四川省仁寿第一中学校南校区2026-2027学年高二上学期开学数学试题

**基本信息** 作为高二入学考试，试卷通过立体几何（正方体、四棱锥）、概率统计（频率分布直方图）等题型，融合数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（数据意识），检测高一知识掌握与能力衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量投影、圆柱容球体积比|基础概念辨析，如第6题结合文化情境| |多选题|3/18|正方体动态问题、频率分布直方图|分层考查，如第11题运动点几何性质| |填空题|3/15|样本方差、骰子概率|基础运算，如第13题古典概型| |解答题|5/77|三角函数求值、四棱锥线面角|梯度设计，19题综合空间向量与证明|

仁寿一中南校区高2025级高二上入学考试 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的。 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2．若，则（ ） A. 2 B. －2 C. D. 3．若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则（ ） A. B. C. D. 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 6．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 7.甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ） A. B. C. D. 8．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知平面向量，，与的夹角为，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 10．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A. 直方图中 B. 此次比赛得分及格的共有55人 C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75 D. 这100名参赛者得分的第80百分位数为75 11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 异面直线和所成的角为60° C. 直线CP和平面所成的角为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12. 已知样本数据1，2，3，4，的平均数是3，则数据2，4，6，8，的方差是______. 13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 14．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________. 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且. （1）求的值； （2）求. 16．已知函数. （1）求的单调减区间； （2）当时，求的最大值和最小值. 17．某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、． （1）求这100名学生成绩的平均值； （2）若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在内的概率． 18．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________． （1）求A； （2）若，求△ABC面积的取值范围． （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 19． 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点． （1）求证：平面平面PBC； （2）若E是PB的中点， （i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． （ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高2025级高二上入学考试 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分， 考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的。 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【详解】由题意得，故选：C. 2．若，则（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】D 【详解】.故选：D. 3．若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为 故选：A 4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为， 而，所以有，故选：A 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【详解】取中点连接，，则，与所成的角等于与所成的角．容易知道为正三角形， 与所成的角等于. 故选：B 6．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设球的半径为R， 则圆柱的体积为：，球的体积为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为，故选：B 7.甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，， 所以甲、乙两人都不通关的概率为.故选：D 8．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为，，所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离.故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知平面向量，，与的夹角为，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【详解】对于A选项，向量不能比较大小，排除A； 对于B选项，，排除B； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确.故选：CD 10．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成，，，，这五组），则下列结论正确的是（ ） A. 直方图中 B. 此次比赛得分及格的共有55人 C. 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50，80）的概率为0.75 D. 这100名参赛者得分的第80百分位数为75 【答案】AD 【详解】由图可知， ， 解得a=0.005，故A正确； 比赛及格的人数为： ，故B错误； 成绩在 内的频率为 ，即概率为0.85， 故C错误； 设第80百分位数为70+x分，则有 ， 解得x=5，所以第80百分位数为75分，故D正确；故选：AD. 11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球的表面积为 B. 异面直线和所成的角为60° C. 直线CP和平面所成的角为定值 D. 的最小值为 【答案】ABD 【详解】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故A正确； 对B，连接，，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质可得为正三角形，故，故异面直线和所成的角为60°，故B正确； 对C，当在时，直线CP和平面平行，所成的角为；当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故C错误； 对D，由题意，，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示.则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故.不妨设与四点共面，则易得当三点共线时，取得最小值.此时，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填写在答题卡的横线上。 12. 已知样本数据1，2，3，4，的平均数是3，则数据2，4，6，8，的方差是______. 【答案】8 【详解】因为样本数据1，2，3，4，的平均数是3， 所以，解得，所以数据2，4，6，8，10的平均数为 ， 所以方差为，故答案为：8 13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】 【详解】根据题意可得基本事件数总为个. 点数和为5的基本事件有，，，共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：. 14．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________. 【答案】 【详解】设，可得，，利用三角函数的性质即可求出. 设,，则在中，，，所以， 在中，，，所以， 所以，其中，即的最大值为. 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且. （1）求的值； （2）求. 解：（1）∵且，∴， ∴，∴； （2）∵，∴，又∵， ∴， ，所以. 16．已知函数. （1）求的单调减区间； （2）当时，求的最大值和最小值. 解：（1） 令，解得 则单调减区间为，. （2）令，因为，则，即， 由于 在上单调递增，则当时，； 当时，.即的最大值为，最小值为1. 17．某校高二年级学生参加数学竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、． （1）求这100名学生成绩的平均值； （2）若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在内的概率． （1）解：，． 这名学生的成绩的平均值为 ， 因此，这100名学生成绩的平均值为71.5分. （2）解：设“抽取2人中恰好有1人成绩在内”为事件． 由题设可知，成绩在和内的频率分别为和， 则抽取的人中，成绩在内的有4人，成绩在内的有3人． 记成绩在内4位同学分别为a、b、c、d，成绩在的3位同学分别为A、B、C． 则从7人中任取2人，所有的基本事件有：、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、，共种， 其中事件所包含的基本事件有：、、、、、、、、、 、、，共12种，故. 18．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________． （1）求A； （2）若，求△ABC面积的取值范围． （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 解：（1）若选①：因为，根据正弦定理得， 所以， 所以． 则，因为，所以 ，又，所以． 若选②化简得：，则， 又，所以． 若选③：因为，根据正弦定理得，所以 ．即，因为，所以． （2）因为，由，则， ， 又，所以， 则的取值范围为． 19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点． （1）求证：平面平面PBC； （2）若E是PB的中点， （i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． （ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值． 解：（1）因为，取AB中点M，连接CM，则， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 故以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以． 因为， 所以， 所以平面PBC，即为平面PBC的法向量． 设， 则． 设平面EAC的法向量为，， 则即 令，则． 因为，所以平面平面PBC． （2）因为E是PB的中点，所以． （i）设直线PA与平面EAC所成角为， 则， 故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． （i）显然平面PDC的法向量为， 设平面PDC和平面EAC的夹角为， 则． 故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $