专题06等腰三角形的性质与判定（9大专题）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-应用”为主线，通过9类题型系统构建等腰三角形解题方法体系，强化分类讨论与几何转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3条核心性质|等边对等角实现边角转化，三线合一构造全等/直角三角形，分类讨论腰与顶角|从等腰三角形轴对称性出发，延伸至等边三角形特殊性，形成“性质应用-判定证明-动态分类”的逻辑链| |题型归纳|9类题型46题|每题型配“识别-转化-推理”三步模版，如“等角对等边”证线段相等的角关系构造法|覆盖基础计算（题型1-3）、作图应用（题型4）、综合证明（题型5-8）到分类讨论（题型9），层层递进| |压轴挑战|15题|折叠/动点/最值问题的几何变换技巧，结合方程思想与临界分析|整合全等、轴对称与函数思想，对接中考压轴题考查方向|

专题06 等腰三角形的性质与判定 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 等边对等角的应用 题型2 用等角对等边证明 题型3 三线合一的应用 题型4 在图形中画出等腰三角形 题型5 等腰三角形的性质与判定 题型6 等边三角形的性质与判定 题型7 等边三角形的判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形是轴对称图形，解题时要紧紧抓住'等边对等角''等角对等边'和'三线合一'这三条核心性质与判定。遇到等腰三角形，先找相等的边与角，利用等边对等角实现边、角转化；要证线段相等或角相等，可尝试等角对等边构造等腰三角形；涉及底边上的高、中线或顶角平分线时，优先考虑三线合一构造全等或直角三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，具有三边相等、三角都是60°、三线合一等特殊性质，常用来转移边、角关系。对于等腰三角形中的分类讨论问题，要注意顶角与底角、腰与底边的多解情况，结合三角形三边关系与内角和定理进行取舍。 题型1 等边对等角的应用 ◆题型1 等边对等角的应用 题型模版 1. 识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角，利用等边对等角求角或边。 2. 结合三角形内角和定理、外角性质建立方程求解。 3. 遇到底边上的高、中线、顶角平分线，联想三线合一构造全等或直角三角形。 4. 利用等腰三角形是轴对称图形，通过对称转化线段与角。 1．如图，已知，在边上顺次取点，在边上顺次取点，使得，得到等腰 （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是_________． （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数的取值范围是_________． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为______． 3．如图，已知在锐角中，点在上，，在线段上找一点，使得，甲、乙两人分别给出了正确的作法： 甲：作的垂直平分线交于点，则即为所求； 乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），则即为所求． 请从以上作法中选择一种，作图并证明． 4．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在三角形的几何探究中，作垂线与平行线、截取线段、延长线段是构造辅助线的三种常用方式，巧用辅助线可以转化图形条件、简化问题．现以与线段为探究载体，设置问题如下： 【初步探索】在中，点是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为，求的面积； 【灵活运用】 (2)如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； 【拓展探究】 (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接、，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 题型2 用等角对等边证明 ◆题型2 用等角对等边证明 题型模版 1. 要证两线段相等，可证它们所对的角相等（等角对等边）。 2. 综合运用等腰三角形的性质与判定，注意边、角之间的转化。 3. 先由已知条件判断三角形是否为等腰三角形，再选择合适的性质推理与计算。 5．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 7．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 题型3 三线合一的应用 ◆题型3 三线合一的应用 题型模版 1. 遇到底边上的高、中线、顶角平分线，联想三线合一构造全等或直角三角形。 2. 利用等腰三角形是轴对称图形，通过对称转化线段与角。 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，求的度数． (2)当点落在的一边上时，求的度数． (3)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 10．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 12．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知为等边三角形，为线段中点． (1)如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． (2)如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． (3)如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 题型4 在图形中画出等腰三角形 ◆题型4 在图形中画出等腰三角形 题型模版 1. 根据等腰三角形的定义与对称性，在网格或一般图形中确定满足条件的点。 2. 注意分类：以已知线段为腰或以已知线段为底边分别讨论。 3. 顶角与底角分类：已知一个角求另两个角时，分已知角为顶角或底角。 4. 腰与底边分类：已知两边求周长或第三边时，分已知边为腰或底边，并用三边关系检验。 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）请你把图1，，．将其分割成两个等腰三角形，画出分割线，并在分割后的图中标注两个等腰三角形顶角的度数． （2）在图2中画出一个（点C在小正方形的顶点上），使为等腰三角形． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 16．如图1等腰中，，点O在底边上（异于点B、D），点C是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点C为的“同型点”． (1)如图1，当平分，，交于点O，，时，求证：点C是的“同型点”； (2)如图2，在的正方形网格图上有一个，点A，B，C均在格点上，在给出的网格上有一个格点D，使得点D为的“同型点”，则满足条件的点D有______个； (3)如图3，在四边形中，，，且，若点C为的“同型点”，请求出所有满足条件的的度数． 题型5 等腰三角形的性质与判定 ◆题型5 等腰三角形的性质与判定 题型模版 1. 先由已知条件判断三角形是否为等腰三角形。 2. 再选择合适的性质（等边对等角、三线合一）进行推理与计算。 17．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 18．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，作直线，交于点，交于点．则下列说法正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，中，，，为中点，为边上的动点（不与点，重合），将沿折叠得，连结． (1)当点在直线下方时，如图2，记与的交点为． ①当时，求的值． ②当时，求的度数． (2)如图3，连结交直线于点，若点，不重合，探究三条线段，，长度之间的等量关系，并说明理由． 题型6 等边三角形的性质与判定 ◆题型6 等边三角形的性质与判定 题型模版 1. 利用三边相等、三角都等于60°进行边、角计算。 2. 等边三角形的三线合一、高、中线、角平分线重合，常用来构造直角三角形。 3. 证明等边三角形：三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。 4. 利用等边三角形各角均为60°，结合平行线、全等三角形进行角度转移。 21．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 22．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 23．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【发现结论】 (1)如图1，在中，，点是延长线上一点． ①若∠°，则_________； ②若∠°，则_________(用含的式子表示)； ③结论：与的数量关系是_________． 【操作应用】 (2)如图2，在中，°，°．请利用无刻度直尺和圆规，在边上作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) 【问题解决】 (3)如图3，在中，，点在边上，连接，点在上且满足，．求证：； (4)如图4，在等边中，点在射线上，点是点关于直线的对称点，直线与相交于点，连接，．当时，求的度数． 题型7 等边三角形的判定 ◆题型7 等边三角形的判定 题型模版 1. 证明等边三角形：三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。 2. 在含60°角的等腰三角形中，直接判定为等边三角形简化推理。 25．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在四边形中，，，，．作的平分线，与的延长线交于点E，延长至点F，使得，延长，交于点G． (1)证明：为等边三角形； (2)判断与的数量关系，并证明． 26．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 27．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． (1)求证：是等边三角形； (2)当是等腰三角形时，求的度数． 28．（25-26八年级上·河北保定·期末）对于任意一个四边形，连接不相邻两个顶点的线段可以把这个四边形分成两个三角形，故任意四边形的内角和都是． (1)如图1．已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线、上．且， ①与的数量关系为______； ②______(填“”“”或“”) (2)如图2．若，其他条件与图1相同． ①判断的形状并证明； ②试判断四边形的面积是否为定值，并说明理由； ③若．求周长最小值时，的长为______． 题型8 等边三角形的性质 ◆题型8 等边三角形的性质 题型模版 1. 利用等边三角形各角均为60°，结合平行线、全等三角形进行角度转移。 2. 等边三角形的高、中线、角平分线将三角形分成两个含30°角的直角三角形。 29．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 30．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 31．数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 32．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 ◆题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 题型模版 1. 顶角与底角分类：已知一个角求另两个角时，分已知角为顶角或底角。 2. 腰与底边分类：已知两边求周长或第三边时，分已知边为腰或底边，并用三边关系检验。 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 34．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 35．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； (3)如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 36．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 37．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）已知点在轴上，点在轴上，点在坐标轴上，且是等腰三角形．下列说法： ①若，则符合条件的点共有7个； ②若，则符合条件的点共有8个； ③若，则符合条件的点共有6个； ④若，则符合条件的点共有5个． 其中，正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 38．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为___________． 40．如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 41．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 42．如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 43．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 44．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______． 45．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 46．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】 如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作直角，其中，，与交于点． 【问题梳理】 (1)如图1，若，，求的度数； 【问题探究】 (2)如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，延长至点，使得，连接，若，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 47．（25-26七年级下·四川达州·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 49．（25-26八年级下·河南郑州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 50．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 51．已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． (1)在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． (2)已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． (3)已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形的性质与判定 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 等边对等角的应用 题型2 用等角对等边证明 题型3 三线合一的应用 题型4 在图形中画出等腰三角形 题型5 等腰三角形的性质与判定 题型6 等边三角形的性质与判定 题型7 等边三角形的判定 题型8 等边三角形的性质 题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形是轴对称图形，解题时要紧紧抓住'等边对等角''等角对等边'和'三线合一'这三条核心性质与判定。遇到等腰三角形，先找相等的边与角，利用等边对等角实现边、角转化；要证线段相等或角相等，可尝试等角对等边构造等腰三角形；涉及底边上的高、中线或顶角平分线时，优先考虑三线合一构造全等或直角三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，具有三边相等、三角都是60°、三线合一等特殊性质，常用来转移边、角关系。对于等腰三角形中的分类讨论问题，要注意顶角与底角、腰与底边的多解情况，结合三角形三边关系与内角和定理进行取舍。 题型1 等边对等角的应用 ◆题型1 等边对等角的应用 题型模版 1. 识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角，利用等边对等角求角或边。 2. 结合三角形内角和定理、外角性质建立方程求解。 3. 遇到底边上的高、中线、顶角平分线，联想三线合一构造全等或直角三角形。 4. 利用等腰三角形是轴对称图形，通过对称转化线段与角。 1．如图，已知，在边上顺次取点，在边上顺次取点，使得，得到等腰 （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是_________． （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质，求出的度数，结合三角形内角和定理，即可判断； （2）同（1）可推出，，由得到的最后一个等腰三角形是，则需要满足且，解不等式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底角小于， ∴等腰不存在， ∴得到的最后一个等腰三角形是； （2）设， 由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵最后一个等腰三角形是， ∴且， 即且， 解得． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用和分类思想的运用．因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图②，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 3．如图，已知在锐角中，点在上，，在线段上找一点，使得，甲、乙两人分别给出了正确的作法： 甲：作的垂直平分线交于点，则即为所求； 乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），则即为所求． 请从以上作法中选择一种，作图并证明． 【答案】选择一种即可： 选择甲，根据题意作图，连结，如图1所示， 由题意，得， ， 在中，， ， 在中，， ． 选择乙，根据题意作图，连结，如图2所示， 由题意，得 ， ， ． 【分析】甲：由可知，是等腰三角形，是它的顶角，所以可以构造以为底角的等腰三角形即可，这里可以利用垂直平分线性质，在上找一点，使；乙：因为与互补，所以，可以在上取一点，使即可，这里可以转化为使即可． 【详解】略． 4．（25-26七年级下·江西吉安·期末）在三角形的几何探究中，作垂线与平行线、截取线段、延长线段是构造辅助线的三种常用方式，巧用辅助线可以转化图形条件、简化问题．现以与线段为探究载体，设置问题如下： 【初步探索】在中，点是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为，求的面积； 【灵活运用】 (2)如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； 【拓展探究】 (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接、，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 【答案】(1) (2)过点作，交于点，如图所示： ∴，， ∵，即， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． (3) 【分析】（1）根据，按照三角形面积公式分别计算即可． （2）根据三角形全等对应边相等即可证明． （3）根据轴对称图形性质和等腰直角三角形计算即可． 【详解】（1）过点作于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． （2）略 （3） 理由如下： 由（2）可知， 延长交于点K，则， 再倍长至点，过点作于点Q，交于点， 由轴对称得， ∴最小，即， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 题型2 用等角对等边证明 ◆题型2 用等角对等边证明 题型模版 1. 要证两线段相等，可证它们所对的角相等（等角对等边）。 2. 综合运用等腰三角形的性质与判定，注意边、角之间的转化。 3. 先由已知条件判断三角形是否为等腰三角形，再选择合适的性质推理与计算。 5．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：的三条边都不相等，，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不符合题意； 如图2所示，当时， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴； 如图3所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 如图4所示，当，则， 由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 7．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 【答案】(1) 解：∵在中，， ∴； (2) ①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是利用角的关系推导线段相等，通过全等三角形实现线段转化． （1）直接利用“等角对等边”的判定定理，由证得； （2）①先根据等腰直角三角形的性质求出，结合角平分线和已知角相等得到，证明为等腰直角三角形得到，再通过等角的余角相等证明，得到，从而证得； ②先利用角平分线和等腰直角三角形的角证明得到，再由得到，结合角的等量关系证明得到，进而证得． 【详解】（1）略 （2）略 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在第二象限，连接、，，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为，点为上一点，连接并延长交于点，若，设长度为，请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，点在轴正半轴上，连接，点在上，连接，若，且，，点在延长线上，连接，且，过点作轴于点，若，且，求此时的值． 【答案】(1) 证明：如图1， 令， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) (3) 【分析】（1）设，结合的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余，分别表示出和，通过角度和差化简，证得，再由“等角对等边”得到，从而证明为等腰三角形； （2）先由动点运动规律得，过作，利用平行线的内错角相等，结合已知，用证，得到，再复用第(1)问的结论，推得，得到，最终推出； （3）先由等腰三角形，证得为等边三角形，再通过三角形内角和推导角的等量关系，构造垂直平分线证等边三角形，结合、多次证明三角形全等，完成边的等量转化；然后利用含直角三角形的性质设参，结合已知化简求得；最后根据点坐标得到的长度，算出，复用第(2)问的结论，得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵点从出发以每秒个单位长度沿延长线运动，运动时间为， ∴， 如图2，过点作，交于， 则，， 在和中， ， ∴， ∴，由(1)知，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∵，， ∴， 过作，交延长线于点，延长到，使，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 过作，交于点，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(2)知， ∴． 【点睛】几何证等角、推边关系，优先用设参导角，把抽象的角度关系转化为代数式化简，规避复杂的角度推导，逻辑清晰不易错；遇到“线段中点（）+ 对顶角” 的结构，过端点作平行线构造“八字型”全等（第（2）问作），是此类题型的固定破题辅助线，可快速完成边的等量转化；本题三小问层层递进，前一问的结论可直接复用至后一问，无需重复推导，是几何综合题的核心解题逻辑，能大幅简化步骤． 题型3 三线合一的应用 ◆题型3 三线合一的应用 题型模版 1. 遇到底边上的高、中线、顶角平分线，联想三线合一构造全等或直角三角形。 2. 利用等腰三角形是轴对称图形，通过对称转化线段与角。 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，是的中点．点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． (1)当时，求的度数． (2)当点落在的一边上时，求的度数． (3)当点落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)； (2)或或； (3)或． 【分析】（1）由折叠得，，，根据平行线的性质得，从而，于是利用三角形的内角和定理即可得解； （2）分落在上时，落在上，落在上时，也与重合，及落在上与点重合三种情况利用三角形的内角和及折叠的性质求解即可； （3）与相交时，令交点为，分当，，两种情形求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由折叠得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当落在上时，如图， 由折叠得，由折叠得 ∴， ∴； 当落在上时，如图， ∵是的中点， ∴， 由折叠得，由折叠得 ∴ ∴， ∴； 当落在上与点重合时，如图， ∵是的中点， ∴， 由折叠得，由折叠得 ∴， ∴， 综上可得，的度数为或或； （3）解：当与相交时，令交点为， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，设， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当与相交时，，不符合题意， 由（）得当落在上时，， ∴， 此时，重叠部分不是等腰三角形，不符合题意， 当不落在上时，重叠部分不为等腰三角形，不符合题意， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理以及平行线的性质是解题的关键． 10．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 【答案】(1) (2)线段与相等，理由： ∵沿折叠得到， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ (3) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求，结合三角形内角和算出； （2）由折叠得边、角相等，推出直角相等，结合，证三角形全等，得； （3）结合等边、折叠、平行线导等角，证全等得，同高三角形面积比等于底之比，代入线段长度求面积比值． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵点是中点， ∴，即， ∵， ∴； （2）略； （3）∵为等边三角形， ∴，即， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵和等高， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）已知为等边三角形，为线段中点． (1)如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． (2)如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． (3)如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明：、为等边三角形， ，， ，， ， ，即， 在与中， ， ， ，， ， ，为中点， ，， 在与中， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一得，，进而由平分，得，从而根据求的度数即可； （2）先根据等边三角形的性质利用证明，得，再利用证明，得，进而得证； （3）根据等边三角形的性质和等腰三角形三线合一，得垂直平分，进而得，作且使得，连接，连接交于点，利用证明，得，进而可得当三点共线时，取最小值，证明是等边三角形，得，进而得计算即可得的度数． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为线段中点， ，， 平分， ， ； （2）略 （3）解：为等边三角形，为线段中点， 垂直平分，， ， ， 如图，作且使得，连接，连接交于点， 在和中， ， ， ， 由图得， ， 当三点共线，即点与点重合时，取最小值， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当点与点重合，取最小值时， ． 题型4 在图形中画出等腰三角形 ◆题型4 在图形中画出等腰三角形 题型模版 1. 根据等腰三角形的定义与对称性，在网格或一般图形中确定满足条件的点。 2. 注意分类：以已知线段为腰或以已知线段为底边分别讨论。 3. 顶角与底角分类：已知一个角求另两个角时，分已知角为顶角或底角。 4. 腰与底边分类：已知两边求周长或第三边时，分已知边为腰或底边，并用三边关系检验。 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）（1）请你把图1，，．将其分割成两个等腰三角形，画出分割线，并在分割后的图中标注两个等腰三角形顶角的度数． （2）在图2中画出一个（点C在小正方形的顶点上），使为等腰三角形． 【答案】 （1）如图， （2）如图， 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理应用，以及勾股定理应用， （1）根据三角形的内角和定理求得，进一步利用等腰三角形的性质分析可能情况，经计算可分为详解中的图形； （2）利用勾股定理求得，在网格中找到对应的线段长即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 可以分割为顶角为和顶角为， ∴． （2）∵，， ∴ ， 则为等腰三角形． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【答案】(1) 如图所示． (2) 如图所示； 如图所示． 【分析】（1）根据轴对称的性质确定关于直线的对应点，然后再顺次连接即可； （2）①根据网格特点和等腰三角形，直角三角形的特点，在上方作图即可； ②根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）略. （2）略. 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： (1)在图1中找一个格点，连接，使得； (2)在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） (3)如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1) 如图所示：点即为所求； (2) 如图所示：即为所求； (3) 如图所示：点即为所求. 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）根据全等三角形的判定及性质可得； （3）根据平行线的性质画图即可. 【详解】（1）解：∵点平移得到， ∴点经过同样的平移得到， ∴， （2）解：如图，∵由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图所示，连接，交于点， 则， ∵由上题可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 16．如图1等腰中，，点O在底边上（异于点B、D），点C是延长线上一点，若为等腰三角形，则称点C为的“同型点”． (1)如图1，当平分，，交于点O，，时，求证：点C是的“同型点”； (2)如图2，在的正方形网格图上有一个，点A，B，C均在格点上，在给出的网格上有一个格点D，使得点D为的“同型点”，则满足条件的点D有______个； (3)如图3，在四边形中，，，且，若点C为的“同型点”，请求出所有满足条件的的度数． 【答案】(1) 解：∵当平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰二角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，即点C是的“同类点”． (2)4 (3)或． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到为等腰三角形，即点C是的“同型点”； （2）找出所有在下方能使为等腰三角形的格点D即可； （3）根据点C为的“同类点”可知为等腰三角形，然后分和两种情况，分别作出图形，并根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：这样的点D共有4个． 故答案为4． （3）解：∵，，且，点C为的“同型点； ①如图：当时，则，即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，则， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质等知识点，正确理解“同型点”的定义是解题关键． 题型5 等腰三角形的性质与判定 ◆题型5 等腰三角形的性质与判定 题型模版 1. 先由已知条件判断三角形是否为等腰三角形。 2. 再选择合适的性质（等边对等角、三线合一）进行推理与计算。 17．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）【问题呈现】在中，，点D是直线上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点D在线段上时，若； ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，，当点D是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点D在线段BC上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． ②； (2)与平行 (3)，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合即可证明结论； ②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略； ②由①得， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，是中点， ∴， 即 又， ， ∴． （3）解：略 18．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，作直线，交于点，交于点．则下列说法正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等腰三角形内角和定理计算和的度数．根据作图知，所以是等腰三角形，可推导、的度数．因为是的垂直平分线，所以，是等腰三角形，可推导相关角的度数．针对每个选项，结合上述推导的角度、线段关系，利用等腰三角形判定、角平分线定义、三角形内角和、三角形面积公式等逐一分析判断． 【详解】解：∵，， ∴． 由作图，， ∴， ∴， ， ∴，且． 由作图，到、的距离都等于， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 选项A：∵， ∴， ∴不平分，故A错误． 选项B：∵，， ∴， ∴，故B正确． 选项C：∵，，， ∴，故C错误． 选项D：和同高，面积比等于底，由计算得，因此，D错误． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，中，，，为中点，为边上的动点（不与点，重合），将沿折叠得，连结． (1)当点在直线下方时，如图2，记与的交点为． ①当时，求的值． ②当时，求的度数． (2)如图3，连结交直线于点，若点，不重合，探究三条线段，，长度之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质得到相关线段的关系即可得到答案；②由等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质得到相关角度的关系，再由三角形内角和定理列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：当点在下方时；当点在上方时；作出图形，构造全等三角形，判定是等腰直角三角形即可得到，，长度之间的等量关系． 【详解】（1）解：①在中，，，点为中点， ，，， 由折叠的性质得，，， 当时，，则， 即是等腰直角三角形， 在中，，， 则， ； ②在中，，，点为中点， ，，， 设， 由折叠的性质得，，， ， ， ， 则， ， ， 当时，， ， 在中，，则， 解得， 则的度数为； （2）解：根据题意，分两种情形讨论： （ⅰ）当点在下方时，， 理由如下： 如图所示： 由（1）得， ，， 则， ，即， ， ， 连接，在上截取，连接，如图所示： ， ， 则，， ， ， 即， ， 由折叠的性质得，则， ， 即， ， 则， 即； （ⅱ）当点在上方时，在延长线上截取，连接，如图所示： 由（1）得；再由折叠性质得到， 则， ，， 则， ，即， ， 在四边形中，，，， ， ， ，， ， 则，， ， ， 即， ， 由折叠的性质得，则， ， 即， ， 则， 即； 综上所述，线段、、存在的数量关系为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰直角三角形性质、折叠性质、三角形内角和定理、一元一次方程、四边形内角和为、全等三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质与判定并灵活运用是解决问题的关键． 题型6 等边三角形的性质与判定 ◆题型6 等边三角形的性质与判定 题型模版 1. 利用三边相等、三角都等于60°进行边、角计算。 2. 等边三角形的三线合一、高、中线、角平分线重合，常用来构造直角三角形。 3. 证明等边三角形：三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。 4. 利用等边三角形各角均为60°，结合平行线、全等三角形进行角度转移。 21．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 22．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：①，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 23．（25-26七年级下·河北张家口·期末）在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)和 (2)①；②； (3) 【分析】（1）利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）①在上截取，连接， ②证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，可得，进而可得，由（1）可得，则，进而可得； （3）延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与相等的角是和 （2）①图略； ②如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形； ∴ ∴ ∵ 由（1）可得 ∴ ∴ （3）证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由（1）可得 ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【发现结论】 (1)如图1，在中，，点是延长线上一点． ①若∠°，则_________； ②若∠°，则_________(用含的式子表示)； ③结论：与的数量关系是_________． 【操作应用】 (2)如图2，在中，°，°．请利用无刻度直尺和圆规，在边上作一点，使得．(不写作法，保留作图痕迹，标明字母) 【问题解决】 (3)如图3，在中，，点在边上，连接，点在上且满足，．求证：； (4)如图4，在等边中，点在射线上，点是点关于直线的对称点，直线与相交于点，连接，．当时，求的度数． 【答案】(1)①25；②；③； (2)法一：如图所示，点D即为所求 法二：如图所示，点D即为所求 (3)法一：如图， 在上取点使得， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 在和中 ∴， ， ． 法二：如图， 在上取点使得， ， ， 又， ， ，， ， 在和中 ， ，， ． (4)20°或40° 【分析】（1）①由，可得是等腰三角形，可得；由是的外角，可得，代入可得，可得； ②已知，由于，可得，由外角性质； ③结合前两问推导，可直接得到与的固定数量关系 （2）有两种方法：第一种可作线段的垂直平分线，该垂直平分线与的交点即为点，此时，，由外角性质，符合要求；第二种以为顶点，为一边在三角形内部作角，角的另一边与的交点即为点； （3）先证，可得，结合之前构造的可得，命题得证； （4）分为点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）①解：， ， ， ；　 ②解：， ， ； ③解：， ， （2）略 （3）略 （4）解：①如图， 当点在线段上时，连接， 等边， ，， 点是点关于直线的对称点，， ，，， 设， ，， ，， 解得， 　　　　 ②如图，当点在线段的延长线上时，连接， 等边， ，， 点是点关于直线的对称点，， ，，， 设， ，， ， ， 在中，， ，解得：， ． 题型7 等边三角形的判定 ◆题型7 等边三角形的判定 题型模版 1. 证明等边三角形：三边相等、三角相等或有一个角是60°的等腰三角形。 2. 在含60°角的等腰三角形中，直接判定为等边三角形简化推理。 25．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在四边形中，，，，．作的平分线，与的延长线交于点E，延长至点F，使得，延长，交于点G． (1)证明：为等边三角形； (2)判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：解：在上取一点，使，连接，设，则，， ∵，， ∴由四边形内角和可得， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； (2) ，证明如下： ∵为等边三角形， ∴，， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）在上取一点，使，连接，设，则，，，再证明，得到，，即可得到，，再结合得到，，则，，即可根据证明为等边三角形； （2）由等边三角形得到，再证明，得到，证明，得到，根据，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 26．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 27．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD． (1)求证：是等边三角形； (2)当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形； (2)或或 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，结合，即可得证； （2）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况， ①，则：，解得； ②，则：，解得； ③，则：，解得； 综上：或或． 28．（25-26八年级上·河北保定·期末）对于任意一个四边形，连接不相邻两个顶点的线段可以把这个四边形分成两个三角形，故任意四边形的内角和都是． (1)如图1．已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线、上．且， ①与的数量关系为______； ②______(填“”“”或“”) (2)如图2．若，其他条件与图1相同． ①判断的形状并证明； ②试判断四边形的面积是否为定值，并说明理由； ③若．求周长最小值时，的长为______． 【答案】(1)①相等； (2) ①是等边三角形，证明如下： 连接，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ②四边形的面积是为定值，理由如下： 由，得， 在和中，， ∴， ∴． ∵点是的平分线上的一个定点， ∴为定值． ∵，， ∴是固定的， ∴的面积为定值，即四边形的面积为定值； ③2 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及垂线段最值问题，关键是通过作垂线构造全等三角形，利用角平分线性质和角度关系推导边与角的关系． （1）①利用四边形内角和为，结合已知角度求出，再结合邻补角性质得到； ②作角平分线上的垂线，利用角平分线性质得垂线段相等，结合①的结论证明三角形全等，从而得． （2）①作垂线构造全等三角形，证明，结合判定等边三角形； ②利用全等三角形面积相等，将四边形面积转化为固定四边形的面积，从而证明定值； ③利用垂线段最短确定的最小值，结合三角函数计算的长度． 【详解】（1）解：①∵四边形内角和为，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：相等； ②如图，连接，过作于，于， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：=； （2）解：①略 ②略 ③∵是等边三角形，周长， ∴当最小时，的周长最小， ∵是定点，在上， ∴的最小值为到的垂线段长度， 即时，最小， 此时与重合， 在中，，， ∴， ∴． 题型8 等边三角形的性质 ◆题型8 等边三角形的性质 题型模版 1. 利用等边三角形各角均为60°，结合平行线、全等三角形进行角度转移。 2. 等边三角形的高、中线、角平分线将三角形分成两个含30°角的直角三角形。 29．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据．基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用． (1)【观察猜想】 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． (2)【拓展探究】 如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【解决问题】 在中，，，，为等腰直角三角形，，请求出点C到的距离． 【答案】(1)①；② (2) ，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； (3)点C到的距离为1或5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点C的位置． （1）①由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由角度的关系可求解； ②根据与全等即可得线段、之间的数量关系． （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，由此可得数量关系． （3）分类讨论点C在上方时与点C在下方时，添加合适的辅助线，构造全等三角形证明全等得到边与角的关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知，， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图所示，当点C在上方时， 过点C作于点E，连接，在上截取． ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为1； 如图所示，当点C在下方时， 过点C作于点E，过点C作交的延长线于点D， ∵，， ∴， 又， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 又∵， 在与中， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴点C到的距离为5； 综上所述，点C到的距离为1或5． 30．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别为边，上的点，在上取点，在上取点，使，，连结，并交于点．若，且四边形的周长比四边形的周长大7，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练利用线段的和差是解题的关键． 证明，可得，根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为，再利用线段的转换和线段的和差，最终可得，则可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， 根据图形可得，四边形的周长为，四边形的周长为， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 31．数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 32．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】(1)证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． (3)； 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． 题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 ◆题型9 等腰三角形角的分类讨论问题 题型模版 1. 顶角与底角分类：已知一个角求另两个角时，分已知角为顶角或底角。 2. 腰与底边分类：已知两边求周长或第三边时，分已知边为腰或底边，并用三边关系检验。 33．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）浙教版八年级配套资料《数学作业本2》有这样一道题： 7．如图，在中，．你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？．．．．．． (1)请根据题意，在图1中画出一种分法，并标出各等腰三角形内角度数． (2)小明在完成解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣．思考后提出了下列两个问题请你解答： 【问题一】如图2，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数．（示意图画在答题卡上） 【问题二】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为___________． 【答案】(1) 画法一：若其中一个等腰三角形的顶角是，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： 画法二：若其中一个等腰三角形的底角是，作的垂直平分线，交于，连接，等腰三角形各内角度数如图： (2)问题一，如图， 问题二，或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形内角和定理，运用分类讨论思想和构造法解题，关键是根据内角和与等腰三角形性质合理分割三角形，易错点在于忽略不同分割情况导致漏解； （1）需根据等腰三角形 “等角对等边”，尝试从不同顶点作线段分割，使分割后的两个三角形均满足两内角相等； （2）问题一，要构造一个与原三角形内角完全相同的小三角形，再使另一个为等腰三角形；问题二则通过设定原三角形含角，分类讨论不同分割方式下的最大内角． 【详解】（1）略 （2）解：问题一：作的角平分线，即可得解． 问题二：设：原三角形三个内角为、、 （）； 分情况讨论： 分割后一个三角形内角为、、，另一个等腰三角形 若分割后等腰三角形顶角为，则底角为； 此时原三角形最大角, 代入内角和得 符合条件，最大角为； 若分割后等腰三角形底角为， 则，即， 此时原三角形最大角， 符合条件，最大角为； 若 符合条件，最大角为； 故答案为或或． 34．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①55度或35度；②或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵D为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至， ， ， ， ； （2）解：①如图，当点在下方时， ， ， ， 由（1）知， ， ； 当点在上方时，如图， ， ， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ； 若时，如图，则， ， ， 若时，如图，则， ， ； 当时，则， ，则方程无解； 当点在上方时， 设， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，如图，则， ， ； 若时，如图，则， ， ； 当时，如图，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 35．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； (3)如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】(1)是 (2) 解：， ， ， 在中，，又， ， ∴， ∵， ∴， ， 是“倍角三角形”； (3)或或或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质及“倍角三角形”定义，熟练掌握三角形内角和为、等腰三角形底角相等及“倍角三角形”的角的倍数关系是解题关键． （1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线定义得，最后求，判断是否存在角的2倍关系． （2）由得等角，推出，结合已知条件和三角形内角和，推导与的2倍关系． （3）我们先设，根据三角形内角和求出．然后分两种维度讨论：一是作为“倍角三角形”的六种角度关系；二是作为等腰三角形的三种情况（、、）．通过结合这两种情况，分类计算出所有符合条件的的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 平分， ， ∴在中，， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）解：设，则， 情况1：中，时，即， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去，角度不能为负）； 若，则，即， 解得； 若，则（舍去，三角形内角和超过）； 情况2：中，， ∵,， ∴， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，即（舍去，内角和超过）； 情况3：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况4：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况5：中，时，即， 解得， 则，， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 情况6：中，时，即， ∴， ∴， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，（舍去，内角和超过）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 综上，所有可能的的度数为或或或. 36．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （2）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （3）由（2）可知，再分情况当时，当时，当时，分别利用等边对等角，三角形内角和定理求出结果即可 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 是等腰三角形， 当时， ， 在中，， ， 解得，不能构成三角形，此种情况不存在； 当时， 在中，， ， 解得：； 当时， ， 在中，， ，解得：， 综上所述的度数为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形外角性质等知识，根据等腰三角形的定义分情况讨论求解为解题关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 37．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）已知点在轴上，点在轴上，点在坐标轴上，且是等腰三角形．下列说法： ①若，则符合条件的点共有7个； ②若，则符合条件的点共有8个； ③若，则符合条件的点共有6个； ④若，则符合条件的点共有5个． 其中，正确的说法有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定，就分别考虑A、B、C为等腰三角形的顶点的情况即可． 【详解】解：①当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有3个，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C与原点O重合，共有7个，正确； ②当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有3个，以C为顶点的等腰三角形有2个，此时点C在线段的垂直平分线上，它与x轴、y轴均相交，故共有8个，正确； ③当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有2个，此时当点C在x轴负半轴上时，它与以A为顶点的等腰三角形是同一个三角形，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C只能是线段的垂直平分线与y轴的交点，与x轴的交点与以A为顶点的等腰三角形重合，故共有6个，正确； ④当时，以A为顶点的等腰三角形有3个，以B为顶点的等腰三角形有2个，此时当点C在y轴负半轴上时，它与以A为顶点的等腰三角形是同一个三角形，以C为顶点的等腰三角形有1个，此时点C只能是线段的垂直平分线与x轴的交点，与y轴的交点与以A为顶点的等腰三角形重合，故共有6个，不正确； 故正确的有3个； 故选：C． 38．如图，在三角形纸片中，，点在边上（点，不重合，），将沿折叠后得到，交于点．若，则与的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可． 【详解】解：设，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 在中，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，如图设交于点，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 如图，设交于点， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：3． 40．如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 【答案】3 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得；根据等腰三角形的性质可得，即；再证明，易得；结合解得，即为等腰直角三角形，进一步可得． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画圆，两个圆与格点的交点，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个． 故选：C． 42．如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 43．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意）； 当，即时， ∵， ∴， 解得， 即； 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 44．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中，正确的结论有______． 【答案】 【分析】延长交于点N，根据角平分线的定义及三角形内角和定理可得，即得，即可判定；由，平分，可得，再证明，可得，即可判定；证明，可得，再根据等腰三角形的性质得到，即可判定；根据已知条件无法判定或，判定；由可知，，则，证明，可得，可得，再由，，判定． 【详解】解：如图，延长交于点N， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故④错误； 由可知，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由可知， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确的结论有． 45．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 46．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】 如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作直角，其中，，与交于点． 【问题梳理】 (1)如图1，若，，求的度数； 【问题探究】 (2)如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，延长至点，使得，连接，若，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． ∴ ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据已知角度可得到，进而得到，接着在中，根据已知角得到，最后根据等边对等角求出的度数． （2）首先根据已知条件，得出和的关系，然后运用两边及夹角相等判定和全等，得出对应边和对应角相等，通过代换得到，再次运用边角边定理判定和全等，得到，结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． （2）略 47．（25-26七年级下·四川达州·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①如图所示； ②， 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 由， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， 由， ， ， 又， ． (2)或． 【分析】本题解题关键在于作出正确的辅助线，构造全等三角形： （1）①根据题意补全图形即可；②延长至点，使得，连接，通过等边三角形的性质及全等三角形的判定证明出，从而得到； （2）辅助线作法与（1）相同，①点在直线左下方，根据和的数量关系仍成立，可证明，故，再根据等腰三角形的性质和周角是求出； ②点在直线右下方，仍可证明，故，故． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线左下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与（1）相同，可证明，， ， ， ，， ， 和的数量关系仍成立， ， 在和中， 由， ， ， ． ②点在直线右下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与①相同，可证明， ， 且， ， 综上所述，或． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线得到，根据等边对等角得到，再根据三角形内角和求即可； （2）证明，即可得到； （3）先证明，得到，再证明，得到． 【详解】（1）解：∵点P为线段垂直平分线l上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 49．（25-26八年级下·河南郑州·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】(1)③ (2)，理由如下： 如图2中，作交的延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) ， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交的延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）略 （3）略 50．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 51．已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的二分割线．例如：如图1，中，，若过顶点B的一条直线交于点D，若，显然直线是的关于点B的二分割线． (1)在图2的中，，，请在图2中画出关于点B的二分割线，且角度是____． (2)已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，的度数是____． (3)已知，同时满足： ①为最小角； ②存在关于点B的二分割线，请求出的度数（用表示）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析，或 (3)或或或，或时， 【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把分成角和角即可； （2）根据二分割线的定义作图即可； （3）设为的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形；第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形分别利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）解∶所求图形如图所示． ∵，， ∴当时，， ∴是等腰三角形，是直角三角形． （2）解：所求图形如图所示． 或 由图可得或． （3）解：设为的二分割线，分以下两种情况． 第一种情况：是等腰三角形，是直角三角形，易知和必为底角， ∴． 当时，存在二分割线； 当时，存在二分割线，此时； 当时，存在二分割线，此时且； 第二种情况：是直角三角形，是等腰三角形， 当时，若，则存在二分割线，此时； 当时，若，则存在二分割线，此时， 综上，或或或，或时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $