4.2 等差数列 阶段综合-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

5e80=2012, 20ma,+2022x202L410a1+10x94 2 2 202210 2022 10 1006d=2012,解得d=2,则S2m4=2024a1 2023×20244=2024× 2 （-202)2023x2024x2=2024.枚选C 2 3.B解析S,>Sn(n≠8，neN),Sg>S,S,-S,=a,>0, 六S>SgS,-Sg=ay<0放选B 4.A解析：项数为2m+1的|a。中奇数项共有(m+1)项，其和为 (m+1)(a,+a2_(m+1),2aul=(m+1)a1=140.项数为2m+ 2 1的“，}中偶数项共有m项，其和为m(a+0).m·2a。 D所a-惯解得6黄猛人 2 md+l 5.C解析：由等差数列的下标和性质可知a+ag+a1=3ag,因为a+ a是-个定值，所以4，为定值由31-2a-)(ato2 (2n-1)an,可知S5=15ag是个定值，放C正确；S1,=17ag,S1w= 18a=9a,tan.5u=14an=7a,+,),放A,B. 2 2 D错误故选C. 6.ABD解析：由a,<0,a+a>0可知a1<0,d>0,ag>0.对于选项A:由 a1,42,“,47为负，g,ag,…为正可知，S,最小，A正确对于选项 B:S3=13a<0,Sw=7(a+a)>0,则满足S,>0的最小n值为14， 满足S,<0的最大n值是13，故B正确，C结误对于选项D:由1， a2,41为负，ag,ag,…为正，且S,S2,,S为负，S4,Ss, 为正可知8…为负.考虑到1S1>131>…>1Sl,1a,1< a“a a1,放最大，即之最小.D正确放Am a8 7.9解析：由题可知，良马每日行程a。构成一个首项为103，公差为 13的等差数列，驽马每日行程b。构成…个首项为97，公差为-0.5 的等差数列，则a.=103+13(n-1)=13n+90,b。=97-0.5(n-1)= 97.5-0.5n,则数列la.}与数列{b.|的前n项和为1125×2=2250. 又：数列a,的前n项和为宁×(103+13n+90)=宁×(193+13a), 数列6，的前n项和为号×(97+97.5-05n)=2×(194.5 之分×(193+13a)+分×(194.5-之）-2230，整里 1 得25n2+775n-9000=0.即n2+31n-360=0.解得n=9或m=-40 (舍)，即九日相逢故答案为9. 8.9解析：设a=n+h,山，=n+b,(,南，，49∈R),则3。 n(aita,)n(kn+k+2b1 2,.a,）.aa+2,故 2 2 2 2 S。k1n+k1+2b12n+1 k2 1 =2.故 2沙3则222冰写具 子662%则an成+故 45令19故答案为 19 181 9号解折：对于函数到=子+言有高 >0，即无<0，解得 x-1 0<<1.对任意的xe(0,1),1-x∈(0,1)，则f(x)+f(1-x)=2 ®安分+：是1因为8f(日)+（只）小+ ()厮以2=()(g)]+[(层) 选择性必修第一册·SJ /(g)]小…V()(日)门小a-1.因此8学故答 案为号 10.解：(1)设等差数列1a。1的公差为d,则由题意得 (a1+d4a1+6d=40, 5×4即{2a14解得}”放a=6+( ld✉4， 1)x4=4n+2,故8=6+n+2)n=2n2+4n 2 ②（)得6元222（什）五=号( 22111 111.11 .1、11 111 1(3111311.1)3 z（2m+1n+2厂42(n+1n+24 压轴挑战 A解析：当k≥13时，a4+a1+…+@+19=(k-13)+(k-12)++(k+ 6)=20-0=m,解得="0此时保证等式成立的每个m值，只有 个k值，不符合题意；当0<k<13时，au+a1+…+a4+i9=(13-k)+ （12-6+…1+0+1++(k+6)=13-14-2++7)(k+6=2- 2 2 7k+112=m,即2-7k+112-m=0,若整数k恰有2个，则首先49- 12-m)≥0，解得m≥设该方程有两实数根k,k,则名+场3=7 若=6=35.显然不合题意，则与6，则m心婴若=1,6=6，此 时12-m=6,解得m=106,满足m心四符合题意：若6=2.6=5，此时 112-m=10,解得m=102.满足m> 四符合愿意：著=3,6=4此时 12=2,解得a=10,清足m>沙，符合怎意，放m可取到的值 有m=106或m=102或m=100.故选A 4.2阶段综合 黑题 阶服强化 1.AC解析：A选项，4n=m+b(k,b为常数，neN”),a1-an=k,所以 是等差数列，故A正确： B选项，“2a,=d(d为常数，neN),不一定符合从第二项起，相 邻项的差为同-个常数，如a,-=2+1,故B错误： (2(n-1),n=2k, C选项，418，(N),对于数列1a,的关系式符合等差 2 中项的形式，所以{a。「是等差数列，故C正确： D选项，前n项和S。=An2+Bm+C(A,B,C为常数，n∈N),则当 n≥2时，S-1=A(n-1)2+B(n-1)+C,两式相减得an=2n-A+B (n≥2)，当n=1时，a1=S,=A+B+C,当且仅当C=0时，满足上式，且 当C=0时，a1-an=24,此时a,}是等差数列，所以{a.}不一定是 等差数列，故D错误故选AC 2.B解析：设等差数列|an}的公差为d,由a1=-1,(a+a4)÷(a6+ a)=(a+2d+a1+3d):(a,+5d+a1+6d)=(5d-2):(11d-2),得 (5d-2):(11d-2)=2:5,则22d-4=25d-10,解得d=2,所以 a2m4=a1+2023d=4045.故选B. 3C解析：a.是等差数列，3.m(aa 2 -=0-a1=-a.= -(Sn-S-1)=-2,am=2又aa*1=Sm+1-Sn=3,公差d=aa1 am=1,3=am1=a1+m=-2+m→m=5.故选C. 人人湘指：在子：品中取5相会号做曾受 n2 心aa地，所以尝-子故选人 黑白题062 5.B解析：设等差数列1an的首项为a1,公差为d,则a.=a1+(n 1d,及=m,=号+(a受）因为a,6,=n-1,所以 2 6.=-a,tn-1=(1-d)n+(d--1).因为5.=，所以号2+（a 号）=1-e02+21-d0(d-4-)+(d-4-12,则 (1-d)2 d a号-21-04a-.解得化2所以=1+a-1)× ld=2, (d-a1-1)2=0, 2=2n-1.那么a1o=2×10-1=19.故选B. 6.ABD解析：因为S6>S,>S,所以a=S,-S6<0,a6=S。-S,>0,所以 d=a,-a6<0,放A正确；又a6+a,=S,-Ss>0,则la6l>a,l,故D正 确：S2 12(a1+aa）_12(a6+) >0,故B正确：因为当1≤n≤6 2 2 (neN')时，a>0,当n≥7(neN)时，a,<0,所以当n=6时，S.取 得最大值，所以数列|S|的最大项为S6,故C错误，故选ABD. 7.1解析：由等差数列的性质可得b3+bg=b4+bg=2b6,a,+45=2a6, 所以？+.852a6_052x6+3 6,6+626.64x6-91 8.-6解析：S。取得最小值，则公差d0,a4=-5或a4=0.①当a4=0 时，S,=7a1=0,所以5=-5.又因为S=5a,所以a3=-1,所以a4 a=d=1>0,放a,=n-4.令a,≥0，则n≥4，所以S。的最小值 为53=S4=-6 ②当a4=-5时，S,=74=-35,不合题意.综上所述，a4=0,S,= -5,S,=0,S。的最小值为-6故答案为-6 9.解：(1)设等差数列{a.|的首项为41，由a4=15,S=36可得 a1+(k-1)d=15, a1+4(k-1)=15, k(a+a) 即 =36, k(a1+15) 解得3或 2 -=36. k=4, 2 a1=1, 9(舍)，所以a,=a1+(m-1)d=4n-1,即{a.}的通项公式为 k2 a.=4n-1. （2由(1)可知saa.n(3+n--a(2a+1),所以6. 2 2 _(2n+,由，成等差数列，则b1,,6必然满足2，=b,+ n+e n+e 与易知己女是品可得2兴品品烈整理可 10 得22=c,解得c=0或c=2 1 证明如下：当e=0时，可得6，-n（2+D=2n+1,此时61-b,=2(a+ nte )+1-(24+1)=2为常数，所以16，是以6=2=3为首项，公差 d-2的等差数列：当c=之时，可得6a2-2n,此时6 n+c 3 6.=2(a+1)-2=2为常数，所以6，：是以6=1=2为首项，d=2 为公差的等差数列 压轴挑战 (-e,-3]U「-2,1解析：画出函数fx)的图象 如图所示当a1≤-3时，a2=f八a1)=a1-4≤-7， 4=a2)=a2-4≤-11，…，数列a是首项为a1:寸-0 24 公差为-4的等差数列，符合题意：当a1>-3时，因 为{an是等差数列，若其公差d>0,则3∈N” 使得>2，这与aa1=八a,)=2-a2≤2矛盾；若其 公差d=0,则a2-a=-a+2-a1=0,解得a1=-2或 41=1.则当a1=-2时，a.=-2为常数列.当41=1时，an=1为常数列 参考答案 此时1a,为等差数列，符合题意；若其公差d<0,则3∈N·,使得 a。>-3且a。1≤-3，则等差数列的公差必为-4，因此ao1-0。=-4, 所以2-吃。=-4，解得a,=-3(含去)或。=2又当a=2时， a01=ao2=a。3=…=-2,这与a,是等差数列矛盾综上所述，41的 取值范围是(-，-3]U-2,1.放答案为(-，-3]U川-2,1. 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念+4.32等比数列的通项公式 白题 基础过关 1.ABD解析：对于A:在1，-2,4，-8中，由2=4=8-2，得数列 1-24 是以-2为公比的等比数列： 对于B:在-√2,2，-22,4中，由 2--224 22-22 =-√2，得数列是 以-√2为公比的等比数列： 对于C:当=0时，不是等比数列： 对于D在。1，a2,a3a(a为常数）中，田。。7。习=a,翔 数列是以a为公比的等比数列.故选ABD. 口易错提醒 等比数列要求an≠0,9≠0. 2.B解析：a,=2a-1,n=2,3,4,有可能数列每一项都是零，此时数列 不是等比数列，反过来14,1是公比为2的等比数列，则一定满足 a,=2a-1故为必要不充分条件 3.AC解析：因为0，是等比数列，所以设其公比为g,9≠0，即= 4因为品=，所以1是等比数列，所以A选项正确； 当q=-1时，an+at=0,所以此时1an+a1l不是等比数列，所以B 选项错误： 1 因为8=所以{》 是等比数列，所以C选项正确： 1aa19 a。 当k=0时，a,=0,所以此时1a,不是等比数列，所以D选项错误. 故选AC. 4.B解析：设新数列为b,},则6，=aa+1,因为a,为等比数列，放 4,≠0，放6,0，面色三8=，故6，为等比数列且公比为 b。-1a。-1aa g2故选B. 5.C解析：因为2，x,8成等比数列，所以x2=2×8,解得x=±4.故选C 6.A解析：设{a,}的公比为g,则a2s=a2m92>0.又因为a吃= a242m7=16,故2s■4，故选A 7.B解析：等差数列a。的公差为d,若1，a2,+1成等比数列，则 a=a1(a3+1),即(1+d)2=1+2d+1,解得d2=1,d=±1.当d=1时， au=1+3=4:当d=-1时，a2=1-1=0,此时a1,42,45+1不能构成等 比数列，故舍去，所以44=4故选B 8.D解析若a,为等比数列，则满足=马，即=a1a1,所 Gs G-1 以a,=±√a-1a,故充分性不成立.当a,=0时，数列1an}满足 an=V@1a1,但此时！a。为等比数列不成立，故必要性不成立， 所以an为等比数列是a。√a-1a1的既不充分也不必要条件 故选D, 9D解折：a=2,a=子1，则2=2，则1a,是公比为2的等比 数列，∴，45=2×2=32故选D 10.AC解析：设等比数列{a,}的公比为g,则a3=a1g2=3×g2=27, q=9,解得q=±3当g=3时，a,=3×31=3”;当q=-3时，4n= 3×(-3)1=(-1)1·3”.故选AC 黑白题0634.2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：35min 1.（多选)下列条件中能确定数列{a,}为等差数 7.(2025·江苏苏州高二月考)等差数列{an}, 列的有 0_2n+3 A.an=kn+b(k,b为常数，neN") 6,满足对任意neN”都有后n-9则 B.a+2-an=d(d为常数，neN) a as b3+bg b4+bs C.an a,ta2(nEN') 2 8.(2025·湖南长沙一中高二期中)已知公差不 D.前n项和Sn=An2+Bn+C(A,B,C为常数， 为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若 nEN') a4,S5,S,∈{-5,0}，则Sn的最小 2.(2025·山东青岛高二月考)等差数列{a}的 值为 首项a1=-1,且(a3+a4):(a6+a,)=2:5,则 9.(2025·重庆八中高二月考)已知等差数列 a2024= ( {a}的前n项和为Sn,公差d=4,a4=15,S:= A.4044 B.4045 36,keN°. C.4046 D.4047 (1)求k及数列{a,}的通项公式： 3.(2025·江苏苏州高二月考)设等差数列{a.} 的前n项和为S,若Sn-1=-2,Sn=0,S.1=3, (2)记么=8 n+,neN”,若b}成等差数列， 则m= ( 求c的值 A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025·安微阜阳高二月考)已知等差数列 a,的前n项和为S。2n-则 as ( A.5 C.9 5 D. 5.(2025·山西太原高二月考)已知等差数列 an}的前n项和为S。,若数列{bn满足：对任 意的neN”,都有an+bn=n-l,且Sn=b,则 a10= ( ) 压轴挑战 A.10 B.19 (2025·江苏南京高二月考)设函数 C.20 D.39 x-4,x≤-3， 6.（多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和， f(x)= 数列{an}满足 -x2+2,x>-3 且S6>S,>S,下列说法正确的是 aa1=f(an)(neN),若{an}是等差数列，则 A.d<0 B.S12>0 a1的取值范围是 C.Sn≤S1u D.lasl>lal 第4章黑白题083 4.3等比数列 4.3.1 等比数列的概念田4.3.2等比数列的通项公式 白题 基础过关 限时：45min 题组1等比数列概念的理解 6.(2025·辽宁省实验中学高三期中)已知数列 1.(多选)下列各组数成等比数列的是( {an}为等比数列，42m=1,a2m=16,则a2s A.1,-2,4,-8 B.-√2,2，-22,4 A.4 B.-4 C.xx C.±4 D.±16 D.a1,a2,a3,a(a为常数) 7.(2025·江苏南京外国语学校高二月考)已知 2.在数列{a}中，“a.=2a1,n=2,3,4”是 等差数列{a.}的首项为1，若a1,a2,a3+1成 “{an}是公比为2的等比数列”的 ( 等比数列，则a4= () B.4 A.充分不必要条件 A.-2 C.8 D.-2或4 B.必要不充分条件 8.(2025·湖南岳阳高二期中)设n∈N·且 C.充要条件 n≥2，命题甲：{an}为等比数列；命题乙：an= D.即不充分也不必要条件 3.（多选)若{a.}是等比数列，则 √a-1a1,则命题甲是命题乙的 () A.充分且不必要条件 A.{a}是等比数列 B.必要且不充分条件 B.{an+an1}是等比数列 C.充要条件 C. 是等比数列 D.既不充分也不必要条件 D.{han}是等比数列 题组3等比数列的通项公式 9.(2025·河南郑州高二月考)在数列{an}中， 4.将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次 1 取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a, a1=2,a,-201,则a () a3a4,….此数列是 1 A.公比为g的等比数列 .6 C.16 D.32 B.公比为g的等比数列 10.（多选)在等比数列{a.}中，已知a1=3, C.公比为q的等比数列 a3=27,则数列的通项公式是 D.不一定是等比数列 A.a=3m B.a =3-1 题组2等比中项 C.an=(-1)-13” D.an=2"- 5.(2025·天津滨海新区高二期末)已知2，x,811.(2025·江苏苏州高二月考)公比为g的等 成等比数列，则x的值为 ( 比数列{an}满足a.>0,a4=2a3+3a2,则q= A.4 B.-4 () C.±4 D.5 A.-1 B.1 C.3 D.9 选择性必修第一册：SJ黑白题084