福建省福州高级中学2025-2026学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试题

福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D C B C B D BC ABD ABC 12． 13． 14．． 15．（本小题满分13分） （1）由，即，所以， 即， 3分 所以，又，所以． 6分 （2）因为，所以， 7分 又，， 当，即时，，符合题意； 9分 当，则或，解得或； 12分 综上可得：或，即实数的取值范围为． 13分 16．（本小题满分15分） （1）有实数解，等价于有实数解， 且，则， 4分 解得，所以的取值范围是． 6分 （2）依题意，等价于，即， 且，令，解得或， 8分 当时，，不等式的解集为； 10分 当时，，不等式的解集为； 12分 当时，，不等式的解集为； 14分 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 15分 17．（本小题满分15分） （1）由题意可得：． 6分（写对一个3分） （2）当时，， 当且仅当时，取到最大值8700； 10分 当时，， 当且仅当时，取到最大值9000； 14分 因为，可知当2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元． 15分 18．（本小题满分17分） （1）因为是奇函数，所以，即，， 经检验时，是上奇函数； 4分 （2），则在上单调递增． 5分 证明如下：任取，且，则 ， 8分 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递增． 10分 （3）又因为是上奇函数，所以， 等价于，即， 13分 因为为上增函数，则对一切恒成立，即恒成立， ①显然成立， 14分 ②，解得． 16分 综上所述，的取值范围是． 17分 19．（本小题满分17分） （1）若，则， 1分 当时，， 3分 当时，， 所以函数，的值域为； 5分 （2）由，可得，所以， 因为在实数，使不等式成立，所以， 7分 因为， 令，则， 所以当，， 9分 所以实数的取值集合． 10分 （3）由题意可得， 11分 ①当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数的最小值为， 因为的最小值为，则，解得； 13分 ②当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，因为的最小值为，则，解得， 又，所以； 15分 ③当时，根据二次函数的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，因为的最小值为，则，解得； 综上所述：存在实数，使得的最小值为，此时． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2025-2026学年第一学段考试 高一数学试题 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．集合的真子集的个数为（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D． 11．定义在上的函数满足，且当时，则（ ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．__________． 13．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是__________． 14．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知全集，集合，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）设函数（）． （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17．（本小题满分15分）某汽车制造企业计划在2025年利用新技术生产某款新能源电动汽车．通过市场分析，生产此款新能源电动汽车全年需投入固定成本300万，每生产百辆新能源电动汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆新能源电动汽车总售价700万元，且全年生产的新能源电动汽车当年能全部销售完． （1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．（注：利润=销售额-成本）； （2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 18．（本小题满分17分）已知函数（）是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知函数，． （1）若，求函数，的值域； （2）若存在实数，使不等式成立，求实数的取值集合； （3）设，是否存在实数，使得记的最小值为？若存在，请求出所有符合条件的实数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $