3.2 双曲线 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

3.2阶段综合 黑题 阶段强化 时：60min 已知双曲线C:4m =1(m>0)与双曲线C2: 5.(多选)(2025·陕西汉中高二月考)某数学兴 1. 趣小组的同学经研究发现，反比例函数y= =1(m>0)有共同的渐近线.则m= 2 m 的图象是双曲线，两条渐近线分别为x轴和 y轴，设其焦点为M,,若P为其图象上任意 A.2 B.2 一点，则 C.22 D.4 A.y=一x是它的一条对称轴 B.它的离心率为2 2已知以双曲线C:。1(a>0,6>0)的实 C.点(2,2)是它的一个焦点 轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为16， D.IIPMI-IPNII=22 且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， =1 则该双曲线的标准方程为 ( 6.(2025·江苏宿迁高二月考)双曲线 a216 A.y 4 881 B. xy 1 1616 (a>0)的一条渐近线方程为y=3,F,5B分 D花 别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的 -=1 44 816 一点，则MF,+1MF, 16 的最小值为() 3.(2025·江苏常州高二期中)已知F1,F2分别 是双曲线y F=1(a,b>0)的左、右焦点，A A.2 B.4 C.8 D.12 为双曲线的右顶点，线段AF,的垂直平分线 7.(2025·江苏徐州高二月考)如图，已知F1,F 交双曲线于点P,其中IPFI=5IPF2I,则双 =1的左、右焦点，P,Q 曲线的离心率为 ( 分别是双曲线C:。? A. -1+/17 B.1+I7 为双曲线C上两点，满足F,P∥FQ,且 2 2 1F,Q1=21F,PI=51F,P1,则双曲线C的离心 C. -1+√13 D.1+/I3 率为 2 2 4.(2025·吉林延边高二期中)已知双曲线C: x22 1691的左，右焦点分别为F,R,P为双 曲线C右支上一点，0为坐标原点，Q为线段 √29 PF的中点，T为线段QF,上一点，且IQTI= A. B.29 2 3 10Q1,则1FT1= ( D.9 A.3 B.10 C.v19 C.4 D.5 2 3 选择性必修第一册：SJ黑白题054 8.已知F,F,分别为双曲线C的左、右焦点，过 (3)已知点T(-1,0),过点F作直线m与 F,的直线与双曲线C的左支交于A,B两点， 轨迹E交于M,N两点，记直线TM,TW 若IAF,I=2IF,BI,IABI=IBF2I,则 的斜率分别为k,2,试问：k·k2是否 cos∠F,BF2= 为定值？若是，求出该定值：若不是，请 9.(2025·江苏南通高二期中)已知0为坐标原 说明理由。 点，P6,9)为双曲线c:号若=1(a>0b 0)上一点，A,A2分别为双曲线C的左、右顶 点，且直线PA,与直线PA,的斜率之积为6 则0·A,A= 10.(2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C 的中心在原点，过点(2,0)，且与双曲线x2 2三1有相同的渐近线 压轴挑战 (1)求双曲线C的标准方程： (2025·江苏常州高二期中)已知双 (2)已知A,B是双曲线C上的两点，且线 段AB的中点为M(3,3),求直线AB的 曲线：2-片=1(6>0)，其中一条新 方程： 近线的倾斜角为60°，点A(0,4),坐标原点0 (3)设双曲线C:。京1(a>0,b>0)的半焦 (1)求b的值： (2)直线I经过点A,与E的两条渐近线分别交 距为c,直线1过(a,0),(0,b)两点，已 知原点到直线1的距离为。，求双曲线 于点M,N若△0MN的面积为385.求直线 1的方程： 的离心率 (3)如图，直线y=kx+m交双曲线E的右支于 不同两点B,C,若1ABI=1AC1,求实数m的 取值范围。 11.(2025·江苏扬州高二期中)已知F,(-2, 0),F(2,0),点P满足IIPF,I-IPF2II=2, 记点P的轨迹为E (1)求轨迹E的方程 (2)直线1经过点A(5,0),倾斜角为45°，与 轨迹E交于C,D两点（点C在点A,D 之间)，若AC=AAD,A∈R,求A的值 第3章黑白题055轴或y轴.若1⊥x轴，由 4解得=4或所 x=√5x=5, 以1AB1=8,即A=8,符合题意：若11y轴，由2广 24…解得 y=0. {亿0比时41=A=2.为最短弦长，只有一个解，面不 是三个解不符合题意，故舍去综上可得A=8故答案为8 11. [52w31 L23 解析：由题意得点(2a,:)在双曲线外部或在双曲线 上，则2a)22 ≤1，得≤人假设存在以(24.)为中点的 y1+y2 设弦与双曲线交于点4(1)人，B(名为)，则)=2,2 2 a,由点A(J),B(2)在双曲线上，得 26 =1, 两式作差 a2 b2 =1 得() 1 62(￥12）62·42 a(y1t3)a2·2am2 :不存在该中点弦直线AB与双曲线 a 1 1 2 1+1+ 3 反e≤ 3故答案为 [52w31 2·3 12.解：(1)由题意D(2.0),即a=2.义 F(e.0),F(c,0).则DF=(-e-2,0) DF,=(e-2,0),则DF·DF= -(c+2)(c-2)=4-e2=-1,即c2=5.则 6=2-=1.即cy21 (2)由(1)知：P,(5,0,将x=5代人双曲线.得)=±2 不妨令P(5.号）又双线渐近线为2=0，如图所示，所以 1Pe5,Pg=5"期PPa= 4 5 5 x2.2 13.解：(1)当m=2时，曲线6：)+乞=1是椭圆.1FB1=2c 2×√9-2=2w7 因为四边形AF,BF,是矩形.所以AF,⊥AF2,IAF,I2+|AF,I2= 1F,F2=28,由椭圆的定义得1AF,1+1AF21=6,所以1AF,1· 1A,1-a+4,1)'-1+A,2.36-28.4 2 2 2度o.周=60.号21.设P.则号 9 x2- 场写9号所以m=-1,所以C是双 以k3= 曲线，且线C号y ①因为号=1.所以商心率四. 3 3 ②1F,F531=2×V9+1=2V0 压轴挑战 D解析：由E为黄金分湖双曲线可得日2即。+ac().对 参考答案 （+)两边同除以a2可得2。-1=0，则e51 ,A正确： 变形得a=c2-2=62,所以1AB12+1BF12=n2+62+o2+2=n2+e2+2(c2- a2)=3c2-a2,lAF12=(a+c)2=a2+2ac+c2=3e2-a2,所以AB⊥BF.所以 ∠ABF=90°.又∠AOB=90°，所以∠BAO=∠FBO,∠ABO=∠BFO.所以 △M0B△BOF,所以0_10B IOBI IOFI 所以10A11OF1=0B12,B正确： 设P(1y),Q(),M(0%),将P,Q坐标代入双曲线方程可得 x a2621, 号好 o=1, 66,公 作差后整理可得】.力+少。6 2 221=5+1 所以w·w二 ,故c正确： 设直线0P:y=,则直线00：y=,将，=：代人双曲线方程2- a2y2=a262,可得2= n,则s2 a22 “-a深，所以10p2=r2+y2。 将接或甲得0 b2-a 10P2+ 1（6-)(2+1).-.上1与ab的值有关，故D错误 1001 a22(2+1) a262a262 故选D. 3.2阶段综合 黑题 阶设强化 上C解折：风商线G的新近线方程为)=±受，双面线G,的新近线 方程为y=±入m .所以瓜 ,所以m=22.故选C 2√m 2A解析：因为双商线二卡=100.0)的两条新近我将坐标平 面四等分，所以渐近线方程为y=x,因此=，则实轴与虚轴相等。 22 又因为以双线C:。下=1(a>0,6>0)的实轴虚轴为两条对角 线的四边形的面积为16，则2x2a=16,即心2=8，因此该双曲线 的标准方程为号 -=1.故选A 3.C解析：如图，设线段AF,的垂直平分线与x轴的交点为B,不妨设 点P在第一象限，则1R81=2-分-”，1f,81= (IPFI-IPFI=2a. IPFI=51PF2I ,=宁将由匀股定理裂1 5a =,-5a.所以(3广-(）广-（之） (号）广，等式两边同除以心整理可得2e-3=0,科 2 或（会去）.故选C 线C (第3题) (第4题) 4.C解析：如图，因为P为双曲线C右支上一点，所以IPF,1一 1PF21=2=2√16=8因为0为坐标原点，Q为线段PF,的中点，所 黑白题039 以001=1PH,l,F,Q1=PF,l,则ETI=1E,Q1-10T= FQ1-1001=2(1PF,-P51)=4故选C 5,ABD解析：反比例函数的图象为等轴双曲线，放离心率为2，容易 知道y=x是实轴所在直线，方■一x是虚轴所在直线，坐标原点是对称 中心，联立实轴方程y=x与反比例函数表达式y=】得实轴顶点 (1,1),(-1,-1),所以n=2,c=2,其中一个焦点坐标应为(2. √2)而不是(2,2)，由双曲线定义可知11PW1-1PN1=2a=22.故 选ABD, 四重难点拨 渐近线的夹角与双曲线的离心率存在对应关系。 &B解折：双商线二。-1>0)的一条新近线方程为， -x= 3,所以a=3,e=5,当点M在双曲线的左支时，1M,1 16 1F,=2a=6,1W,1=M,1+6.所以1M1+M,F,1+ 16 16 ,+6≥2ME1·W+6=14.当且仅当1MF1=WR 1MF,I=4.IMF,1=10时等号成立.当点M在双曲线的右支时 1MF,-IMF,=2a=6,1ME,1=F,I-6,所以1MF,1+MET 16 F,+MP6(其中MF,1≥a+e=8),对于雨数)=+ 16 16 1616 (x≥8).任取8≤x1<x2八x1)-f八：)=1+ =x12-16· 1-_（12）(x2-16) ,由于1-3<0，x12-16>0,>0,所 12 1 以f代x)-f)<01)<),所以x)在[8，+x)上递增，所以 f8=8+-10,所以1+，+6 16 16 的最小值为10-6=4综上所述，MB,中6的最小值为4故选B 7.B解析：如图，延长QF,与双曲线C交于点P,因为F,P∥FP,根 据对称性知1F,PI=1F,P1,连接QF1,F,P, 设1F,P1=1F,PI=2,则1F,P1=5t,IF3Q1=10,可得IF3P1- 15P==2a,甲1子a,所以1P01=122 a,则10F,1= 0,1+2a-.f1=FP1=9.所以1P0+1R,P QF,P,可知∠F,PQ=∠F,PF3=90.在△PF,F中，由勾股定理 1PP+I5,P2=P,即（子）+(）广=，解 3放选B )餐折：如周，由于A,=21RB,A1=,.且所， 1BF,1=2a,1AF2I-1AF11=2a.设1BF1=m,则IAF,1=2m,故 1BF21=3m,所以3m-m=2,即m=a,则1BF1=,1AF,1=2a, IBF:I■3a,IAF,I=4,在△BAF2中，由余弦定理得s∠F,BF,= 99-心。放省案为可 2×3a×30 选择性必修第一册·SJ (第8题) (第9题 9.0解折：由题意知4(-a0)da0),P(5,）为双黄线C 1616 x22 产京=120，b>0》上一点则·2=3本·。=).解得 256 9义：点P在双商线G上则曾是1，解得=16， 4(-3.043.0,则0亦=(5,5）=(6.0)，所以0亦 A=30.故答案为30 0解：()调为双幽线C与双曲线之。」有相同的南近线，不纺设 双曲线C的方程为x 2 =A(A≠0)，又因为双曲线经过点(2， Q,解得4=4，所以双曲线c的标准方程为工： (2)不妨设A(x1,1),B(1J2）, 因为线段AB的中点为M(3,3).所以x+2=6,+为=6因为A,B 48 两点都在双曲线C上，所以 可得 8(万+力)(1 481 1 1 2)=4(由+)().即8(-归)=年（)，则 方2=2，所以直线4B的方程为)一3=2(x-3),即y=24-3 12 (3由题可设直线1的方程为行片=1，即红+：0.由原点 6c,即16(c2-2) 、到直线1的距离为得4=心=心3小 3c4,两边同时除以a4得16(2-1)=3.整理得3e*-162+16=0. 部得产一学或4，放双自线的离心水务，2发2 11.解：(1)因为1PF,1-1PF,1=2.所以点P的轨迹为以F,(-2.0), F(2,0)为焦点的双曲线，设此双曲线方程为子-二 026京=1(a>0,63 0.易如2又由-=3，解得低每机连E的方我 162=3, 为号1 (2)因为直线【经过点A(5,0),倾斜角为45°，所以直线1的方程为 y=x-5,联立 -号1解得=2支2散得点c(2.-3) (y=-3(y=-12. y=x-5, 和点D(-7,-12),则4元=(-3，-3)，Ai=(-12,-12),由A花=Ad 1 得(-3，-3)=A(-12,-12),解得A=4 (3)方法一：由题意得直线m不可能与x轴重合，设m:x=心+2， 黑白题040 (y,),N(x23),联立 -3l得到(3m2-1)y+12+9= x=+2. 0.而3n2-1≠0.4=144n2-36(3n2-1）=36m2+36>0.由书达定理得 -12n y+为= 3n2-1 所以k1·k:= 2 9 1+“+1(y,+3)(2+3) 9 32-1 9 +3n0*9)499g3:(2mgm3-6m249(3w2- 3m2-13n2-1 -1,放·与是为定值，且该定值为-1 9 方法二：①当直线m的斜率不存在时.直线方程为x=2,可得(2. 3),N(2,-3),此时k1·1=-1: ②当直线m的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),联立 3=1,得到（3-2)x2+4h2x-4报2-3=0，面3-尺*0,4= y=k(x-2). 16M+4(3-2)(4+3)=36(2+1)>0.由韦达定理得 x1+2-3 4h2+3 所以·与=五 、32k2(1-2)(2-2) 1+12+1(x1+1)(2+1) -3 k2x12-22(1+)+42 k2(42+3)-242·42+4k2(2-3) 无1+(x+32)+1 42+3+4h2+42-3 -9k2 9-1故与·与是为定值，且该定值为-1 综上所述，k,·为定值，且该定值为-1， 压轴挑战 解：)因为渐近线的颜斜角为60，所以m60=子=厅，所以6=3 (2)由题意可知直线1的斜率存在，设【：y=x+4,由(1)可知渐近线方 4 程为=3x,联立=红+4， 5-k 可得 不妨取M 443 (y=3x. 45 原-k3-k y 3-k 16 48 8 所以IO川= V(5-k)2(3-h)21w3-k1 4 .43 ,所以1ON1= 16 48 同理可得N √(3+)2（厚+k)2 8 所以S6】x10x1ox兮号68 I3+k1 23-3,解得k=±3 所以1y=±3x+4. (3)如图，设(x1),C(22),BC的中点为D(y),由题意可知 直线【的斜率的绝对值大于新近线斜率的绝对值，所以k∈ (-,-3)U(5,+): =1. 3 联立 可得守-转=所以3) 3 x1上 3 又因为2年=+2=2.k=所以6=2，即3，= 又因为1AB1=AC1,所以A01BC.所以6c·o=-1,所以k.力-4 3x3=5, -1,联立 .54 ,可得色=所以D(k.3),将y=3代人双曲线 =-1 y=3, X3 方程x2 3=1中，可得x=±2因为D在双曲线的右支内部，所以>2 参考答案 又因为红+m=为，所以m=1-年1=3-2，所以m<3-22=-1,即m∈ (-x,-1). 3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 白题 基础过 1.D解析：设点P为满是条件的一点，因为点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，由港物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为 准线的抛物线上.故选D. 2C解析：由题意及抛物线定义，点到抛物线C的准线x=-2的距 离为6，所以点M到y轴的距离为6-2=4.放选C. 3.C解析：由题设，抛物线准线为x=-2,结合题设及抛物线定义，则 有1PF1=1+2=3.故选C 四重难点拨 若P(x6·%)为微物线y2=2r(P>0)上一点，则焦半径1PF1= + 4.D解析：由题意.可设地物线为x2=2m,又因为点(1，-2)在抛物线 上，所以-物=1→印=故所求抛物线为=了故选D 5.B解析：由题意知动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3 0)的距离相等，由地物线的定义知，点P的轨迹是以(3.0)为焦点。 x=-3为准线的抛物线.所以p=6.点P的轨迹方程为y2=12红故 选B 6.C解析：，直线y=红-k=(x-1).∴，直线过定点(1,0).∴，当k=0 时.直线y=0与抛物线有…个公共点.即顶点：当k≠0时，点(1.0) 在抛物线的内部.六.直线与抛物线有两个公共点综上所述，直线与 抛物线有一个或两个公共点故选C 四方法总结 判新直线与批物线的位置关系的方法： 联文直线与抛物线方程，消元整理后得到的方程的解的个数即为直 线与抛物线的交点个数 ①若二次项系数为0，此时直线与酷物线有一个交点，直线与抛物线 相交； ②若二次项素数不为0，则判斯该一元二次方程的判别式的符号， 若△>0，则直线与抛物线有两个交点，直线与抛物线相交： 若4=0，则直线与批物我有一个交点，直线与抛物线相切： 若△<0，则直线与抛物线没有交点，直线与抛物线相离 7.AD解析：点(0,1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点 的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的 对称轴，可得直线x=0是过(0,1)且与抛物线相切的直线，直线y=1 是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足 条件.放选AD. 四易错提醒 直线与批物线只有一个交点包括两种情况： ①相交，但其有一个交点，对应联立后的方程的二次项系数为0： 2相切，对应联立后的方程的二次项系数不为0且4=0. 8.(-1,1）,(2,4) 解折：联立化郸（国此直 线y=+2和抛物线y=x2的交点是(-1,1).(2,4).故答案为(-1. 1).(2.4). 强：心直线1与抛物线C相切心联立，得户+(2山-4中 2=0..4=(2b-4)2-462=16-160=0.解得b=1. 黑白题041