专项突破08 圆锥曲线中的探索性问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

心专项突破08 圆锥曲线中的探索性问题 1.(2025·湖南长沙雅礼中学高二期中)已知2.(2025·湖北武汉外国语学校高三月考)已 抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(m,6)到 知椭圆E:5+1(a>b>0)的左、右焦点 焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程. 分别为F,F2,离心率为 且经过点 (2)过点F且倾斜角为5严的直线1与抛物 6 A,) 线C交于A,B两点，点M为抛物线C 准线上一点，且MA⊥MB,求△MAB的 (1)求椭圆E的方程， 面积 (2)求∠F,AF,的平分线所在直线I的 (3)过点Q(2,0)的动直线1与抛物线相交 方程 于C,D两点，是否存在定点T,使得 (3)在椭圆E上是否存在关于直线1对称 的相异两点？若存在，请找出；若不存 T元.T而为常数？若存在，求出点T的 在，说明理由 坐标及该常数：若不存在，说明理由」 22黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 3.(2025·江苏盐城高二期中)已知椭圆C:4.(2025·重庆巴蜀中学高二期中)已知双曲 二1a>b>0)的左右焦点分别为P 酸C:-X1@>0,b>0)的左顶点为 F2,N(-2,0)为椭圆的一个顶点，且右焦点 A(-1,0),左、右焦点分别为F1,F2,过F2 B到直线xy=0的距离为 的直线1与双曲线的右支交于P,Q两点 当1PF2I=IAF2I时，PF2⊥AF2 (1)求椭圆C的标准方程 (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交 9 于A,B两点 (2)若三角形APQ的面积为2√0，求直线 ①若直线1过椭圆右焦点F2,且 1的方程； 83 (3)证明：存在实数入，使得∠PF,A= △AB的面积为了，求实数k的值。 入∠PAF,恒成立 ②若直线l过定点P(0,2),且k>0,在 x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA, TB为邻边的平行四边形为菱形？若存 在，则求出实数t的取值范围：若不存 在，请说明理由， 进阶突破·专项练232-2厅，-5），则斜率k的取值范围为 2=2E-5 3 3 ②证明：设H(,%,由①得+5=--=2》.(-2) 3-2 （42-+4】。+42-4+16因为≥a=1少7,2 4 3-2 -3 4(2-3) a=12,(16)0 又P,M,N,H四点在同一直线I上，所以 IPM IPN 2 盟器微经即 1 1 12 22-1'1HNT2-0' (21-1)(2-x0）=(2x2-1)(0-1),化简得2[(1+2)-1]0= 412-(+2）,所以2 2)-1o 2-4+16(k-2,整理 k2-3 k2-3k2-3 得2(-2)-+3]=-4+16-(-2)，解得克即 又点(o)在直线y=(弓）+1上所以=4(。寸)）上 6+9 3x0-8 12zx21 13k “6-4，即% 20-1 3-8整理得30-2y0-6=0, 6-42x01 故点H恒在定直线3x-2y-6=0上. 专项突破08圆锥曲线中的探索性问题 1.解：(1)由地物线的定义得1PF1=y%+号，6+号=9，解得p=6抛 物线的方程为x2=12y (2)如图，设A(x11),B(22),由(1)知点F(0,3),∴直线1的 方程为x+3y33=0. 由3350，可得产-10+9=0，则方+n=10,=9, x2=12y, 六M81=iF11=(*号(+号）n*p=106 16,则不妨取方=1,2=9，则点A,B的坐标分别为(25,1)， (-65,9).设点M的坐标为(1，-3)，则=(25-t,4),成= (-63-4,12),则.=(25-t)(-65-t)+4×12=0,解得 1=-25,即M(-25,-3). 又点M到直线L的距离d-25-6,,故d=45,故△M1B的面 2 积5=，h1=32. 选择性必修第一册·SJ (3)存在，理由如下：设T(00),C(）,D(x4y),过点Q的直 -(x2)联立消去y得2-12+24=0，△>0 线为y=x2)女=1四 时，+=12k,x=24k: 联立消去x得y2+(4k-122)y+42=0,+y4=122-4k,4=4 7元.7市=(-0)(4-0)+(-%)(4-%)=4-0（与+）+ y4-y0(方y4)+场+y6=24k-0·12k+42-y0(122-4k)+号+y后= (24-12x0+4y0)k+(4-12y0)2+后+y6, 要使(24-120+4y0)+(4-120)2+号+的值与k无关，则24- a%=0且4-1=0o-吕宁期特在7（侣）】 使稀元，市为定值 49 a2t61, 2.解：(1)椭圆E经过点A a2=6e2,解得 e=- a a=3, 公5，因受可得损国E的方程为号号1 c=2, (2)由(1)可知，F1(-2,0),F(2,0),由题意可知1w,:5x-12+10= 0,4w,x=2,如图所示： 设角平分线上任意一点为P(,》,侧则15x-12+10=1g-21,得9r- 13 6y-8=0或2x+3y-9=0,又易知其斜率为正，，∠F1AF2的平分线所 在直线1的方程为9x-6y-8=0. (3)方法一：不存在，理由如下：假设存在关于直线I对称的相异两 x22 =1, 点.c.设ey-号a,联 95 可得 2 92-12m+9m2-45=0,则x1+3= ,线段BC中点为 4m (号，)，且在∠R4,的平分线上，即6加-号m-8=0,解 得m=3,因此（么，号），与点4重合，合去，放不存在满足题设条 件的相异的两点 方法二：不存在，理由如下：假设存在关于直线1对称的相异两点 B(x1,y),C(x2y2),线段BC中点M(00),B,C在椭圆上， 黑白题134 95 则，i0g-。子 95 1-南9为t52 95 =1, 50= 9x-6y-8=0, ，因此kow=h 2 9y0 0 6,联立 5 解得 y=6 x=2, 】,与点A重合，合去，故不存在满足题设条件 y=3· 的相异的两点， 3解：(1)由题意得(c,0),又月到直线y=0的距离为号.则 心-号因为6>0，所以c=1,再由椭圆的个顶点为N-2,0),可 迈 得a=2,所以6=a2-。2=4-1=3,即椭圆C的标准方程为+ (2)①由(1)知F2(1,0),直线1：y=kx+m(k≠0)过椭圆右焦点F2可 得0=k+m,即m=-k,所以将直线1：y=k(x-1)与椭圆C的标准方程 之，之=1联立方程组，消去y得(42+3)2-8x+4-12=0 43 8k2 4k2-12 设两交点A(),B(,),则有+4+3“42+3 所以1AB1=1+11-1=1+W 8k212 4x4h3-12 14k2+3 4k2+3 12(2+1) 42+3 又椭圆左焦点F,(-1,0)到直线：k(x-1)-y=0的距离为d= -2所以Sawg之d1A81=7·e 1 11-2k112(k2+1) 1+k 42+3 解释3度：品合，即= ②假设存在点T(,0)使得以TA,TB为邻边的平行四边形为菱形， 如图，由于直线过定点P(0,2),且k>0,可知直线方程为y=x+2, 与椭圆方程子 =1联立消去y得(4k2+3)x2+16kx+4=0,由△= 43 192k2-48>0,且k>0,解得22 设两交点A(x1,1),B(2,为2)，AB中点M(0,%),则有x+2= 4343所以6。二 -16k 4 6 2443%=a+243 6 1 2 即kN=名 ,整理得= 4+3 2k 4+34k+ 3 4+3 又因为6宁所245，)则：e[0）】 参考答案 a=1, fa=1, 62 4()解：如图①，由题意得c+1=。,解得=厅，故双曲线C的标 c2=a2+62 e=2, 雅方程为x 31 2 (2)解：如图②，由(1)知下2(2,0).设直线1的方程为x=y+2,由直 线1与双商线的右支交于P,Q两点知户<： 联立〈 方1，消去整理得(32-1)了+12+9=0，由书达定理 (x=y+2, -124 得 司放1P01=r1-1=, 9 30-1 √(+2)2-4y2=V1+p· 1442366(2+1) V(32-1)23-11-3 1,6(2+1) 点4到直线PO的距离d产后赦SAwz·物 高号面，得4 10(1-32)2,45-322+3=0.(9r2-10(52-3)=0,解得=g或 户号宁会.做 .1 故直线1的方程为x=士3+2，即y=3x-6或y=-3x+6 (3)证明：由题意得A(-1,0),2(2,0),当=2时，2- 3=1,解得 =3,不锁取P(2,3)则∠PRA:受m∠PM”2-D1,所 3 以LP,=号，满是∠PFA=2∠PAB,: 故如果存在实数A,使得∠PF2A=A∠PAF2恒成立，则A=2. 当xP≠2时，证明∠PF2A=2∠PAF2恒成立： 设P(o)(>1,≠2)，则3-=3，所以am∠PA那，=n 6+1 m∠PF,A=tm(-∠PE)-m∠PF”2,则am2∠PA, 2y0 2an∠PAF 6+1 2yo(xo+1) Yo 1-tan2 LPAF 1- -2(0-20(+0° 物2：所以 《和+1 tm2LPAF2=tn∠PF,A, 又∠Pm,e(0,受）LPFAe(O,),故2LPe0,),所以 ∠PF,A=2∠PAF2 综上所述，存在实数A=2,使得∠PF,A=入∠PAF2恒成立 专项突破09数列通项公式的求解 amna=a1·9 1.D解桥：由(n-1)a,=(a+1)a1得二=出 黑白题135