专项12 垂径定理 专项练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦垂径定理核心应用，通过基础计算、实际建模及综合证明构建从概念到应用的完整训练体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-4、填空9-14|已知半径/弦长/弦心距求未知量|垂径定理→弦心距、半径、半弦长的勾股关系| |实际应用|单选5-8、填空10、解答17-19|筒车/管道/工件等现实情境建模|实际问题→抽象圆与弦模型→应用垂径定理计算| |综合证明与作图|解答20-24|结合直径、角平分线及找圆心作图|垂径定理与圆周角定理、等腰三角形性质综合应用|

专项12 垂径定理 专项练习 （卷面总分100分，考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 4．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 5．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 7．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： ∵拱门所在的与长方形的边相切于点， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 11．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 12．向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为_______． 【答案】24 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵圆心到弦的距离为， ∴， ∴； 故答案为：24． 13．如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 14．如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，理解垂线段最短是解题的关键．连接，当时，的最小值，由垂径定理可得：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，当时，的最小值， 是的弦，， ， 的半径为，即， ， 故答案为：． 15．如图，点，在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为________．    【答案】 【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接，先根据垂径定理可得垂直平分，则，，从而可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据圆周角定理可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接，   ∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵都是的直径，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、解直角三角形等知识，作点的对称点并将的最小值转化为线段，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． 16．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 三、解答题（共52分） 17．（本题6分）《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 【答案】寸 【分析】如图，连接，设寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接，设寸． ，是直径， 寸． 在中，则有， 解得 寸． 18．（本题6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 19．（本题6分）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 20．（本题6分）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 21．（本题6分）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是半圆的直径， ∴， ∵为弧的中点，与交于点， ∴，即， ∴， ∴； (2) 【分析】（）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论； （）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 22．（本题6分）如图，是的直径，是弦，于点，交圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是弦，于点， ∴由垂径定理可得点E为的中点， ∵点O为中点， ∴为的中位线， ∴； (2)10 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线的性质，直径所对的圆周角为，勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握以上性质，并设出未知数由勾股定理求解． （1）根据垂径定理可得点E为中点，再由三角形中位线的性质即可证明； （2）设，则可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， 即， 可得，解得， ∴， 即求的半径为10． 23．（本题8分）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)3 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出，然后根据垂径定理即可得证； （2）根据切线的性质以及（1）的结论可证明四边形是矩形，则，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识，熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 24．（本题8分）在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 如图，点O即为所求．    (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于点D，连接，．    ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专项12垂径定理专项练习 (卷面总分100分，考试用时60分钟) 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、单选题（每题3分，共24分） 1.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是() D B A.3 B.2.5 C.2 D.1 2.如图，线段CD是OO的直径，CDL AB于点E.若AB=8,OE=3,则OO的半径长为 () C E B D A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，AB是OO的弦，半径OC1AB于点D.若AB=16,CD=4.则OC的长是() B A.5 B.6 C.8 D.10 4.在⊙O中，=13，弦AB=24,则圆心0到AB的距离为() A.5 B.10 C.12 D.13 5.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 试卷第1页，共7页 点P表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为 圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8，筒车工作时盛水桶在 水面以下的最大深度为2，则筒车的直径是() 水面 图1 图2 A.8m B.10m C.12 D.13m 6.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决 方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D, 交AB于点C,测出AB=16cn,CD=4cm,则圆形工件的半径为() D B A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 7.如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的⊙O与长方形的边BC相切于点M,点E 为拱门的最高点，经测量，AB=2dn,BC=14dm,则拱门最高点E到地面BC的距离 是()dm 0 A.13.25 B.15.25 C.24.5 D.26.5 8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，己知EF=CD=6Cm, 则球的半径为(). 试卷第2页，共7页 A B 1 A. c B.4cm C.17om D.5cm 二、填空题（每题3分，共24分） 9.如图，AB是OO的直径，弦CD1AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙O的半径OC= B D 10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可 以看作是以轴心O为圆心的⊙O,且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙O被水面截得的 弦AB长为6米，过点O作OC⊥AB,交⊙O于点C,交AB于点D,水面下盛水桶的最 大深度为1米（即CD=1米），则⊙O的半径为 米 D B 11.如图，AB是OO的直径，且AB=8,C为OO上一点，过C作CD⊥AB,交AB于点D, 交⊙O于点E,若D为OB中点，则CE的长为 B O D E 12.向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2 所示的圆形，其圆心为O,直径为26cm,弦AB上结了一排葵花籽，经测量，圆心O到 弦AB的距离OH为5cm,则弦AB的长为 cm. 试卷第3页，共7页 10 B 图1 图2 13.如图，往半径为5dn的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽AB=8dm,则水的最 大深度为 dm. 0 B 14.如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8,点C是线段AB上的动点，连接 OC,则OC的最小值是_· B 15.如图，点C,D在半圆O上，P是直径上一点.若AB=4,∠AOC=50°，∠COD=20°， 则PC+PD的最小值为 D P B 16.已知⊙O的半径为13，弦AB=10,弦CD=24,AB川CD,则这两条平行弦AB,CD之 间的距离为 三、解答题（共52分） 17.(本题6分)《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载 了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长 尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E, EB=1寸，CD=10寸，求直径AB的长. 试卷第4页，共7页 九章算术 C B 18.(本题6分)如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽 AB=6.求这个管道横截面的半径 19.(本题6分)圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且 构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1.2的圆，如 图所示，若水面宽AB=0.8,求水的最大深度.（精确到0.1） 0.8 A B 试卷第5页，共7页 20.(本题6分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接OD 交AC于点E. (1)求证：OD⊥AC: (2)若OO的半径为5，DE=2,求线段BD的长. 21.(本题6分)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为弧AC的中点， OD与AC交于点E. (1)证明：OD∥BC; (2)若∠B=70°，求∠CAD的度数. D 22.(本题6分)如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E,交圆于点D,连 接AC a求证：0B=方4c: (2)若BC=16,ED=4,求⊙O的半径. 试卷第6页，共7页 23.(本题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C在OO上，连接AC,BC.作OD‖AC交OO 于点D,交BC于点E. (1)求证：BD=CD: (2)过点D作OO的切线交AC的延长线于点F,若CF=1,BC=4.求AC的长. 24.(本题8分)在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身 所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生，相信同学们也能成为小小文物修复师.如图， 要把残破的圆形文物片复制完整.已知弧上的三点A,B,C. (1)用尺规作图法找出BAC所在圆的圆心：（保留作图痕迹，不写作法） (2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5cm,求圆片的半径R. A 试卷第7页，共7页 专项12 垂径定理 专项练习 （卷面总分100分，考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共24分） 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 8．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 11．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 12．向日葵是日常生活中较常见的一种植物，图1中向日葵结籽的部分可近似看成是如图2所示的圆形，其圆心为，直径为，弦上结了一排葵花籽，经测量，圆心到弦的距离为，则弦的长为_______． 13．如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为_______． 14．如图，已知的半径为，是的弦，，点是线段上的动点，连接，则的最小值是____． 15．如图，点，在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为________．    16．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 三、解答题（共52分） 17．（本题6分）《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 18．（本题6分）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 19．（本题6分）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    20．（本题6分）如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 21．（本题6分）如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 22．（本题6分）如图，是的直径，是弦，于点，交圆于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．（本题8分）如图，是的直径，点C在上，连接，．作交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)过点D作的切线交的延长线于点F，若，．求的长． 24．（本题8分）在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．   (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $