专题09 等差数列、等比数列与数列求和（12大考点45题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题09 等差数列、等比数列与数列求和 12大高频考点概览 考点01 等差数列通项公式的基本量计算 考点02 等差中项 考点03 由递推关系证明数列是等差数列 考点04 等差数列的性质及应用 考点05 等比数列通项公式的基本量计算 考点06 等比中项 考点07 由递推关系证明数列是等比数列 考点08 等比数列的性质及应用 考点09 错位相减求和 考点10 裂项相消求和 考点11 分组求和 考点12 数列与不等式 地 城 考点01 等差数列通项公式的基本量计算 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知等差数列的前和为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据，即可根据等差数列的性质得求解. 【详解】在中取得，故，所以. 故选：A. 二、解答题 2．(24-25高二上·江苏马坝高级中学·期中)已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 3．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得. （2）利用错位相减求和法求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，， ，解得，所以. （2）由（1）得， 所以 ， 两式相减得 ， 所以. 4．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 地 城 考点02 等差中项 一、单选题 5．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线参数关系及等差数列性质可得方程，化简即可. 【详解】由已知，即 又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列， 即，∴， 化简可得， 解得或（舍）. 故选：A. 地 城 考点03 由递推关系证明数列是等差数列 6．(23-24高二上·江苏泰州联盟五校·期中)设是等差数列的前项和， (1)证明：数列是等差数列； (2)当 ， 时，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可； （2）由已知条件求出和，然后求的前项和即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ， ， 为常数. 所以数列是等差数列 . （2）， ， ， ， . 7．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 8．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 地 城 考点04 等差数列的性质及应用 一、单选题 9．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用等差数列下标和的性质及前项和公式可得的通项公式，由可得等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果. 【详解】因为为等差数列， ，所以，， ，所以， 所以， 所以，解得， 所以等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数， 所以取得最小值时为4. 故选：. 10．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（   ） A． B．30 C．80 D．不存在 【答案】B 【分析】根据题意分析的符号性，进而可得前项和的最值. 【详解】由题意可知：，且数列为递减数列， 当时，；当时，；当时，； 所以数列的前项和的最大项数为5或6，最大值为. 故选：B. 二、多选题 11．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】CD 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】选项A，由， 令，解得，令，解得， 又，所以，，又数列单调递减， 故数列前项的和最大，故 A错误； 选项B，当，时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，， 则（为常数），数列也是等差数列，故D正确. 故选：CD 12．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 当时，，故A正确； 当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确； 设等比数列的公比为， 若“”，则，故C正确； 当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题 13．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 地 城 考点05 等比数列通项公式的基本量计算 一、单选题 14．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)在等比数列中，若，则（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故，故， 故选：D 15．(24-25高二上·江苏常熟·期中)在等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 则，因为， 所以，解得， 所以. 故选：B 16．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 17．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 18．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 【答案】B 【分析】利用等比数列性质计算可得，可得，代入前和公式计算即可. 【详解】根据题意设等比数列的公比为， 由可得，即； 因此，解得，所以； 可得. 故选：B 二、解答题 19．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；                             （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，， 所以； 因为，所以． （2）结合（1）可得： ． 20．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 地 城 考点06 等比中项 一、单选题 21．(23-24高二上·江苏扬州宝应县·期中)已知等差数列满足：，.若将，，都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】首先求出的通项公式，设，，都加上同一个数，根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为，，所以，则， 所以，，设，，都加上同一个数， 得到的三个新数依次为、、，则，解得. 故选：A 22．(24-25高二上·江苏苏州·期中)在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 地 城 考点07 由递推关系证明数列是等比数列 一、多选题 23．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误. 【详解】A选项，当时，，解得， 当时，， 故， 所以为公比为2的等比数列，，A错误； B选项，当时，， 故，所以为递减数列，B正确； C选项，，，， 故，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：BC 24．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可. 【详解】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BD. 二、解答题 25．(23-24高二上·江苏盐城响水中学·期中)已知数列满足：，，设． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用定义法证明； （2）借助等比数列通项公式，再求数列的通项公式； （3）错位相减求数列的前项和. 【详解】（1）由，，可得， 因为，即， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列． （2）由（1）可得：，即，所以． （3）由（2）可知：， 则， 可得， 上面两式相减可得：， 所以． 26．(23-24高二上·江苏盐城阜宁中学·期中)已知数列的前项和为，且． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据的关系即可作差得，进而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，即可根据等比通项求解， （2）根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）∵ ，∴ , 两式相减得：，∴ , ∴ ， 令得：，∴ ，, ∴ 是以1为首项，2为公比的等比数列, ∴ ，即． （2）由（1）得：，是以1为首项，为公比的等比数列， ∴ 27．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴ 地 城 考点08 等比数列的性质及应用 一、单选题 28．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 二、填空题 29．(23-24高二上·江苏盐城第一中学·调研)已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，可得：进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得：，，成等比数列， 则， 由于，所以 ， 当且仅当时取最小值，故最小值为 故答案为：． 30．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用基本量法可求与公比，故可求. 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 地 城 考点09 错位相减求和 31．(23-24高二上·江苏南通海安实验中学·期中)已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，利用累乘法计算出，检验时，也成立，得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由， 得， 则当时，， 所以， 当时，上式成立， 所以； （2）由（1）知①， ②， ①-②得，， ． 32．(23-24高二上·江苏镇江丹阳·期中)已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，证明：数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程求出首项和公差可得数列的通项公式，通过可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得的通项公式； （2）利用错位相减法可得，然后观察可证明结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， ， ， ， 两式相减可得，即 又，得，， 数列是以为首项，2为公比的等比数列 ； （2）由（1）得， ， ， 两式相减得 ， ， . 33．(23-24高二上·江苏启东·期中)设数列满足：，，且对任意的，都有． (1)从下面两个结论中选择一个进行证明． ①数列是等差数列； ②数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由已知根据等比数列的定义可得证是以3为首项，2为公比的等比数列；再由等比数列求得通项公式. （1）利用定义法证明等差数列等比数列. （2）由（1）得通项公式，根据错位相减法可求得. 【详解】（1） 又 ，从而 因此，数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 于是， 证明：①， 数列是等差数列，其首项为，公差为. ②由(*)可知，， 数列是等比数列，其首项为，公比为2. （2）由①可知，即， 由②可知，即 ， ， 两式相减得， 【点睛】(1)证明等差等比数列方法：定义法，中项法 (2)求前项和方法：分组求和；裂项相消；错位相减. 34．(23-24高二上·江苏常熟·期中)已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）依题意得，解得 ，即； （2）①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 35．(24-25高二上·江苏常熟·期中)设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 (1)求数列的和公比； (2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 36．(24-25高二上·江苏镇江中学·期中)数列的前项和记为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由已知得出，令可求出的值，令，由可得出，两式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求出，利用错位相减法可求得； （3）由可得，令，分析数列的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，所以， 当时，， 所以，整理可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）因为，所以，，① 可得，② ①②可得 ， 因此，. （3）结合（2），， 令，即，即， 设，则， 当时，，数列为递减数列， ，， 故对所有正整数，， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列． 地 城 考点10 裂项相消求和 37．(22-23高二上·江苏镇江中学·期中)已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式； （2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围． 【详解】（1）因为数列的前n项和满足， 当时，， 两式相减得：，即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）可知：， 所以 ， 对任意的，不等式都成立，即， 化简得：， 设， 因为， 所以单调递减，则，所以， 所以实数k的取值范围是． 38．(24-25高二上·江苏常熟·期中)已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再得到为常数即可求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可. 【详解】（1）已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 （2）由（1）得， 则 39．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 40．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知数列的前项和为，，且． (1)求； (2)若从数列中删除中的项，余下的数组成数列． ①求数列的前项和； ②若成等比数列，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由可得，两式作差可得，利用累乘法可得结果. （2）①确定数列中的项为数列的偶数项，求数列的通项公式，通过裂项相消法即可求. ②利用条件可得，利用放缩法可得，即可证明结论. 【详解】（1）∵，∴当时，， 两式相减得，，整理得，即， ∴当时，，满足此式， ∴. （2）①由（1）得，，∴，， ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 当为奇数时，为偶数，为的整数倍，是数列中的项， 当为偶数时，为奇数，不是数列中的项， ∴数列中的项为数列的偶数项，且， ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴， ∴，， ∴. ②由①得，，∴， ∵成等比数列，∴，即， ∴，∴， ∴. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问①的关键是确定数列中的哪些项需要删去，以此得到数列，解决第（2）问②的关键是利用得到，以此证明不等式成立. 地 城 考点11 分组求和 41．(23-24高二上·江苏常熟·期中)已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质和求和公式计算； （2）利用分组求和的方法计算. 【详解】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，，所以，即． （2）因为，所以， 所以． 42．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2)5150. 【分析】（1）根据给定条件，建立首项、公差的方程，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用并项求和法求解即得. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 43．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)①或；②存在， 【分析】（1）根据题意结合等差数列的求和公式分析证明； （2）①根据（1）中结果，结合等差数列通项公式运算求解即可；②根据等差数列求和公式结合分组求和求，分类讨论，分析数据的整数型求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的公差为 由题意可得：， 则二次项系数，且常数项为0， 所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①由题意可知：， 即 ， 可得，解得，或， 若，则； 若，则， 综上所述：或； ②因为， 当时，若，，则，不合题意； 当时， 若为偶数，则 ， 因为为偶数，则或， 若，则，即，不合题意； 若，则， 整理可得， 可知，代入检验可得仅成立； 若为奇数，则 ， 因为为奇数，则或， 若，则，即，不合题意； 若， 则， 整理可得， 显然为偶数，方程无解，不合题意； 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键时分析数据的整数性，分类讨论的特征解题. 地 城 考点12 数列与不等式 44．(23-24高二上·江苏启东中学·期中)已知数列的前n项和满足 (1)求数列的通项公式; (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】首先令求出首项，然后当时，有，两式相减，得到数列的递推关系，发现数列是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求得，得到所求； 将的通项公式代入不等式等价于对恒成立，即进一步求出的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 即， 解得： ； 当时，， 则， 即， 即， 数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ， 即； 又也适合上式， 故. （2）原不等式可化为：， 等价于， 记， 则对恒成立， ， 又， 当时，， 即； 当 时，， 即， 数列的最大项为， 即， 解得： . 【点睛】易错点点睛：本题主要考查由数列的与的关系式求通项公式的方法以及求与数列有关的恒成立中参数范围的求法；在由数列的与的关系式求通项的时候要注意的范围及验证. 45．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)已知数列的首项为1，前n项和为，且对任意的，均有. (1)当时，证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)当时，均为整数，若使得对一切恒成立的的所有可能取值有9个，求T的值. 【答案】(1)证明过程见解析，； (2)，20，21. 【分析】（1）利用得到为公比为2的等比数列，且； （2）利用得到，，利用和得到，由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大，经验证，，20，21时满足要求. 【详解】（1）当时，①，当时，， 当时，②，①－②得，即， 又，所以为公比为2的等比数列，且； （2）时，③， 当时，，当时，④， 式子③－④得， 故，故， ，，即，故，， ，即，， ， 其中，，故不等式恒成立， ，， 解得， 其中， 由于，故 所以，， 同理可得， 故需满足的范围为， 由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大， 当时，， 的所有可能取值为，为8个，不合要求， 当时，， 的所有可能取值为，为9个，满足要求， 经验值和时，满足要求， 当时，， 的所有可能取值为，为10个，不合要求， 因为对一切恒成立的的所有可能取值有9个， 所以，20，21. 【点睛】对于公式， （1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式， （2）当时，，求出， （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09等差数列、等比数列与数列求和 ☆12大高频考点概览 考点01等差数列通项公式的基本量计算 考点02等差中项 考点03由递推关系证明数列是等差数列 考点04等差数列的性质及应用 考点05等比数列通项公式的基本量计算 考点06等比中项 考点07由递推关系证明数列是等比数列 考点08等比数列的性质及应用 考点09错位相减求和 考点10裂顶相消求和 考点11分组求和 考点12数列与不等式 目目 考点01 等差数列通项公式的基本量计算 一、单选题 124高三上江苏肖道知条部分学校期记为等签数列，的前和为受-生，会=() B.3 C.3 D.1 二、解答题 2.(24-25高二上江苏马坝高级中学期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a2+a4=10,S,=49 (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=(-1)”an，求b+b2+b+…+b2o. 3.(24-25高二上江苏苏州期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,am=3an+2. (1)求数列an}的通项公式： 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 (2)设bn=2"-an,求数列{bn}的前n项和 4.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中已知等差数列{an}的前n项和为Sn，,a2=4,S,=30 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记b,=- ,nN,若b,A,A成等差数列，求c并证明6，}为等差数列 n+c 目目 考点02 等差中项 单选题 气2425资二上江苏盐城七校联考期刊若双曲线若-为-G>0>09实兰长、座华长、子距成 等差数列，则这个双曲线的离心率为() 17 4 5 15 A. 15 B3 C. 3 D. 17 目目 考点03 由递推关系证明数列是等差数列 6.(23-24高二上江苏泰州联盟五校期中)设S,是等差数列a,的前项和，b,=S n (1)证明：数列{bn}是等差数列： (2)当a,=4,b,=5时，求数列bn}的前n项和Tm· 7.(24-25高二上江苏淮阴中学期中)已知数列{a,}的前n项和为S,a1=2a,+2”(neN)，a,=1. (1)证明：数列 0 2” 为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和为Sn; (3)若Sn≤2an-4n-2对任意n∈N恒成立.求实数的取值范围. 8.(24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)已知数列an}满足a+a2+…+an=2n-ann∈N) (1)求a1+a2+a3的值； (2)求证：数列{1og4an-2是等差数列； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3③)冷b,=(2n-(2-a,(neN),如果对任意n∈N,都有b,+is ，求实数t的取值范围。 2 目目 考点04 等差数列的性质及应用 一、单选题 9.(24-25高二上江苏准阴中学期中)若等差数列an}的前n项和为Sn,a,+a+a,=6,S,=-7.则Sn取 得最小值时n的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 10.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中)已知等差数列{an}的首项为10，公差为-2，则数列an}的 前n项和的最大值为() A母 B.30 C.80 D.不存在 二、多选题 11.(2425高二上江苏连云港灌云县第一中学期中)数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是() A.若a,=-2n+13,则数列an}的前5项和S最大 B.若等比数列an}是递减数列，则公比9满足0<9<1 C.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2o25>0,，则a1o13>0 D.已知{an}为等差数列，则数列 S. 也是等差数列 n 12.(24-25高二上江苏苏州期中)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，m,n,p,9∈N°.() A.若m+n=p+g,则am+an=ap+ag B.若anm+an=a。+ag,则m+n=p+9 C.若m+n=p+9,则bnb,=b,b, D.若bnbn=b,b,,则m+n=p+q / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 三、填空题 13.(Q425高=上江苏连云港靠云县第一中学期中已知等差数列om的首项a:=1,公差d-},当 am最小时，n= 目目 考点05 等比数列通项公式的基本量计算 一、单选题 14.(24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)在等比数列{an}中，若a=4,a,=8,则a1=() A.-32 B.-16 C.16 D.32 15.(24-25高二上江苏常熟期中在等比数列{an}中，a1=2,a2·a=32,则a的值为() A.8 B.16 C.32 D.64 16.(24-25高二上江苏淮阴中学期中)若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数 列的公比为() A.3 B.-3 C.±3 D.±9 17.(24-25高二上江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)己知等比数列an}的公比9>1，且满足 a2+a4=5,a3=2,则q的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 18.(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校期中)已知正项等比数列{an}的前n和为Sn,a2=4,a,a=64,则 S=() A.85 B.62 C.32 D.31 二、解答题 19.(24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)己知数列{an}为等差数列，a1=3,数列{bn}为等比 数列，公比为2，且a4-a2=6,b=4 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式： / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设数列cn}满足cn=an+bn,求数列cn}的前n项和T, 20.(24-25高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=6且a,=8. (1)求a; (2)若an>0,求数列l0g2an·Sn}的前n项和T,. 目目 考点06 等比中项 一、单选题 21.(23-24高二上江苏扬州宝应县期中)已知等差数列{an}满足：a1=-8,a2=-6.若将a,a4,4都加上 同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为() A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 22.(24-25高二上江苏苏州期中)在2和8之间插入3个实数a,x,b,使得2，a,x,b,8成等比数列，则x的值 为() A.-4 B.-4或4 C.4 D.5 目目 考点07 由递推关系证明数列是等比数列 一、多选题 23,2425高上西交大附设S,为数列Q,的前n项和若3,2+)，则( A.an=2"-2 B.数列{an}为递减数列 C.as=4as+a D.S6=a 24.(24-25高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知数列{an}的首项为1，前n和为Sn,且a1=2Sn,则() A.数列{an}是等比数列 B.{Sn}是等比数列 C.a=81 D.数列lg,S.的前项和为mn- 2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 25.(23-24高二上江苏盐城响水中学期中)已知数列{a,}满足：a=1,na1=4(n+1)a,设，=g n (1)求证：{b}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn: 26.(23-24高二上江苏盐城阜宁中学·期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n-3(n∈N). (1)求证：数列{a,-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式： a,一，数列c.}的前项和为工，求证：T<2. (2)设cn= 72425商上苏苏州期中已知数列0，b,满足公C620且4，b,主 bu=-2an +26+4, (1)求a3; (2)证明数列an -n- 是等比数列，并求a, 目目 考点08 等比数列的性质及应用 一、单选题 28.(24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学.期中)等比数列{an}中，a2=4,a3·a4=128,则a的值为() A.8 B.16 C.32 D.64 二、填空题 29.(23-24高二上江苏盐城第一中学·调研)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S4=10,则 2S2-3S+S4的最小值为 30.(24-25高二上江苏苏州期中)已知等比数列{an}满足a6+a,=1,a,a1o=-2,则a1+a16= 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点09 错位相减求和 31.(23-24高二上江苏南通海安实验中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且 a=22m(S1-S)=(m+1a. 1 (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn. 32.(23-24高二上江苏镇江丹阳期中)已知等差数列an}的前n项和为Sn,a3=5,S,=81,数列{bn}的前 n项和为n,b=2且Tn=bn1-2. (1)求数列{an}和bn}的通项公式： ②令c。6，证明：数列c,的前项和P 33.(23-24高二上江苏启东·期中)设数列an}满足：a1=1,a2=5,且对任意的n∈N,都有 an+2=4an+1-4an. (1)从下面两个结论中选择一个进行证明. ①数列 是等差数列； 2" ②数列an n2" 是等比数列； 4 (2)求数列{an}的前n项和Sn. 34.(23-24高二上江苏常熟期中)已知等差数列an}的前n项和为Sn,公差d≠0，且S,+S,=50,a,a4, a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设 是首项为1，公比为3的等比数列， a ①求数列b,}的前n项和T,; ②若不等式元T,-S,+2n2≤0对一切n∈N*恒成立，求实数1的最大值 35.(24-25高二上·江苏常熟期中)设数列an}的前n项和为Sn,若对任意的n∈N,都有S2m=kSn(k为常 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数)，则称数列{a}为“和等比数列”，其中k为和公比.已知{bn}是首项为1，公差不为0的等差数列，且 n b,}是和等比数列，设c,=,数列c,的前项和为工。 (1)求数列b}的和公比； ②若不等式乙4>m-2对任意的n∈N成立，求实数m的取值范围 425高三上江水镇江中学期中刊数列Q的前项和记为S,0,夕 (1)求数列{an}的通项公式： ②)设6=08，求数列b,的前项和工； a (3)对于(2)中的数列bn},问是否存在正整数k,使得b、2b2、kb成等差数列？若存在，请求出所有符 合条件的正整数k;若不存在，请说明理由. 目目 考点10 裂项相消求和 37.(22-23高二上江苏镇江中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=4a,-4n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn= a,-1川a-可，了是数列6}的前项和，若对任意的neN,不等式？，>1-人都成立，求实 an n+1 数k的取值范围， 38.(24-25高二上江苏常熟期中)已知数列an}和数列bn},Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an-2, nb-(n+1)b =n2+n(nEN"),az =4b (I)求数列an}和数列{bn}的通项公式； (2)若数列{c}满足，=4b一，求数列{c,}的前项和7 39.(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)己知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 2Sn=3an-1. (1)求数列{an}的通项公式. / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知6，=2m+1 4”a,求数列b.}的最大项，以及取得最大项时的值. (3)已知cn= 1-2n …an,求数列cn}的前n项和Tn. n(n+1) 40.(24-25高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=(n+1)an,且a1=3. (1)求an; (2)若从数列 中删除{an}中的项，余下的数组成数列{bn}. ①求数列 1 bb 的前n项和n; 1 1 ②若b,bm+1,b成等比数列，记数列 的前项和为4，证明：A,<石 目 考点11 分组求和 41.(23-24高二上江苏常熟期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足2a=a2+14,S,=72. (1)求数列{an}的通项公式： an,n为奇数 (2)若数列{bn}满足bn= 2,n为偶数’ 求数列{bn}的前2n项和Tn. 42.(24-25高二上江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知数列{an}是等差数列，且an>0恒成立， 它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2. (1)求{an}的通项公式. (2)若b,=(-1)”·a,n∈N,求数列bn}的前100项和So. 43.(24-25高二上江苏南通海安高级中学期中记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,(d1≠0) (1)证明：Sn是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列{b}的公差为d,且Sn=abn ①求{bn}的通项公式： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②记Cn= Q,为奇数数列c的前项和为，是否存在deZ,keN,使得=1？若存在，求d, bn,n为偶数， 2 k;若不存在，请说明理由 目目 考点12 数列与不等式 44.(23-24高二上江苏启东中学期中)已知数列an}的前n项和Sn满足Sn=2an-21. (1)求数列{an}的通项公式， (2)若不等式2n2-n-3<(5-2)an对Vn∈N恒成立，求实数2的取值范围 45.(2425高二上·江苏西交大附中期中)已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn,且对任意的n∈N,,均 有an+k=Sn+k(keN). (1)当k=1时，证明{an}为等比数列，并求数列an}的通项公式： (2)当k=2时，a2,T(T≥12)均为整数，若使得a-an-a+≤T对一切n≥2，n∈N恒成立的a2的所有可能取 值有9个，求T的值 /