福建省泉州科技中学2025-2026学年高一上学期第一次限时训练数学试题

**基本信息** 聚焦高一数学核心知识，通过集合运算、逻辑推理及不等式应用等基础题型与促销利润计算、三角形三边关系证明等现实情境题，考查数学抽象、逻辑推理及模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、命题否定、充分必要条件|基础概念辨析，如第4题结合不等式解集判断充要条件| |多选题|3/18|集合表示、不等式性质、基本不等式|易错点辨析，如第9题考查集合表示规范与元素特性| |填空题|3/15|集合运算、函数最值、不等式恒成立|简洁计算，如第13题用基本不等式求最值| |解答题|5/77|集合综合运算、含参不等式、实际利润模型、充要条件应用|分层设计，18题以促销活动为背景构建利润模型，19题结合阅读材料证明三角形不等式，体现应用意识与创新思维|

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期 限时训练高一年数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [o] [o] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2 [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] (6) 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][Cc][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 1 ■ 囚囚■ 15.(本题满分13分) 囚囚■ 16.(本题满分15分) ■ 17.(本题满分15分) 1 1 囚■囚 18.(本题满分17分) 囚■囚 口 19.(本题满分17分) ■ 泉州科技中学2025-2026学年度第一学期限时训练 高一年 数学试卷 命题：高一数学备课组 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 8．已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 10．下列结论正确的是（   ） A．任意，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 11．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则的最大值为2； B．若，则； C．不等式的解集是； D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，则 ． 13．已知，则的最小值为 ． 14．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值 为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题分） 已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 16．（本小题15分） 已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 17．（本小题5分） 设集合，； (1)用列举法表示集合A； (2)若是的充分条件，求实数m的值； (3)求，. 18．（本小题7分） 某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（本小题7分） 集合，． (1)若，，求实数的值； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泉州科技中学2025-2026学年度第一学期限时训练 高一年 数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D B C D ACD BD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据题意，利用集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：D. 2．A 【分析】利用命题的否定的规则求解即可. 【详解】由命题的否定的规则可得命题，的否定是，. 故选：A 3．C 【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，解得， 由，得且，解得且且且， 即且且且， 由，得，因此，即，则或（舍去）， 所以实数的值为. 故选：C 4．B 【分析】解不等式，得到的解集，根据充分条件、必要条件定义得到结论. 【详解】因等价于或， 显然根据“或”推不出“”； 而由可以推出， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．D 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 6．B 【分析】由已知结合基本不等式即可求解最值. 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 7．C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 8．D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 9．ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10．BD 【分析】举例即可判断A；根据不等式的性质即可判断B；根据基本不等式即可判断CD. 【详解】对于A，当时，为负数，故A错误； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以故C错误； 对于D，若，，， 则，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可得到正确答案. 【详解】选项A：因为，所以,所以的最大值是2.所以选项A正确； 选项B ：因为所以.因为，所以，所以.所以选项B错误； 选项C：因为，所以，即，即解得：.所以选项C正确； 选项D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立.所以同为负数时，也可使恒成立.所以选项D错误. 故选：AC. 12． 【分析】将集合中的元素依次代入集合验证，再求交集可得. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：. 13．3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 14．4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 15．(1)，，． (2)或 【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可； （2）结合（1），根据题意计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 16．(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 17．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接解方程即可得到集合； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. （3）对分3种情况讨论，结合交集、并集的概念即可求解. 【详解】（1）集合，即； （2）由已知，， 若是的充分条件，则， 情形一：若，则，故满足题意； 情形二：若，则，故满足题意； 情形三：若且，则存在，但，这与矛盾，故此情形不符合题意； 综上所述，满足题意的的值为1或2； （3）， 情形一：当时，，此时，； 情形二：当时，，此时，； 情形三：当且时，，此时，； 综上所述，当时，，；当时，，；当且时，，. 18．(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19．(1)， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， （2）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $