2026-2027学年高二上学期开学自编模拟数学试卷（四川宜宾适用）

**基本信息** 立足开学学情，以复数、向量、解三角形等基础模块为核心，通过旅游数据统计、龟山电视塔测量等真实情境，融合数学抽象与几何直观，实现知识检测与素养培育的衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、向量、立体几何|第5题旅游数据统计分析，考查数据意识| |多选题|3/18|解三角形、统计|第10题多选项辨析，强化推理能力| |填空题|3/15|复数、向量、圆锥|第14题圆锥内外接球问题，深化空间观念| |解答题|5/77|解三角形、统计、立体几何|第16题运动时长统计（数据观念），第19题“鳖臑”文化传承（数学文化），突出综合应用|

高2025级2026—2027学年上学期开学自编模拟 数学试卷（四川省适用） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，监考老师将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量， ,且，则（    ） A．6 B． C． D． 3．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 4．已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 6．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为（   ） A．2π B．6π C．9π D．11π 7．如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 8．已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2021年到2025年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 10．在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则（    ） A．存在点线段，使，，，四点共面 B．存在点线段，使平面 C．若点满足（），则与点位置有关 D．经过，，，四点的球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数，则______. 13．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 14．已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 16．某地区在政府和有关部门的号召下，通过多样的科普宣传，充分调动了当地居民的运动热情．为了解当地居民每天的运动情况，从甲社区随机抽取了300人，从乙社区随机抽取了200人，对他们每天的运动时长（单位：）进行统计，将所得数据按照进行分组，得到样本数据的频率分布直方图如下． (1)若乙社区共有居民2万人，估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数； (2)估计甲社区居民每天运动时长的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计甲社区抽取的300人每天运动时长的平均值为，乙社区抽取的200人每天运动时长的平均值为，以及甲、乙两个社区抽取的500人每天运动时长的平均值为，试比较和的大小． 17．如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 18．已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． (1)求证：四面体为鳖臑； (2)若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C D B C B ABD ACD AB 1．B【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2．C【详解】因为向量，，， 所以，解得，故． 3．A【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 4．C【分析】采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果. 【详解】若，，则可能，故A错误； 若，，则可能，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则，故D错误. 故选：C . 5．D【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 6．B【分析】根据圆台的侧面积公式直接求值即可.【详解】由题意，圆台的侧面积为： .故选：B 7．C【分析】在中，利用正弦定理求，再在直角中，求即可.【详解】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得：（）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以. 故选：C 8．B【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 9．ABD【详解】极差为，故A正确；中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确. 12．17 【分析】根据完全平方和公式，结合复数相等的性质进行求解即可. 【详解】∵，∴. 故答案为：17 13． 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据圆锥的轴截面为正三角形，可求轴截面的外接圆半径，即为圆锥外接球半径，进而可求圆锥外接球表面积. 【详解】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 故答案为： 15．【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16．【详解】（1）在乙社区抽取的样本中，每天运动时长不少于60min的频率为， 故估计乙社区居民每天运动时长不少于60min的人数为． （2）根据甲社区的样本频率分布直方图，前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故估计中位数为． （3），， 所以，，所以． 17．【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面所以平面平面， 又平面，所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 18．【详解， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 19．【详解】（1）如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）如图，取的中点，连接，   因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $