专题02 全等三角形高频十四大题型突破高频考点题型归纳与满分必刷题2026-2027学年八年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 本专项以14大题型构建全等三角形从概念到综合应用的完整训练体系，覆盖性质、判定及特殊线应用，题型分层递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与对应元素|3-4题/题型|定义辨析、对应关系判断|概念生成基础，建立全等图形认知| |性质应用|4-5题/题型|边长角度计算、结论判断、动点问题|性质拓展应用，连接概念与计算推理| |判定方法|4-5题/题型|SSS/SAS/ASA/AAS定理应用|判定定理系统训练，形成判定逻辑| |性质与判定综合|9题|复杂图形证明与计算|知识融合，提升综合推理能力| |垂直平分线/角平分线|5-10题|性质应用及综合证明|特殊线性质为全等提供辅助，拓展应用场景|

专题02 全等三角形高频十四大题型突破 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 【题型07：判断三角形全等-SSS】 【题型08：判断三角形全等-SAS】 【题型09：判断三角形全等-ASA】 【题型10：判断三角形全等-AAS】 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 【题型12：垂直平分线的性质与综合】 【题型13：角平分线的性质应用】. 【题型14：角平分线的性质与判定综合】 【题型01：全等图形的概念】 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键； 利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案； 【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形不一定全等，故选项A错误； 选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误； 选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误； 选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确； 故选：D 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 4．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 5．已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【答案】A 【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案． 【详解】解：与是对应角，和是对应角， 和是对应角， 与是对应边， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键． 6．如图，，，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA． 【详解】解：∵ABC≌△CDA， ∠BAC=∠DCA， ∴∠BAC与∠DCA是对应角， ∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形中对应边的找法，解题的关键是掌握书写的特点． 7．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 8．如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，准确识图确定出对应边是解题的关键． 先求出的长，再根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A 11．如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ∴． 故选：D． 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 12．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键在于明确全等三角形对应角相等这一性质． 先根据全等三角形的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 13．如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 14．如图，，点E在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等的性质得到，，进而得到，再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 15．如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，首先求出，然后得出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 16．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和角的和、差关系，通过三角形全等得到是解题的关键． 由全等三角形的性质得，再利用角的和、差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 17．如图，点在BC上，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据全等三角形的性质可得到，，，根据等腰三角形的性质可得到，即可逐一判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，故①符合题意； ∴，故②不符合题意，③符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故选：C． 18．已知，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①② C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确的结论是：①②④， 故选： D． 19．如图，已知，下列结论中正确的个数是（　　） ；；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：， ，故正确； ，即，故正确； ， ， ，即，故正确； ， ， ，故正确； ， ，故正确； 与不一定相等，故错误； 故选：C． 20．如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角、对应边相等．根据全等三角形的性质，对每一项分别分析、解答出即可． 【详解】解： ， ，，，， 故①④正确； ， ，， ，， ， 故②③正确； 综上，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 21．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可 【详解】解：①若，则，， ∴，， 解得：，； ②若，则，， ∴，， 解得：， ∴AB的长度为或． 故选：D． 22．如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 23．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以4厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为（    ）时，能够在某一时刻使与全等． A．4 B．3 C．4或6 D．4或3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质；首先求出的长，再由等边对等角得到，则只存在或，故有或，据此得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， ∴， 只存在或， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则 ∴， 解得， 时，，； 时，，； 即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒． 故选：C． 24．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， 当与全等时，或， 当时，，但此时； 当时，，即点的坐标为； 故选：D． 【题型07：判断三角形全等-SSS】 25．如图，，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵，，， ∴． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，等式的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等式的性质即可证明； （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 26．如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意，先证明，进而用证明，可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】略 27．如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，． 28．如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ，， ； (2) 【分析】（1）由得到，即可证明； （2）由（1）知，得到，继而得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ． 29．如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：由作图知：． 在和中， ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ∵，， ∴， 则． 【题型08：判断三角形全等-SAS】 30．已知：如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 31．已知：如图，点在线段上，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意得到，运用边角边即可求证． 【详解】略 32．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到，最后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．如图，在中，以为边作等边三角形（点C，D在边的同侧），连接．若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）； (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． （1）根据是等边三角形得到，，证明； （2）根据得到，根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 【题型09：判断三角形全等-ASA】 34．如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再证明，则可利用证明． 【详解】略 35．如图，和相交于点．求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴ ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型． 【详解】略 36．如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求：的长． 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 37．如图，，，点在边上，，和相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵和相交于点， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定方法即可判断； （2）由（1）可知：，，从而可求出的度数，进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴. 38．如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（） (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键． （1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 【题型10：判断三角形全等-AAS】 39．如图，，交于点O，且O是中点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵点O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先根据平行线的性质得，，再根据中点的定义得，然后证明即可得出结论． 【详解】略 40．如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ； (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质可知，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可知，，所以可知，根据可求结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴． 41．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ， 在和中 ， ； (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，则可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ． 42．如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：，， ， ． ∵， ， ． 在和中， ， ； (2)3 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ∵， ． 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 43．如图所示，在和中，，，． (1)求证：； (2)若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)， 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） 45．如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 46．如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：于，于， ， 又， ， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由于，于，可知，根据对顶角相等可知，根据三角形内角和定理可知，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可知，由，根据线段之间的关系可知，根据线段之间的关系可求的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ， ． 47．如图，在和中，延长交于．，，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，根据即可求证； （2）由（1）可知，，根据全等三角形的性质可得，再由，可求出，最后由对顶角相等可证得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）如图： 由（1）可知，， ， ，， ， ， ． 48．【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 49．如图，在中，是边的垂直平分线，为垂足，交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接、． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直平分线，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，等量代换，即可； （2）根据垂直平分线的性质，可得，，求出，根据等边对等角，则，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【题型12：垂直平分线的性质与综合】 52．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线．若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可判断为的垂直平分线，可得，，通过周长公式进行等量代换求解． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ， ， 的周长为， ， ，即， ， 故的周长为． 53．到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（     ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 54．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由题意可得，垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长为，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 55．如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直平分得，为等腰三角形，，故．由垂直平分得，为等腰三角形，为的外角，故，． （2）由（1）得．，周长为20，，得，即，可得． 【详解】（1）解： ， ∴垂直平分， ， 为等腰三角形． ， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形， ． ， ． （2）解：由（1）得，且， 周长 ， ，即， ，即． 56．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：在和中， ，， ， ， ， ． 【题型13：角平分线的性质应用】. 57．如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 58．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 59．如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质．作，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作， ∵是边上的高，平分，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 故选：C． 60．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 61．如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 【题型14：角平分线的性质与判定综合】 62．如图，中，． (1)作的平分线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法） (2)在（1）条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于尺规作图作角平分线，按照角平分线的尺规作图标准步骤完成绘制即可． （2）因为中，已知的度数，所以可利用三角形内角和定理求出的度数．因为是的平分线，所以可得到的度数．因为是的外角，所以可利用三角形的外角性质求出的度数． 【详解】（1）解：作的平分线，交于点； （2）解：， 平分， ， ． 63．如图，在中，请按下列要求作出图形（不写画法，保留作图痕迹），并解决问题． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，再作的平分线，交于点． (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 如图，，即为所求． (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线与角平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与三角形外角的性质，等边对等角等知识，掌握基本尺规作图及相关性质是关键． （1）按照用尺规作线段垂直平分线与角平分线的步骤完成即可； （2）由线段垂直平分线的性质及等边对等角得，从而得，再由三角形内角和及平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）垂直平分， ； ， ， ． 平分， ． 64．在中，，平分，交于点D． (1)如图1，E是上一点，且． （i）若，求证：． （ii）若，探究与的数量关系． (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1) （i）证明：， ． ， ． 平分， ； （ii） (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． （1）（i）利用角平分线性质证明即可；（ii）利用角平分线性质得到，再证明即可得出结论； （2）在上截取，连接，先求出，过点D作的延长线于点G，作，再证明，得到，从而进一步求出结果． 【详解】（1）（i）略 （ii），理由如下： 如图1，过点D作于点M，于点N． 平分， ． ，， ，即． 在和中， ， ． （2）如图2，在上截取，连接． ， ． 平分， ． ， ． 过点D作的延长线于点G，作， 则有，， ， ． ， ， ， ， ． 65．如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过E点分别作于M，于N， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过E点作，，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）根据和三角形的面积公式列方程求得，即可求的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）略． （3）解： ，， 即， 解得， ， 66．已知：如图1，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为和． 求证：． 请写出完整的证明过程：… (1)请结合图，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； (2)如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为________； (3)如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) 证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由题意，得到、，再由两个三角形全等的判定定理得到，根据全等性质即可得证； （2）先由（1）中的方法得到，，再由得到，从而由，，得到，代入线段长度计算即可得到答案； （3）过点作，交于点，如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形内角和定理证得是等腰三角形，从而得到，根据，代入线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 平分，， 同（1）法可得， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图所示： 平分交于点，，， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， ，平分， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线相关问题综合，涉及角平分线定义、垂直定义、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟记三角形全等的判定与性质、角平分线的定义及性质是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题02全等三角形高频十四大题型突破 只题型归纳 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质求长度】 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 【题型05：全等三角形的性质判断结论】 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 【题型07：判断三角形全等.SSs】 【题型08：判断三角形全等-SAS】 【题型O9:判断三角形全等-ASA】 【题型10：判断三角形全等-AAS】 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 【题型12：垂直平分线的性质与综合】 【题型13：角平分线的性质应用】. 【题型14：角平分线的性质与判定综合】 专题训练 【题型01：全等图形的概念】 1.如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是() 类米 游渊 2.下列各组中的两个图形属于全等形的是() A. 0 3.下列说法正确的是() A.周长相等的两个图形定是全等图形 B.两个正方形一定是全等图形 C.形状相同的两个图形一定是全等图形 D.两个全等图形的面积一定相等 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 4.如图，△AOC≌△DOB,C,B是对应点，下列结论错误的是() B D A.∠C和∠B是对应角 B.∠AOC和∠DOB是对应角 C.OA与OB是对应边 D.AC和DB是对应边 5.已知△ABC2△兽就，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中 正确的是() A.AC与DF是对应边 B.AC与DE是对应边 C.AC与EF是对应边 D.不能确定AC的对应边 6.如图，△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,则AD的对应边是() D A.BC B.AB C.CD D.AC 7.如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在这两个三角形中边BD的 对应边为() D A.BE B.AB C.CA D.BC 【题型03：全等三角形的性质求长度】 8.如图，△ABC≌△竺t,BC=8,EC=5,则CF的长为(). A B A.2 B.3 c.5 D.7 9.如图，已知△ADC≌△AEB,AB=8,CE=5,则AE的长度为(). A.2 B.3 c.4 D.5 10.如图，△ABC≌△乙，BC=18cm,CF=12cm,则EC的长为() A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm 11.如图，△ABC≌△BDE,若CD=13,ED=7,则AB的长为() A.13 B.6 C.7 D.20 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 12.如图，△ABC≌△A1B1C1,则∠C的度数是() 56 C A.51° B.56° C.73 D.107o 13.如图，若AB,CD相交于点E,若△ABC≌△ADE,∠BAC=28°，则∠ACD的 度数是() D B A.56° B.60° C.88° D.76° 14.如图，△ABC≌△DEC,点E在AB边上，∠ACD=40°，则∠B的度数为 () D E A.80° B.70° C.65 D.40° 15.如图，△ABC≌△ADE,∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=110°，则∠BAD的 度数为() 4 A.40° B.30° C.20° D.10° 16.如图，△ACB≌△ACB,∠ACB=70°，∠ACB=100°，则∠BCB的度数 为() A.40° B.45° C.30° D.50° 【题型05：全等三角形的性质判断结论】 17.如图△ABC≌△AEF,点F在BC上，下列结论：①AC=AF;② ∠FAB=∠EAB;③∠FAC=∠BAE;④若∠C=50°，则∠BFE=80°，其中正 确的结论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.已知△ABE≌△ECD,AB⊥BC,下列四个结论：①ABCD;②AE⊥DE: ③∠A=∠D:④BC=AB+CD.其中正确的结论有() A E A.①②③④ B.①② C.②③ D.①②④ 19.如图，已知△ACE≌△DBF,下列结论中正确的个数是() 5 ①AC=DB:②AB=DC:③∠1=∠2：④AE‖DF;⑤S△ACE=SADFB: ⑥BC=AE. E A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 20.如图，D,E是△ABC中AC,BC上的点，△ADB≌△EDB,△BDE≌△CDE, 则下列结论：①AD=DE,②BC=2AB,③∠1=∠2=∠3，④∠4=∠5，其中 正确的有() A B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【题型06：全等三角形的性质动点问题】 21.如图，BC=6Cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点 C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cms的速度运动，它们运动的时间为ts (当点M运动结束时，点N运动随之结束)·在射线BP上取点A,在MN运动到某 处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为()cm. A N 房 82或号 c2鳄 D.1鳄 22.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=12,∠B=∠C=90°，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2 6 个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动：点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速 度沿CD向点D运动.连接PQ,RQ.三点同时开始运动，当某一点运动到终点时， 其它点也停止运动，若在某一时刻，△PBQ与△QCR全等，则a的值为() O B A.2或3 B.3或5.5 C.2或 0喝 23.如图，△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点.如果点P 在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向 A点运动.当点Q的运动速度为()cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP 全等 A.4 B.3 C.4或6 D.4或3 24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，OA=6, OC=4,点Q在线段OA上运动，当△OCQ与△BAQ全等时，点Q的坐标为() 0 A A.2,0 B.4,0 c.2,0或4,0 D.3,0 【题型07：判断三角形全等-SSS】 25.如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF > B E (1)求证：BC=EF (2)求证：△ABC≌△(. 26.如图，点B,C,E,F在同一直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证： AB DF. 27.如图，已知AE=DF,CE=BF,AB=CD, (1)求证：△ACE≌△DBF (2)若∠A=62°，∠ACE=35°，求∠BHC的度数. 8 28.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF=CE,AB=DE,AC=DF. (1)求证：△ABC≌△乙： (2)若∠A=80°，∠E=55°，求∠ACB的度数. 29.如图，△ABC中，AB=AC,分别以B,C为圆心，大于BC长为半径面弧，两弧交 于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E. (1)求证：△ABD≌△ACD: (2)若∠BAC=80°，求∠ACE的度数. 【题型08：判断三角形全等-SAS】 30.己知：如图，HM=FG,EG=NH,HM‖FG,求证：∠E=∠N. H G 31.己知：如图，点D,B在线段AE上，AD=BE,∠CAB=∠FDE,AC=DF. 求证：△ABC≌△就. B 32.如图，点A,F,C,D在同一条直线上，AF=DC,AB=DE,∠A=∠D, B (1)求证：△ABC≌△就 (2)若∠A=60°，∠B=78°，求∠EHC度数 33.如图，在△ABC中，以AB为边作等边三角形ABD(点C,D在边AB的同侧)，连 接CD.若∠ABC=90°，∠BAC=30°. 10 (1)求证：△CBA≌△CDA: (2)求∠BDC的度数. 【题型09：判断三角形全等-ASA】 34.如图，AC‖DF,BC‖EF,AD=BE.求证：△ABC≌△L. 35.如图，AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证：BC=DC. D 36.如图，△ABC中，D是BC边的中点，E,F为直线AD上的点，连接BE,CF,且 BE CF 11 (1)求证：△BDE≌△CDF: (2)若AE=15,AF=7,试求：DE的长. 37.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O. D (1)求证：△AEC≌△BED: (2)若∠C=70°，求∠2的度数. 38.如图，D为线段BC上一点，AC=BD,ACBE,∠A=∠BDE. A D E (1)求证：△ABC≌△DEB: (2)若AC=6,BE=12,求CD的长. 【题型10：判断三角形全等-AAS】 12 39.如图，ABCD,AC交BD于点O,且O是AC中点，求证：OD=OB. D C A 40.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD,DE. 己知∠1=∠2，AD=DE. B (1)求证：△ABD≌△DCE: (2)若BD=4,CD=9,求AE的长. 41.如图，点E,C,D,A在同一条直线上， ABDF,AB=DE,∠ACB=∠DFE. E (1)求证：△ABC≌△些乙： (2)若AB=8,CD=2,求CE的长. 13 42.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CD于D,BE⊥CD于E. B D (1)求证：△ACD≌△CBE: (2)若AD=8,DE=5,求BE的长度. 【题型11：全等三角形的性质与判定综合】 43.如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠EAC,∠E=∠ACB, AD=AB. D (1)求证：△ABC≌△ADE: (2)若BC的延长线交DA于点F,交DE于点G,∠DEA=105°，∠B=35°， ∠EAB=95°，求∠CAD的度数. 14 44.如图，点F,G分别在△ADE的AD,DE边上，C,B依次为GF延长线上两点， AB=AD,∠BAF=∠CAE,∠B=∠D. G F (1)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当∠CAB=时， DE‖AC. 45.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AC,DE相交于点G,AB=DE, AB DE,BE=CF. G (1)请判断AC与DF的位置关系，并说明理由： (2)若∠B=45°，∠F=60°，求∠EGC的度数. 46.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且 AB=CF. 15 (1)求证：△ABD≌△CFD: (2)已知BC=8,AD=6,求AF的长. 47.如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F.AB=AD,∠BAD=∠CAE, AC=AE. (1)求证：△ABC≌△ADE (2)若∠BAE=140°，∠CAD=30°，求∠BAC和∠BFD 48.【模型探究】 已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线l,AD⊥I,垂足为点 D,BE⊥I,垂足为点E. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，AD、BE、DE之间的数量关系为： 16 (2)如图2，当点A、点B在直线1的异侧时，请写出AD、BE、DE之间的数量关系， 并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,又以BC为斜边构造 Rt△BCD,其中CD=3,求△ACD的面积. 49.如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，D为垂足，DE交AB边于点E,过 点A作AF⊥AB于点A,交DE延长线于点F,且BE=EF,连接CF、FB. )DC与AF相等吗？为什么？ (2)若∠DCF=50°，求∠ABC的度数. 50.如图，已知A为线段EB上一点，在△ABC中，AB=AC,在△AED中AE=AD, 且∠BAC=∠EAD,连接BD、CE,BD分别交CE、AC于点F、N,CE交AD于 点M. 17 D M E A (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)如果∠CAD=100°，求∠DFE的度数. 51.△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC,BE=BD, ∠DBE=∠ABC=90°)的三角板， D B 图(1) 图(2) 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、 CE,请证明：AD=CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位 置，判断AD与CE的数量关系，并说明理由. 18 【题型12：垂直平分线的性质与综合】 52.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于号AC的长为半径作弧， 两弧相交于点F、H,作直线PFH.若AE=4,△ABD的周长为15，则△ABC的周 长为() A.19 B.20 c.22 D.23 53.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的() A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三边垂直平分线的交点 54.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC边于点D,再分别以点 B,D为圆心，大于号BD的长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线MN,交 2 AB于点E.若△ADE的周长为21，AC=9,则AB的长为() ET 米) A.8 B.10 C.12 D.18 55.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE,且EF垂直平 分AC,交AC于点F,连接AE. 19 (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数： (2)若△ABC的周长为20，AC=8,求DC的长. 56.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分线段AE,垂足 为F,交AC于点D,连接DE. (1)若AB=8,△DEC的周长为9，求△ABC的周长： (2)若∠ABD=18°，∠C=46°，求∠CED的度数. 【题型13：角平分线的性质应用】， 57.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别 1 交AB,AC于D,E两点，再分别以点D、B为圆心，大于DE的长为半径画弧，两 弧交于点F,射线AF交BC于点G,若CG=4,AB=8,则△ABG的面积为 () A.12 B.16 C.24 D.32 58.如图，OC平分∠AOB,在OC上取一点P,作PF⊥OB,已知OF=5cm,△POF 20 的面积为5cm2,点B是射线oA上一动点.则pE长度的最小值为() E B A.1cm B.1.5cm C.2cm D.2.5cm 59.如图，CD是△ABC的高，BE平分∠ABC交CD于点E,BC=7,DE=2,则 △BEC的面积为() B A.10 B.8 C.7 D.6 60.如图，AD是△ABC的一条角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面 积是18，△ABE的面积是6，AC=3,则AB的长为 B 61.如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路 距离相等，这样的位置有处. 深水湖泊 【题型14：角平分线的性质与判定综合】 21 62.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°. (1)作∠ABC的平分线BD,交AC于点D:(要求：尺规作图，不写作法) (2)在(1)条件下，当∠ACB=40°时，求∠ADB的度数. 63.如图，在△ABC中，请按下列要求作出图形（不写画法，保留作图痕迹），并解决问 题 B (1)用直尺和圆规作AC的垂直平分线，交BC于点D,交AC于点E,连接AD,再作 ∠BAD的平分线，交BC于点F. (2)在(1)的条件下，若∠C=30°，∠B=40°，求∠BAF的度数. 64.在△ABC中，∠A=a,BD平分∠ABC,交AC于点D. D D E 图1 图2 (1)如图1，E是BC上一点，且∠BED=180°-a. 22 (i)若Q=90°，求证：AD=DE (i)若Q≠90°，探究AD与DE的数量关系. (2)如图2，若AB=AC,=100°，BD=5,AD=2,求BC的长， 65.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=110°，∠ABC的平分线交AD 于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°. F E (1)求∠ACE的度数： (2)求证：AE平分∠CAF: (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且SAACD=21,求△ABE的面积. 66.己知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D和E. 23 B B C DA D E 图1 图2 图3 图4 求证：PD=PE」 请写出完整的证明过程：… (1)请结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； (2)如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在 AC上，BD=DF,若AB=13,AF=8,则CF的长为 (3)如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若 ∠ABC=60°，∠C=45°，DE=3,BD=6,则△ABD的面积为 24