然成立， 过点作轴的垂线，垂足为点，    ，， ， 令，因为，则，， 所以， 令，则函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为. 因此，的取范围是. 题型五：抛物线的“中点弦”和”焦点弦问题”问题 25.抛物线 （）的准线方程为，过C的焦点作斜率为的直线与 交于，两点，则（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由此可得抛物线方程，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法结合抛物线焦点弦公式求结论. 【解析】抛物线 的准线方程为，焦点的坐标为， 由已知，所以， 故抛物线的方程为，焦点的坐标为， 因为直线的斜率为，过点，所以直线的方程为， 联立，可得， 方程的判别式， 设，则， 又， 故选：D. 26.过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【解析】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 27.过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【解析】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16. 28.已知椭圆的焦距为，抛物线的焦点是的一个顶点. (1)求抛物线的标准方程： (2)若直线与交于两点，且点为线段的中点. （i）求直线的方程； （ii）若为坐标原点，求的面积. 【答案】(1);(2)（i）；（ii）. 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出得抛物线方程； （2）（i）利用点差法求出直线斜率即可得直线方程；（ii）求出弦长及点到直线距离公式利用面积公式得解. 【解析】（1）由题知，可求得， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； （2）如图， （i）由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. （ii）联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 29.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）设点A的坐标 ，由已知可得，求得，可求直线l的斜率； （2）由（1）可得直线l的方程为：，与抛物线联立方程组，设点B的坐标，可得，由焦点弦长公式可求. 【解析】（1）设点A的坐标 ， 因为点A到抛物线准线的距离是， 所以，所以，代入抛物线方程得： 所以点，又因为点， 所以直线l的斜率. （2）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为： 由得：， 可知恒成立， 设点B的坐标，则， ，所以. 题型六：抛物线中的三角形（四边形）面积问题 30.已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出直线方程及点，联立抛物线，又，可解p，继而可解的面积. 【解析】如图， 设，则有，化简为，则，则，则，解得时，，代入解得，则． 故选：B． 31.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（　 ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积. 【解析】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且 ， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 32.（多选）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（　 ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【解析】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以 . 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 33.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线与相交于，两点，则面积的最小值为_____ 【答案】18 【分析】由题设得，设点，，直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理、三角形面积公式求面积最小值. 【解析】由题知，，解得，所以抛物线，， 设点，，直线的方程为，代入， 消去并整理得，所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号，即面积的最小值为18. 故答案为：18. 34.已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为的直线与抛物线交于、两点(在轴上方)，过点、作准线的垂线，垂足分别为、 线段中点为， 四边形和四边形的面积分别记为，则_____________ 【答案】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与轴交于点，即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再计算面积即可. 【解析】抛物线 的焦点为，准线为，设准线与轴交于点， 依题意直线的方程为， 由，解得或， 所以，， 则，，， 所以 ， ， 所以. 故答案为：. 35.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则____________ 【答案】 【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果. 【解析】依题意，抛物线焦点为， 则直线的方程为， 设， 联立，整理得， 则恒成立， 所以， 则， 所以梯形的面积 ， 解得.    故答案为： 36.如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的斜率，根据垂直得到直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）联立直线与抛物线的方程，根据，结合韦达定理求出的值，由弦长公式求出，即可得到的面积. 【解析】（1）由题意可得直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由得，， 设点，，则， 因为，则，解得， 所以，， 由弦长公式可得. 因为，故. 所以的面积为. 题型七：抛物线中的定点问题 37.已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的直线方程为，从而得解. 【解析】由题意，斜率都存在， 设，，， 直线l的斜率， 直线l方程：，化简得 同理直线QT方程：，直线PT的方程：， 点，分别代入直线QP，QT方程， 即，消除，得， 代入直线PT方程：，得， 直线PT过定点. 故选：C. 38.已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1);(2)证明见解析， 【解析】（1）设，则中点， 以为直径的圆半径为：， 因为以为直径的圆与轴相切， 所以， 化简可得：， 即曲线的轨迹方程是； （2）设点,,直线的方程为：, 联立,得,所以,所以 因为, 即, 即 所以, 所以或 当时,直线的方程：过定点,舍去； 当时,直线的方程：过定点, 所以直线过定点． 39.设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【解析】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 40.已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【解析】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 41.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． (1)证明：直线轴； (2)设的外接圆为圆，问：圆是否过定点（点除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析;(2)过定点， 【分析】（1）①联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【解析】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. （2）由（1）得， 线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即； 同理可得线段的垂直平分线的方程为， 联立，消去，得， 所以点在直线上. 设关于直线的对称点为，则， 解得，即关于直线的对称点为， 由于在圆上，故圆也过点，因此圆过定点. 题型八：抛物线中的定值问题 42.已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1);(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解析】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 43.已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)；;(2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解析】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 44.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1);(2)0或;(3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 45.已知直线与抛物线交于两点，且分别在第一、二象限，为线段的中点．设在点处的切线交于点，为曲线段（不含端点）上一点，在点处的切线与直线分别交于点． （1）证明：直线轴； （2）四边形的面积为定值； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）联立方程可求出的坐标，再求出的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出的坐标，从而可求出四边形的面积，即可证明结论； （2）表示出直线的方程，可求出点E所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论. 【解析】（1）证明：①依题意，联立直线方程和得， 解得或4，所以，则. 由得，所以直线的斜率为， 则的方程为，同理可得的方程为， 联立，从而可得，而，因此轴. （2）设，可得直线的方程为， 即， 联立，可得， 同理联立，，可得， 而， 故四边形的面积为，为定值. 46.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； 【答案】(1);(2)定值，4; 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用两点间距离公式列式求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，设，借助直线的点斜式方程求出，再利用韦达定理计算推理得证. 【解析】（1）由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 设， 直线，则 ，同理得，， 因此 ， 所以是定值，且定值为4. 题型九：抛物线中的定直线问题 47.已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解析】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 48.已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或；(2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【解析】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 49.抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 50.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)点恒在直线上. 【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可. 【解析】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 题型十：抛物线中的存在性问题 51.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；定点；(3)为定值，定值为4 . 【解析】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 52.已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1);(2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【解析】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 53.已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1);(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用两点间距离公式列式求出即可. （2）结合三角形面积公式求出的范围即可判断. 【解析】（1）由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不存在. 椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 假设存在，设，射线， 由，得，同理得， 由，，得， 因此 ， 则，所以不存在直线，使. 54.在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)是，定值2304． 【分析】（1）由题意，设点的坐标为，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程. （2）四边形的面积，根据点与圆的位置关系求得的最小值，即可得解. （3）设点的坐标为，则切线方程为，利用相切关系得关于的二次方程，设过点所作的两条切线的斜率分别为，根据韦达定理得，设点的纵坐标分别为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，同理可得，从而代入化简得. 【解析】（1）由题意，设点的坐标为， 由题意得，易知点位于直线的右侧， ，化简得，曲线的方程为． （2）由题意得，的圆心为，半径， 又四边形的面积， 当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为， 四边形面积的最小值为． （3）当点在直线上运动时，设点的坐标为．又， 过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点，则切线方程为， 即，所以，整理得①. 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ． 联立得，③. 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ． 同理可得，⑤. 联立①③⑤三式，得 ， 当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 题型十一：与向量融合 55.已知O为坐标原点，抛物线上一点到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可求抛物线方程，设直线．与抛物线方程联立，可得，由题意可得，可求，进而利用向量的数量积的坐标运算可求. 【解析】因为抛物线一点到其焦点和准线的距离之和为4， 所以，解得，所以抛物线C的标准方程为． 由抛物线C的方程可知，焦点，根据题意可知直线PQ的斜率存在且不为0， 设直线． 由，消去x整理得， 所以，又， 所以， 解得，则，， 则． 故选：A． 56.抛物线的焦点为，为其准线上任意一点，过点作的两条切线，切点为（点与在抛物线同侧），则的最小值为（　 ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据过点的直线与抛物线相切，得到，利用抛物线对称性设不妨设切点为在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值. 【解析】    由，可知抛物线焦点，准线方程为， 因为为其准线上任意一点，设， 设过点且与抛物线相切的直线为：，① 由得：， 所以，整理得，，② 所以，是方程②的两根， 所以，故， 所以， 利用抛物线对称性，不妨设切点为在第一象限，坐标为， 由得，所以， 所以直线的斜率， 代入①可得切线的方程为：， 又因为点在直线上， 所以，所以， 所以点的坐标为， 所以，， 所以 . 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 57.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可分割成上下两部分来求，于是只需求的纵坐标，设出直线方程，联立抛物线，结合题干条件进行求解. 【解答过程】显然直线的斜率非零，可设，联立抛物线可得， 设，且不妨设在轴上方，即， 由题知，，又，即， 故，根据韦达定理，，解得， 于是. 故选：C. 58.已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（　 ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【解析】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 59.已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义来求得直线的方程.（2）根据来进行求解，利用弦长公式求得. 【解析】（1）抛物线的焦点为，， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， ，解得， 所以直线的方程为. （2）由，令，解得，则， 依题意，，， 所以，则， 结合，解得， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $