周周测11 4.2等差数列（数学苏教版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦等差数列核心知识，融合《九章算术》文化情境与分层设计，通过基础判断、性质应用及探究性问题，适配高二周测学情，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义判断、基本量计算、等差中项|如第1题基础辨析，第4题等差中项应用| |多项选择|3/18|公差性质、数列综合|如第9题公差与新数列关系，考查推理能力| |填空题|3/15|前n项和公式、最值问题|第13题结合前n项和求最值，体现数学思维| |解答题|5/77|通项公式、求和、存在性探究|第16题判断等差数列，第18题存在性问题，融合实际情境与创新应用|

2026-2027学年高二上学期数学周周测11 4.2等差数列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 2．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 3．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 4．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 5．在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 【答案】B 【分析】设的公差为d，则由，可得，由，可得，则，可得． 【详解】设的公差为d，则， 所以，， 因为， 所以， 因为存在正整数m，n，p，q满足， 所以，则， 又，所以，所以． 故选：B. 6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 7．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 8．若数列满足，且对于都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 【答案】ABC 【分析】利用条件结合等差数列的定义及通项公式即可判断. 【详解】对于A，由得时， 所以， 所以是等差数列，故A正确； 对于B，由得， 所以，因为是等差数列，所以，故B正确； 由，则，所以，故C正确 即，令，解得n不是整数，故D错误. 故选：ABC. 10．已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质即可得到答案. 【详解】由题意得，，可知选项A正确； 又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误． 故选：AC． 11．数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 【答案】ACD 【分析】根据递推关系可证明为等差数列，且公差为1，即可利用等差数列的通项求解，结合选项即可逐一求解. 【详解】由可得，因此为等差数列，且公差为1，故D正确， 由于为等差数列，且公差为1，所以，故， 故为单调递减数列，C正确， ，故，A正确， ，，B错误， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】40 【分析】根据，，成等差数列，得到方程，求出. 【详解】由于为等差数列，故，，成等差数列， 即成等差数列， 故，解得. 故答案为：40 13．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项的性质可得，再结合等差数列的单调性可得解. 【详解】由已知数列为等差数列， 则， 又， 所以， 则， 所以数列为递减数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 故答案为：. 14．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则 ． 【答案】4045 【分析】根据等差数列的性质求出，再代入即可. 【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，， 故，故， 则． 故选：4045. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 为等差数列 的前n项和， 已知 (1)求数列 的通项公式; (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式． （2）求出．从而时，的最小值为． 【详解】（1）为等差数列的前项和，，． ， 解得，， 数列的通项公式． （2）． 时，的最小值为． 16．（15分） 已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【详解】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 17.（15分） 已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设（为常数），则有，设， 可得，再根据对应项系数相等即可得证； （2）利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）证明：因为等差数列的通项公式是关于的一次式，前项和为关于的缺少常数项的二次式， 所以若数列是等差数列，则设（为常数）， 即， 设， 即，所以， 解得， 所以， 故“”是“若数列是等差数列，则也是等差数列”的充分条件． （2）解：若， 则， 所以 ． 18.（17分） 设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）由等差数列通项公式及前项和公式，列出方程即可求解； （2）由（1）确定，再结合等差中项列出方程，求解即可. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为. 由已知得， 即解得. 故， （2）解：由（1）知.要使成等差数列，必须， 即， 移项得：，整理得， 因为为正整数，所以只能取. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 19.（17分） 已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)1. 【分析】（1）先由条件可得公差，再由等差数列前项和公式，代入计算，即可求解； （2）由等差数列的前项和公式可得，从而可得，再结合对勾函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）为等差数列，由，得， 再由，可得， 即，化简得，解得. （2）由（1）可得，，则， 所以， 由，得， 即， 令， 由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值， 又当时，， 当时，， 所以，故的最大值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 4.2等差数列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 3．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 4．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 5．在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 6．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 7．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 8．若数列满足，且对于都有，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 10．已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 13．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 ． 14．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 为等差数列 的前n项和， 已知 (1)求数列 的通项公式; (2)求，并求的最小值. 16．（15分） 已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 17.（15分） 已知正项数列，其前项和为． (1)证明：“”是“若数列是等差数列，且也是等差数列”的充分条件； (2)若，求数列的前项和． 18.（17分） 设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分） 已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 4.2等差数列 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 2．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 3．在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 【答案】B 【分析】设的公差为d，则由，可得，由，可得，则，可得． 【详解】设的公差为d，则， 所以，， 因为， 所以， 因为存在正整数m，n，p，q满足， 所以，则， 又，所以，所以． 故选：B. 4．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 5．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 6．若数列满足，且对于都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 【答案】ABC 【分析】利用条件结合等差数列的定义及通项公式即可判断. 【详解】对于A，由得时， 所以， 所以是等差数列，故A正确； 对于B，由得， 所以，因为是等差数列，所以，故B正确； 由，则，所以，故C正确 即，令，解得n不是整数，故D错误. 故选：ABC. 8．已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质即可得到答案. 【详解】由题意得，，可知选项A正确； 又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】40 【分析】根据，，成等差数列，得到方程，求出. 【详解】由于为等差数列，故，，成等差数列， 即成等差数列， 故，解得. 故答案为：40 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则 ． 【答案】4045 【分析】根据等差数列的性质求出，再代入即可. 【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，， 故，故， 则． 故选：4045. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)1. 【分析】（1）先由条件可得公差，再由等差数列前项和公式，代入计算，即可求解； （2）由等差数列的前项和公式可得，从而可得，再结合对勾函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）为等差数列，由，得， 再由，可得， 即，化简得，解得. （2）由（1）可得，，则， 所以， 由，得， 即， 令， 由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值， 又当时，， 当时，， 所以，故的最大值为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测11 4.2等差数列 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 2．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 3．在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 4．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 5．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 6．若数列满足，且对于都有，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．若公差为d的等差数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 8．已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则 ． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $