第3章圆能力提升卷2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 聚焦圆的核心知识，融合文化传承（如筒车问题）与几何应用，通过分层设问发展抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|弧长公式、切线性质、正多边形判定|基础概念辨析，如第6题考查正多边形判定| |填空题|6题|正多边形性质、阴影面积计算|结合图形变换，如第11题正十二边形顶点连接| |解答题|6题|切线证明、扇形面积、新定义“双直四边形”|综合应用与创新，如21题新定义探究，20题动态最值问题|

第3章圆能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 2．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 4．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 5．如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 6．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 7．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 12．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 13．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 14．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 15．如图，与相切于点，交于点，交于点，连接．若，则的度数为__________． 16．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 三、解答题 17．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 18．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 19．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 20．已知在扇形中，半径，弦，点是上一点，连接． (1)如图1，连接，，若的长为． ①求 的度数； ②求的长； (2)如图2，点在的延长线上，且，连接，，当最大时，求的面积． 21．定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． 在双直四边形中，，过点D作交于点E，， (1)如图1，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，作点D关于直线的对称点F，连接，，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与互余的角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章圆能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B D B D B C 1．B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 2．C 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 3．C 【分析】连接 ，根据切线的性质可得，利用四边形内角和为求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接 ， ∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴的长为. 4．B 【分析】连接，，设的半径的长为r，证明得到，由勾股定理求出长，由勾股定理列出关于r的方程，即可求解． 【详解】解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 5．B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 6．D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 7．B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 8．D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 9．B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 10．C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 11． （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 12． 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 13． 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 14． 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 15． 【分析】连接，根据切线的性质可得，推出，由圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ． 16．24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 17．(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18．(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 19．(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 20．(1)①；② (2) 【分析】（1）①设根据弧长公式求得，进而根据圆周角定理，即可求解； ②过点作于点，根据垂径定理可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． （2）根据题意得出当最大时，与相切，进而根据垂径定理以及勾股定理求解出的长，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵的长为．半径，设 ∴ 解得： ∴ ②如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴ ∴ （2）如图，过点作于点， 当最大时，与相切， ∴ ∵半径，弦， ∴ 在中， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 21．(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)，，， 【分析】（1）证明即可证得； （2）先由，推出，即与互余；再由，在中，运用三角形内角和定理结合已知条件，推出 ，得出与互余以及与互余；由，推出C，B，F，E四点共圆，从而证得与互余． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 即与互余； 由（1）可知，， ∴， 在中， ∵， 即， 由（1）可知，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与互余； 又∵，， ∴与互余； ∵点D关于直线的对称点为F， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴C，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； 综上，与互余的角为：，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $