【拔尖专练】专题突破五 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破五 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（拔尖题） 1．综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质等． （1）由，分别平分和，求出，，进而得出，由，得出，代入计算即可得到结果； （2）在上取一点，使，连接，证明，再证明，，代入计算即可求得结果； （3）在上截取，连接，先证明，均为等边三角形，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：平分， ， 同理，， ， ， ， ； （2）如图1，在上取一点，使，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图2，   ，， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3）解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 4．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 5．(24-25七下·四川达州外国语学校·月考)等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． （1）由折叠的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长交于点N，证明为等边三角形，再证明，即可得线段和之间的数量关系； ②连接，取中点P，连接，则当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，即可求得长度． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）①，理由如下： 如图，延长交于点N， 设， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 6．(24-25八上·广东韶关浈江区行之实验学校·月考)综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 7．【解决问题】 如图，在中，延长到，使，位于上方，且，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； 【迁移拓展】 （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，直接写出线段的长度（用含，的式子表示），无需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出即可； （2）同（1）证出，由翻折得，结合得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【详解】（1）证明： ，，， ， 在与中， ， ； （2）证明： ，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 如图，连接， 将沿直线翻折得到， ， ， ，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连接，延长交于M， 根据折叠的性质，则， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， 由（2）知，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 8．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 9．类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明 ，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明 ，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 10．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八·辽宁大连甘井子区·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】 （2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．见解析 【分析】（1）若选择小喆同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论；若选择小刚同学的方法，证明，，即可得到，进而得证结论； （2）方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则，可推出，，根据， ，可得，从而证得，即可得证； 方法二：过作交的延长线于，证明，得到．根据， ，得到，进而得到，因此，即可得证； （3）在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则．证明，得到，．由“三线合一”得到，由，得到，又，得到，证明， ，得到，得出，从而，从而得到． 【详解】解：（1）选择小喆同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则， ， ∴， 即． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 选择小刚同学的方法，证明如下： 以为圆心，长为半径作弧交延长线于，则， ∴， ， ． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：方法一：以为圆心，长为半径作弧，交于点，则， ∴， ∴，即． ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 方法二：过作交的延长线于， ， ，， ， ． 与互补， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． （3）． 在上取点，使，连接．过作于，以为圆心长为半径作弧交于点．连接，则． ， ． ，， ． ，． ， ∴平分， ． ∵，， ， ∴． ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即． ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，同角或等角的补角相等，平行线的判定及性质，读懂题意，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 12．(2025·甘肃省天水市·模拟)模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 13．(24-25八下·黑龙江哈尔滨旭东中学·期末)如图1，在中，为上一点，连接，交延长线于点，交于点，． (1)求证：点是的中点； (2)如图2，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得证； （2）连接，作交于点，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，再证明出，即可得证； （3）取的中点，连接，由轴对称的性质可得，从而可得，，由（2）可得，，求出，证明，得出，，求出， 再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵交延长线于点，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点是的中点； （2）证明：如图，连接，作交于点， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴，， 由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 14．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用等边三角形性质，通过角的等量代换证明，得出角的关系，再结合等边三角形及平角相关角的度数，计算 ． （2）先证，得到边与角的关系，结合等腰直角三角形角的度数、平角及直角三角形性质，求出 ，并推导、、的数量关系 ． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，的度数为，、、这三条线段之间的数量关系是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和特殊三角形角与边的性质是解题的关键． 15．(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点M，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点D，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据题意，证明，得，即可解决问题； （2）在上截取，根据等边三角形的判定与性质，证明，即可解答； （3）延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，，证明，，即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 如图（2），在上截取， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又， ； （3）如图③，延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，， ， 为等边三角形，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 16．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·期末)如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 17．(23-24八上·湖北恩施土家族苗族宣恩县高罗镇初级中学·期末)探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18．(24-25七下·四川成都实验外国语学校·期末)如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，，点为底边的中点，过点作的垂线（点在直线下方），连接．当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的周长是10 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，再证明，即可求出结论； （3）延长到点I，使，连接，证明，得出，再证明，从而证明，可得出求出结论． 【详解】（1）证明：，且， ， ， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的周长； （3）解：延长到点I，使，连接， 由（2）知，， 点为底边的中点，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．(24-25八上·陕西西安高新第二初级中学·月考)已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点A顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，求证①，②． 【答案】(1) (2) (3)①见解析②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）延长，交的延长线于点E，可证得，从而，从而得出； （2）延长，截取，连接，可证得，从而，根据导角可推出，进而证得，从而，进而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）解题思路同（2） 【详解】（1）解：， 如图1，延长，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，延长，截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）证明：①当点在下方，且使线段同时落在和的内部，延长，截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵，， ∴； ② ． 20．(24-25七下·四川成都高新区·期末)如图1，在中，，的平分线交边于点D，过D作的平行线交于点E，将沿折叠得到，交边于点G． (1)求证：； (2)当时，试判断与的大小关系，并说明理由； (3)如图2，过点G作线段的垂线，垂足为H．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平分得，，根据得，，进而得，由此即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形性质及角平分线定义得，根据得，，进而得，是等腰直角三角形，则，再根据折叠的性质及三角形内角和定理证明，继而得，由此得，据此即可得出与的大小关系； （3）在上截取，连接，设，，则，，，证明得，由此得，解得即可得出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与的大小关系是：，理由如下： 在中，， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴是的外角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即； （3）解：在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版 专题突破五 等腰三角形的性质与判定解答题（20道）（拔尖题） 1．综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 2．如图，在中，过点A，B 分别作直线，，且，过点 C 作直线交直线于 D，交直线 于E． (1)如图1，若，分别平分和，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． (3)如图2，若，且，是上一点，，连接，如果，，求的长．（用含a，b的式子表示） 3．(24-25八上·陕西西安周至县·期中)如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4．已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 5．(24-25七下·四川达州外国语学校·月考)等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 6．(24-25八上·广东韶关浈江区行之实验学校·月考)综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 7．【解决问题】 如图，在中，延长到，使，位于上方，且，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； 【迁移拓展】 （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，直接写出线段的长度（用含，的式子表示），无需说明理由． 8．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 9．类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 10．如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 11．(24-25八·辽宁大连甘井子区·期末)【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图1，在中，，是的角平分线，点E在线段上，且，求证：． ①如图2，小喆同学选定两个目标三角形，分别为和，他在上复制粘贴，以B为圆心，长为半径作弧交于点F，从而构造出全等三角形． ②如图3，小刚同学在的基础上复制粘贴，以C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点G，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法，写出证明过程． 【类比分析】 （2）王老师发现之前两名同学都很好地利用全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行复制粘贴，从而画出辅助线构造出全等三角形，为了让同学们更熟练地掌握构造全等三角形的方法，王老师提出下面问题，请你解答． 如图4，在中，，点D在的外部，且是锐角，在直线的右侧，且与互补，与的延长线交于点F，．求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，点D在边上，于F，点E在延长线上，连接，且，．猜想与之间的数量关系，并证明． 12．(2025·甘肃省天水市·模拟)模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 13．(24-25八下·黑龙江哈尔滨旭东中学·期末)如图1，在中，为上一点，连接，交延长线于点，交于点，． (1)求证：点是的中点； (2)如图2，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，作关于直线成轴对称的，连接，若，求的面积． 14．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 15．(24-25八下·陕西西安经开第二中学·月考)【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点M，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点D，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 16．(24-25八上·江苏扬州中学教育集团树人学校·期末)如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 17．(23-24八上·湖北恩施土家族苗族宣恩县高罗镇初级中学·期末)探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 18．(24-25七下·四川成都实验外国语学校·期末)如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，，点为底边的中点，过点作的垂线（点在直线下方），连接．当时，求的度数． 19．(24-25八上·陕西西安高新第二初级中学·月考)已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点A顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，求证①，②． 20．(24-25七下·四川成都高新区·期末)如图1，在中，，的平分线交边于点D，过D作的平行线交于点E，将沿折叠得到，交边于点G． (1)求证：； (2)当时，试判断与的大小关系，并说明理由； (3)如图2，过点G作线段的垂线，垂足为H．若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $